시간과 공간의 절대성을 무너뜨리다/수학은 세상을 어떻게 바꿨나?

[장끼]

시간과 공간의 절대성을 무너뜨리다

천체의 움직임을 수학적으로 분석한 결과 어떤 규칙이 모든 천체에 한결같이 적용된다는 사실을 알아냈다.

뉴턴이 운동법칙을 발표한 후 그의 운동방정식은 다양한 분야에 적용되었고, 자연은 마치 수학의 언어를 사용하는 것처럼 보였다. 

물체에 힘을 가하면 움직인다는 사실은 누구나 알고 있다. 그러면 물체의 운동이 일어나는 배경은 무엇일까? 그것은 바로 시간과 공간이다. 하지만 '시간과 공간의 본질은 무엇인가?'라는 질문에는 쉽게 답이 떠오르지 않는다.

시간과 공간은 물리적 실체인가? 아니면 우주를 이해하기 위해 인위적으로 도입된 추상적 개념에 불과한 것인가? 뉴턴은 이 질문에 그럴듯한 답을 해야만 했다. 시간과 공간의 물리적 의미를 모른다면 운동방정식도 의미가 없기 때문이다. 뉴턴은 시간과 공간이 절대불변의 실체이며 이로부터 구성된 우주 역시 절대로 변하지 않는 견고한 세계라고 생각했다.

고전역학은 자연현상들을 놀라울 정도로 정확하게 서술할 뿐 아니라, 그로부터 얻어진 수학적 결과들은 일상적인 경험과 잘 일치한다. 어떤 물체에 힘을 주면 물체의 속도가 빨라지고, 야구공을 세게 던질수록 그것을 받는 사람의 손에 전달되는 충격은 더 커진다. 어떤 물체를 손가락으로 세게 누르면 그 물체는 똑같은 크기의 힘을 손가락에 전달한다.

뉴턴은 운동방정식에 중력을 포함시켰지만 전기력과 자기력이 수학적으로 표현된 것은 그로부터 약 200년이 지난 후의 일이었다. 1860년대 영국의 맥스웰은 고전물리학의 무대를 전자기력의 영역까지 확장시켰다. 이 과정에서 몇 개의 방정식이 추가되어 수학적인 내용은 조금 어려워졌지만 우리의 직관과 일치한다는 점에서는 별로 달라진 것이 없었다.

모든 일들이 순조롭게 풀려 가면서 19세기 말의 물리학자들은 머지않아 우주의 모든 현상을 설명할 수 있을 거라는 기대감으로 충만했다. 당시 물리학의 여러 분야에서 괄목할 만한 업적을 세운 켈빈 경은 "이제 물리학에 남은 일은 기존 측정값들의 소수점 이하 자릿수를 늘려 가는 것뿐이다"라고 자신 있게 말했다.

그는 물리학에 남은 두 가지 문제, 즉 빛의 특성에 관한 문제와 뜨거운 물체가 내뿜는 복사와 관련된 문제를 짧게 언급한 적이 있다. 그를 비롯한 대다수의 물리학자들은 이것을 지엽적인 문제로 여기면서 빠른 시일 내에 해결될 것으로 믿어 의심치 않았다.

그로부터 채 10년이 지나기도 전에 두 가지 문제는 기존의 물리학을 송두리째 갈아엎는 대혁명의 도화선이 되었다. 첫 번째 문제는 아인슈타인의 상대성이론을 탄생시켰으며, 두 번째 문제는 양자역학이라는 새로운 물리학을 만들면서 시간과 공간, 실체에 관한 고전적 개념을 단숨에 날려 버렸다.

1905년 아인슈타인은 세상을 깜짝 놀라게 하는 특수상대성이론을 발표했다. 여기에는 두 개의 단순하면서도 심오한 가설이 들어 있다. 하나는 빛의 성질에 관련된 것이고, 다른 하나는 물리법칙의 일관성에 관련된 것이다.

광속불변의 원리 : 빛의 속도는 광원이나 관측자의 운동에 상관없이 항상 일정하다.
상대성의 원리 : 물리법칙은 등속으로 움직이는 관찰자에 대해 항상 동일한 형태로 표현된다.

"만일 빛과 같은 속도로 움직이면서 빛을 보면 어떻게 될까?" 빛의 속도가 일정하다는 사실은 일상적인 관념과 다르기 때문에 우리를 혼란에 빠뜨린다. 예를 들어 야구 선수가 시속 150킬로미터의 속도로 공을 던진다고 하자. 정지해 있는 사람이 볼 때 그 공의 속도는 시속 150킬로미터이지만, 공과 같은 방향으로 시속 100킬로미터로 움직이는 사람에게 공의 속도는 50킬로미터가 될 것이다.

그러면 야구공을 빛으로 바꾸고 빛과 같은 속도로 움직이는 사람이 빛을 관찰하면 어떻게 될까? 이것은 아인슈타인이 어린 시절부터 생각해 왔던 의문점 가운데 하나였다. 상식적으로 볼 때 빛과 같은 속도로 움직이면서 빛의 속도를 측정한다면 빛은 정지한 것처럼 보여야 한다. 그런데 상대성이론에 의하면 빛의 속도는 항상 30만 킬로미터로 결코 느려지거나 빨라지는 법이 없다. 즉 광원이나 관찰자의 운동에 관계없이 빛의 속도는 언제나 일정하다.

뉴턴 역학에서는 물체에 힘을 가하면 어떤 속도로도 움직일 수 있다고 말한다. 그러나 어떤 물체도 빛보다 빠르게 움직일 수 없다는 상대성이론은 지난 300년 동안 물리학을 지배해왔던 고전역학의 몰락을 가져왔다.

운동이란 공간상의 위치에 대한 시간의 변화를 말한다. 이처럼 운동은 시간과 공간을 전제로 하고 있으며, 고전물리학에서는 이런 시간과 공간을 절대시간과 절대공간이라고 부른다. 이것은 우주의 어디서나 적용되는 보편적인 개념으로 시간은 빨라지거나 느려지지 않으며, 공간은 늘어나거나 줄어들지 않는다. 하지만 상대성이론에 따르면 시간과 공간은 절대적인 것이 아니라 관찰자와 관찰되는 대상 모두에게 상대적이며, 속도가 빨라질수록 그 차이는 더욱 커진다.

E=mc2라는 공식은 한번쯤 들어 보았을 것이다. 여기서 E는 에너지, m은 물체의 질량, c는 빛의 속도를 말한다. 빛의 속도는 약 30만 킬로미터로 항상 일정한 값을 가지므로 좌변과 우변의 등식 관계에 의해 에너지가 바로 질량이라는 사실을 보여 준다. 상대성이론이 현실적으로 가장 큰 영향을 미친 것은 질량-에너지 등가원리다. 아인슈타인 이전에는 에너지와 질량이 서로 다른 것으로 간주되었다. 질량은 존재의 영역에 속하지만 에너지는 인식의 영역에 속하기 때문이다. 또한 질량과 에너지는 각각 따로 보존되는 물리량이다.

19세기에 물리학자들은 에너지가 새로 생성되지도 소멸되지도 않는다는 '에너지보존법칙'을 발견했다. 이것은 열역학 제1법칙의 또 다른 이름이다. 예를 들어 우리가 돌을 들어 올리면 운동에너지가 사용되지만, 돌을 떨어뜨리면 일을 할 수 있는 위치에너지가 만들어진다. 질량 또한 생성되거나 소멸되지 않는다는 '질량보존법칙'의 지배를 받는다. 돌을 잘게 부순다고 해서 질량이 감소하지는 않는다.

우주를 구성하는 모든 물체는 질량과 에너지가 결합된 형태로 나타난다. 만일 물질을 결합하고 있는 에너지의 작은 부분이라도 풀려난다면 그 결과는 원자폭탄 같은 핵분열로 이어진다. 질량을 에너지로 바꾸기 위해서는 아주 특별한 물리적 조건이 필요하다. 예컨대 우주가 창조된 빅뱅 시기에는 10억도 이상의 엄청난 온도에서 질량과 에너지가 서로 자유롭게 변환되었다.

특수상대성이론은 일정한 속도(등속운동)로 움직이는 물체에 적용되는 이론이다. 이에 비해 일반상대성이론은 가속운동처럼 속도가 변하는 물체에 적용된다. 아인슈타인은 일반상대성이론을 수립하면서 그 유명한 엘리베이터 사고(思考)실험을 생각했다.

엘리베이터 속의 관찰자는 중력이라는 힘이 물체를 아래로 잡아당긴다는 사실을 알고 있다. 만약 엘리베이터가 자유낙하를 한다면 엘리베이터 속의 관찰자는 중력을 느끼지 못할 것이다. 이 사고실험을 통해 그는 중력과 자유낙하를 하는 물체의 가속운동이 동일한 것임을 밝혀냈다.

상대성이론은 빛의 속도가 모든 관찰자에게 동일하며, 물체가 빛의 속도에 가깝게 움직일 때 어떤 일이 일어나는지를 기술하는 데 매우 성공적이었다. 그런데 상대성이론과 만유인력의 법칙은 서로 모순되는 점이 있다. 만유인력의 법칙에 의하면 모든 물체 사이에는 서로 끌어당기는 힘이 존재한다. 이것은 두 물체 중 하나를 이동시키면 다른 하나에 미치는 힘도 동시에 변화를 일으킨다는 것을 의미한다. 즉 중력 효과는 상대성이론에 의해 빛의 속도로 전달되는 것이 아니라 무한한 속도로 즉시 전달된다는 뜻이다.

예를 들어 태양이 갑자기 사라졌다고 상상해 보자. 궤도를 유지하던 힘이 사라지면 지구는 곧바로 직선으로 움직이기 시작할 것이다. 하지만 지구에 사는 사람들이 볼 때 태양은 8분 뒤에 사라지게 될 것이다. 태양에서 지구까지 빛이 이동하는 데 걸리는 시간이 8분이기 때문이다. 이런 차이는 중력 효과가 빛보다 먼저 도달한다는 것을 뜻하는데, 이는 빛보다 빠른 것은 없다는 상대성이론에 위배된다.

도대체 중력이란 무엇일까? 이것은 아인슈타인에게 커다란 수수께끼였다. 그는 10년 동안 이 문제에 매달린 끝에 혁명적인 아이디어를 탄생시켰다. 가속운동을 하는 사람이라면 누구든지 어떤 힘을 느낄 수 있다. 자동차의 가속페달을 밟으면 운전자는 자신의 몸이 뒤로 밀리는 듯한 느낌을 받고 커브길을 돌면 옆으로 쏠리는 힘을 받는다. 이런 힘을 관성력이라고 하는데, 이는 질량을 가진 물체 모두에 적용되는 힘이다.

중력 또한 모든 물체에 작용하기 때문에 중력의 영향을 받지 않으려면 물체가 하나도 없는 텅 빈 공간으로 가는 수밖에 없다. 아인슈타인의 혁명적인 아이디어는 중력과 가속운동이 서로 비슷한 것이 아니라 아예 똑같은 현상이라는 것이다. 그것은 동전의 양면처럼 동일한 실체의 다른 모습에 불과하다.

그는 중력이 다른 힘들과는 달리 실제로 존재하는 힘이 아니며, 시간과 공간이 편평하지 않기 때문에 발생하는 결과라고 주장했다. 다시 말해서 시간과 공간은 그 속에 들어 있는 질량과 에너지의 분포에 따라 구부러지거나 휘어져 있다는 것이다.

지구와 같은 천체는 중력이라고 부르는 힘에 의해 휘어진 궤도를 따라 움직이는 것이 아니라, 휘어진 공간 속에서 가장 가까운 경로를 따라 직선으로 움직인다. 예를 들어 구릉지 위를 나는 비행기를 생각해 보자. 지구의 표면은 2차원이고 비행기는 3차원 공간에서 직선으로 움직인다. 그러나 비행기 그림자는 2차원 지면 위에서 구릉의 휘어진 경로를 따라 진행한다. 마찬가지로 태양의 질량이 시간과 공간을 휘게 만들기 때문에 지구가 4차원 시공간 속에서 직선으로 움직임에도 불구하고 지구는 3차원에서 원 궤도를 따라 움직이는 것처럼 보인다.

3차원 공간에서 직선으로 움직이는 비행기와 2차원 평면에서 휘어진 경로를 따라 움직이는 비행기 그림자는 질량과 중력의 관계를 상징적으로 보여 준다.

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아인슈타인은 상대성이론 논문에서 태양이나 행성 같은 물체에 의해 휘어진 공간의 기하학을 나타내는 한 쌍의 방정식을 유도했다. 이 방정식들은 질량을 가진 물체에 의해 공간이 어떻게 휘어지는지를 정확히 묘사한다. 그는 중력이 시간과 공간의 곡률이라는 것을 입증하기 위해 세 가지 현상에 대해 예측했다. 즉 태양 근처에서 빛이 휘어지는 현상과 수성 궤도의 미세한 변화, 그리고 중력장에서 시간이 느려지는 현상이 그것이다.

빛은 시공간 속에서 가장 가까운 경로를 따라 움직인다. 아인슈타인은 태양의 질량으로 인해 공간이 휘어져 있기 때문에 태양 근처에서 빛이 약간 휘어질 것이라고 예측했다. 1919년 영국의 에딩턴은 상대성이론을 입증하기 위해 아프리카로 원정대를 이끌고 갔다. 마침내 태양이 달에 의해 완전히 가려지는 개기일식 때 빛이 실제로 태양에 의해 굴절된다는 사실을 밝혀냈다.

태양에서 가장 가까운 궤도를 도는 수성의 경우 중력의 영향을 가장 많이 받으며, 조금 길쭉하게 늘어난 타원 궤도를 따라 돌고 있다. 아인슈타인은 타원의 긴지름이 1만 년에 약 1도의 차이로 태양 주위를 회전할 것이라고 예측했다. 이 효과는 비록 아주 작지만, 상대성이론이 발표되기 훨씬 전인 1859년 르 베리에의 관찰로 수성의 근일점 이동이 확인되었다. 이것은 상대성이론이 태어나기도 전에 그 이론을 입증한 최초의 사례이다.

수성의 근일점은 거대한 태양의 질량에 의해 미세하게 변한다.

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상대성이론의 세 번째 예측은 중력장에서 시계가 느려진다는 것이다. 중력이 클수록 시간은 천천히 흐른다. 시간이 얼마나 느려지는지 알고 싶다면 세슘원자시계를 지구 위의 높은 궤도에 일정 기간 놓아둔 후 다시 지구로 가져와 지구에 있던 시계와 비교하면 된다. 실제로 중력의 영향을 받는 사람은 무중력 상태에 있는 사람보다 덜 늙는다. 아주 미세한 차이지만 고도가 높은 지역에서 사는 사람들은 해수면 근처에 사는 사람들보다 빨리 늙는다.

20세기 우주 개발 경쟁을 불러일으킨 상대성이론

아인슈타인의 상대성이론은 태양처럼 질량이 매우 큰 물체들로 이루어진 거대한 은하, 그리고 빛처럼 빠른 속도로 움직이는 아주 작은 입자들에 적용되는 이론이다. 그래서 우리의 직관이나 경험에 모순되는 것처럼 보인다. 하지만 지구상의 모든 물체들은 비록 그 효과가 미미할지라도 상대성이론의 영향을 받고 있다.

가장 대표적인 예는 위성위치확인시스템(GPS)이다. GPS는 자동차를 목적지까지 안내한다. 비행기나 배도 GPS를 이용해 항로를 정하고 목적지를 찾아간다. GPS 정보는 지구 주위를 돌고 있는 인공위성들이 알려주는데, 이 위성들은 자체 내에 원자시계를 갖고 있다.

내비게이션으로 어떤 곳의 위치를 알기 위해서는 인공위성의 시계와 지구에 있는 시계가 정확히 일치해야 한다. 위성은 시속 1만 4,000킬로미터의 속도로 지구 주위를 돈다. 그런데 특수상대성이론에 따르면 빠르게 이동하는 물체는 시간이 느려진다. 계산에 의하면 위성에서는 하루에 7ms(밀리초, 1ms=1,000분의 1초)씩 시간이 느려진다.

한편 위성은 지표면에서 2만 킬로미터 높은 곳에서 지구 주위를 돌고 있다. 그런데 일반상대성이론에 따르면 중력이 약한 곳에서는 시간이 빨리 간다. 이 때문에 위성 시계는 지표면보다 하루에 45ms 더 빨라진다. 따라서 특수상대성이론과 일반상대성이론의 두 가지 효과를 모두 고려하면, 결국 위성의 원자시계는 지표면보다 38ms 정도 빨리 가게 된다. 즉 한 달에 약 1초 이상의 오차가 생긴다. 이것을 시속 100킬로미터의 속도로 움직이는 자동차에 비유한다면 원래 위치에서 약 30미터의 거리를 벗어나게 된다. 따라서 우리가 자동차로 내비게이션을 이용해 원하는 곳에 가기 위해서는 상대성이론에 의한 효과를 보정해 주어야 한다.

상대성이론은 19세기의 수학자 게오르그 리만이 없었다면 탄생하지 못했을 것이다. 그는 처음으로 휘어진 공간을 발견했다. 지구의 표면은 2차원으로 구부러진 평면이다. 만일 지구의 어느 곳에서든 같은 방향으로 여행하면 결국 우리는 지구를 한 바퀴 돌아 처음의 출발점으로 되돌아올 것이다. 마찬가지로 3차원 우주에서 같은 방향으로 여행을 계속하면 원래의 출발점으로 되돌아올지 모른다. 이것은 우주 자체가 구부러져 있음을 의미한다. 한편 우주가 구부러져 있지 않다면, 다시 말해서 스스로에게 닫혀 있지 않다면 결국 우주는 무한할 수밖에 없다.

20세기 초 미국의 천문학자 에드윈 허블은 우주가 멀어지고 있다는 사실을 발견했다. 이것은 약 145억년 전 빅뱅과 더불어 시작된 우주의 진화 과정을 보여 준다. 우리에게 멀리 떨어져 있는 별이나 은하일수록 멀어져 가는 속도도 빨라진다.

리만은 비유클리드 기하학이라 불리는 곡률 개념을 정립했다. 곡률이란 어떤 곡선이나 곡면이 휘어진 비율을 뜻하는 말이다. 예를 들어 달걀 껍데기의 표면은 가운데 부분의 둘레가 양 끝을 잇는 부분보다 조금 더 많이 휘어져 있다. 현대의 천문학자들은 리만의 곡률 개념을 이용해 멀어져 가는 은하들 사이의 거리를 계산한다. 즉 그들은 우주가 무한히 열려져 있는 공간인지 아니면 닫혀 있는 공간인지 알고 싶은 것이다.

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글

정갑수

연세대학교에서 핵물리학을 전공하여 박사학위를 받았으며, 대덕연구단지의 한국원자력연구소에서 다목적 연구용 원자로를 설계했다. 미국, 캐나다, 일본에서 입자가속기를 이용하여 핵자 및 소립자에 대한 ..펼쳐보기

출처

세상을 움직이는 수학 | 정갑수 | 다른

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