그동안 저도 실험 세팅하느라 바빠서...
답변을 해준다고 해놓고 이렇게 미루게 됐네요...
약속은 약속이니깐....
"물리적으로 컨볼루션(Convolution)은...
충격응답함수 h(t)로 표현되는 임의의 선형계에...
입력신호 f(t)가 입력되었을 때,
출력신호 g(t)사이와의 관계를 나타낸다."
<-- 컨볼루션에 대한 위 설명은 굉장히 훌륭한 것이라고 생각됩니다...
여기에는 세가지 함수가 있습니다.
첫째는 입력 신호
이고요...
둘째는 시스템의 특성을 나타내는
가 있고요...
셋째는 출력 신호
가 있습니다....
이 세 함수의 관계는
(1)
( 입력 신호 * 시스템 특성 = 출력 신호 )
라는 것입니다. 여기서 “
”는 컨볼루션 연산자를 나타내며...
다음과 같이 정의 됩니다....
(2)
이것은 신호처리를 전공한 사람들이라면...
아주 익숙한 내용일 것입니다....
예를 들어 컨덴서와 인덕터, 저항 등으로 꾸며진...
복잡한 회로가 있다고 합시다...
이 회로는 하나의 입력 단자와 하나의 출력 단자를 가지고 있습니다...
이때 이러한 회로 전체를 하나의 시스템이라고 부를 수 있습니다....
우리가 보통 접할 수 있는 물리적 시스템의 특성은 대부분
위에 나타낸 컨볼루션 적분으로 묘사되어질 수 있습니다...
여기서 대부분이라는 말을 사용한 이유는...
컨볼루션으로 표현할 수 없는 시스템도 있다는 말이겠지요?
컨볼루션으로 입출력 관계를 묘사할 수 있는 시스템은...
다음 두 가지 조건을 만족해야 합니다....
첫째는 선형 시스템(linear system)이어야 하고요...
둘째는 시불변(time invariant 혹은 shift invariant) 시스템이어야 합니다...
이 두 가지 용어에 대해 먼저 설명을 하겠습니다...
첫째, 선형이라는 말은 이런 것입니다...
입력 신호
의 출력이
이고,
또 다른 입력 신호
의 출력이
일 때...
의 입력 신호에 대해 그 출력이...
로 나타나는 경우...
이런 시스템을 선형 시스템이라고 합니다...
위 관계를 만족하는 시스템, 즉 선형 시스템은...
수학적으로 다음과 같이 묘사될 수 있답니다...
(3)
여기서 피적분 함수에 들어있는
를...
impulse response function(충격응답함수)라고 합니다...
음... 선형시스템의 수학적 표현이 왜 식 (3)과 같은지...
또 설명을 해야겠네요...
이제부터 시스템과 입출력 함수와의 관계를 이렇게 나타냅시다...
(4)
여기서
는 시스템에 의한 변환을 나타냅니다....
그리고 입력 함수
를 델타 함수의 선형 결합으로 표현하면...
(5)
와 같이 됩니다... 여기서
는 적분 변수입니다...
즉 위치가 각기 다른 델타 함수들이 무한히 더해져 있는 꼴...
즉 선형 결합된 형태입니다....
이 함수를 시스템에 입력하면...
(6)
단,
(7)
식 (6)에서 변환
가 적분 안으로 들어가는 이유는....
이 시스템이 선형 시스템이기 때문이라는 것 알 수 있겠지요?
자! 여기서
를 impulse response 라고 부르는...
이유가 나타납니다. (7)식의 우변을 보면
는...
델타 함수, 즉
라는 시간에 피크가 되는 임펄스에 대해...
시스템이 어떻게 응답하는 지를 나타내는 함수입니다...
따라서
를 물리적으로 해석할 때 이렇게 하면 됩니다...
4초 후 피크가 나타나는 임펄스의 입력에 대한...
시스템의 출력함수가 바로
라는 것이지요...
이렇게 선형 시스템의 임펄스 응답함수는 수학적으로...
2개의 변수 즉
와
의 함수가 됩니다...
그런데 실제 물리적 상황에서 impulse response function은...
좀더 간단한 형태가 됩니다. 그것이 바로 시불변 시스템입니다...
둘째, 시불변 시스템.
전자 회로를 예로 들어봅시다...
전자 회로는 물리적으로 만들어진 장치입니다....
그래서 어제 입력한 신호와 똑같은 신호를...
오늘 다시 입력해 보았다면...
어제 얻었던 출력과 같은 출력 신호를 오늘도 보게 됩니다....
당연하겠지요? 수학적으로 기술하자면...
(8)
요렇게 된다는 말입니다... 즉,
라는 시각에 들어온 임펄스에 대한...
응답은
초에 들어온 임펄스에 대한 응답함수를
만큼 shift 시키면...
얻을 수 있다는 것이지요. 이런 시스템을 시불변 시스템이라고 합니다...
(8)식에 의해 충격응답함수는 간단히
로 쓰여질 수 있습니다...
결론적으로 선형 시불변 시스템에서 입출력 관계는...
(9)
로 나타낼 수 있고, 이러한 적분을 컨볼루션이라고 부릅니다...
여기서
는 입력,
는 출력, 그리고
가 바로...
시스템의 특성을 나타내는 함수가 됩니다....
참고로 선형 대수를 배웠다면, 입출력에 대한 적분 표현이...
행렬에 의한 선형 변환을 무한 차원으로 확장한 것과 같다는 것을...
곧 알 수 있을 것입니다...예를 들면...
(10)
이런 식은 행렬
에 의해 벡터
가 벡터
로 ...
선형 변환되는 과정을 나타내는데, 이렇게도 쓸 수 있습니다.
(11)
벡터의 차원이 무한대가 되는 경우...
벡터는 1변수 함수로 즉,
,
가 되고...
행렬은 2변수 함수가 되어
로 바뀝니다...
그리고 합(
)은 적분이 되어
가 됩니다...
따라서 (11) 식의 무한차원 확장은 식 (3)과 같이 됩니다...
덧붙여 말하자면 선형 시불변 시스템에서의 신호 해석은...
시간 도메인에서보다는 주파수 도메인에서 주로 하게 됩니다....
시간 도메인에서의 컨볼루션 연산은....
주파수 도메인에서 단순 곱하기 연산으로 바뀌어진답니다...
이렇게 말이죠...
(12)
여기서 대, 소문자는 서로 푸리어 변환 관계를 나타냅니다...
특히 충격응답함수
의 푸리어 변환
를....
전달 함수(transfer function)라고 부른답니다...
대부분의 전자부품은 그 소자의 스펙을 나타낼 때...
전달 함수를 그래프로 그려서 표시해 준답니다....
전달 함수의 물리적 의미는 다음과 같습니다....
선형 시불변 시스템의 경우 주파수
의 사인파(또는 코사인파)가...
입력되는 경우 출력은 반드시 같은 주파수의 사인파형 신호가 나옵니다...
다만 출력 신호의 진폭과 위상만이 달라집니다....
이것이 선형 시스템의 특징이며, 비선형 시스템의 경우...
입력 주파수와 다른 주파수의 신호가 나타날 수 있답니다...
어쨌든 선형 시불변 시스템에서 전달 함수의 물리적 의미는...
주파수
의 입력 신호에 대해 출력 신호가 가지는 이득(gain) 및...
위상(phase) 변화를 나타내는 값입니다....
이득과 위상을 나타내려면 복소수가 쓰여져야 겠지요?
그래서 충격 응답함수가 실함수인 반면, 그 푸리어 변환인
전달함수는 일반적으로 복소수로 나타납니다....
컨볼루션 적분이 나타나는 물리적 상황은 아주 많다고 생각됩니다...
전자 회로에 의한 입출력 뿐 아니라...
홀로그램을 해석하는 파동 광학 또는 푸리에 광학에서는...
2차원 컨볼루션 적분이 등장하고요....
원자의 에너지 준위를 유한한 선폭의 레이저로 관측할 때....
신호의 모양은 에너지 준위를 나타내는 함수와...
레이저 선폭을 나타내는 함수의 컨볼루션으로 표시된답니다....
설명이 너무 장황했네요...
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▷◁ 대구지하철 희생자를 추모합니다!
첫댓글 멋지군요. 저두 언젠가 이렇게 글을 써봤으면 좋겠습니다.
넘 좋아요. 자세하게 설명해 주셔서 감사합니다 ^ ___ ^
진짜 설명 멋지네여~