아서 벤자민 (Arthur Benjamin): 피보나치 수열의 마법

[지구별여행자]

우리가 수학을 배우는 이유는 무엇일까요? 기본적으로 세가지 이유가 있습니다: 계산, 응용, 마지막으로, 현재로서는 유감스럽게도 가장 비중이 낮은 영감입니다.

수학은 규칙의 학문입니다. 이를 연구하는 이유는 논리적이고 정확하며 창의적으로 생각하는 힘을 기르기 위해서인데 학교에서 배우는 수학은 동기 부여에 약하기 때문에 학생들이 "우리가 왜 이걸 배워야 해?" 라고 물으면, 그들이 듣는 답은 다음 수학 시간이나 시험에 나오기 때문이라는 게 전부입니다. 그러나 때때로 수학을 그저 재미있거나 경이로워서 아니면 흥미를 유발해서 배우게 된다면 굉장하지 않을까요? 자, 저는 많은 사람들에게 이런 일이 일어난 적이 없었다는 것을 잘 알고 있습니다. 그래서 제가 가장 좋아하는 수 배열인 피보나치 배열로 예를 들어보겠습니다. (박수)

이미 피보나치 배열에 대해 아시는 분들이 많군요! 좋습니다.

자, 이 수의 배열은 다양한 이유로 인기가 많습니다. 계산의 관점에서 보면 이것은 다음과 같이 이해하기 쉬운데 1 더하기 1은 2, 1 더하기 2는 3, 2 더하기 3은 5, 3 더하기 5는 8, 과 같이 계속됩니다. 사실 우리가 피보나치라고 부르는 사람은 레오나르도 데 피사였는데 이 숫자들은 그의 책, "리베로 아바치" 에 등장합니다. 이 책은 현대에 이르도록 쓰이는 숫자의 법칙을 서양에 소개했습니다. 실생활의 측면에서 보면, 피보나치 배열은 자연에서 놀라울 정도로 많이 발견되는데 예를 들어 꽃의 잎들의 수는 전형적인 피보나치 배열입니다. 해바라기씨의 나선의 수나 파인애플의 그것도 보통 피보나치 배열을 따릅니다.

피보나치 배열을 따르는 경우는 훨씬 더 많습니다. 하지만 저의 흥미를 가장 많이 돋구는 것은 아름다운 수들의 배열에 있습니다. 제가 가장 좋아하는 예를 살펴 보겠습니다. 여러분이 수의 제곱을 좋아하신다고 해보죠. 솔직히 제곱수를 싫어하는 사람이 있나요? (웃음)

피보나치 배열에서 가장 앞에 있는 몇개의 수들을 살펴봅시다. 1의 제곱은 1, 2의 제곱은 4, 3의 제곱은 9, 5의 제곱은 25 와 같이 계속됩니다. 자, 피보나치 배열에서 연속되는 두 수를 더하면 다음 피보나치 수를 구할 수 있는 것은 당연하게 느껴지시죠? 피보나치 배열은 그렇게 만들어지니까요. 하지만 그들의 제곱수를 더하면 기대할 게 없다고 생각하실 겁니다. 그런데 이걸 보세요. 1 더하기 1은 2, 1 더하기 4는 5, 4 더하기 9는 13, 9 더하기 25는 34, 그리고 이 규칙은 이어집니다.

또 다른 예를 살펴봅시다. 피보나치 배열의 앞에 있는 몇 개의 수들을 더하면 어떻게 되는지 보겠습니다. 1 더하기 1 더하기 4는 6, 이것에 9를 더하면 15, 또 25를 더하면 40, 또 64를 더하면 104가 됩니다. 자, 이 숫자들을 잘 보세요. 이들은 피보나치 수가 아닙니다만 자세히 보면 피보나치 수들이 숨어있는 것이 보이실 겁니다.

찾으셨나요? 보여드리겠습니다. 6은 2와 3의 곱이고, 15는 3과 5의 곱, 그리고 40은 5와 8의 곱입니다. 2, 3, 5, 8 - 뭔가 익숙해 보이지 않나요?

(웃음)

당연히 피보나치 배열이죠!

자, 이 규칙들을 발견하는 것 보다 왜 이 규칙이 성립하는지 아는 것은 더 재미있습니다. 방금 본 식을 봅시다. 왜 제곱수들의 합, 그러니까 1, 1, 2, 3, 5와 8의 제곱을 더하면 왜 8과 30의 합이 될까요? 도표로 설명하겠습니다. 한 변의 길이가 1인 정사각형 옆에 똑같은 정사각형을 넣어서 합치면, 길이가 1과 2인 변으로 둘러싸인 직사각형이 됩니다. 그들 밑에 한 변의 길이가 2인 정사각형을 넣고 그 옆에 한 변의 길이가 3인 정사각형, 아래에 한 변의 길이가 5인 정사각형, 또 한 변의 길이가 8인 정사각형을 놓으면 하나의 큰 직사각형이 만들어지죠?

자, 질문 하나를 드리겠습니다. 직사각형의 넓이는 얼마일까요? 한편으로 생각하면 그 안에 있는 정사각형의 넓이의 합이겠죠? 방금 만든 것 처럼요. 1의 제곱 더하기 1의 제곱 더하기 2의 제곱 더하기 3의 제곱 더하기 5의 제곱 더하기 8의 제곱이겠죠? 이것이 넓이입니다. 또 다르게 생각해 보면, 이것이 직사각형이기 때문에, 넓이를 세로와 가로의 곱으로 구할 수 있는데, 세로는 분명히 8이고, 그리고 가로는 5 더하기 8, 그러니까 피보나치 수열의 다음 수, 13이죠? 그러니 직사각형의 넓이는 8 곱하기 13입니다. 우리는 넓이를 두가지 방법을 모두 정확히 계산했기 때문에 답이 같을 텐데 그렇기 때문에 1, 1, 2, 3, 5와 8의 제곱수들을 더했을 때 나오는 값이 8과 13의 곱과 일치하는 것입니다.

자, 이 방법을 계속하면 변의 길이가 13과 21로 이루어진 직사각형, 변의 길이가 21과 34로 이루어진 직사각형 등이 나타나게 됩니다.

이걸 보세요. 13을 8로 나누면 1.625를 얻게 됩니다. 그리고 피보나치 배열의 연속되는 숫자 두 개중 큰 숫자를 작은 숫자로 나눌 수록 이 비율은 1.618에 조금씩 더 가까워지는데 이 비율은 황금비로 잘 알려져 있습니다. 이 황금비는 수백년동안 수학자, 과학자, 그리고 예술가들을 매혹해 왔습니다.

자, 제가 이것을 보여드리는 이유는 나머지의 수학 법칙과 같이 아름다은 측면이 있는데 이 측면들이 우리의 학교들에서 충분히 고려되고 있지 않기 때문입니다. 우리는 계산에 대해 많이 배우는데 응용을 잊지 않도록 하죠. 어쩌면 가장 중요한 적용의 요소인 생각하는 방법을 잊지 않도록 합시다.

지금까지 제가 말씀드린 것을 한 마디로 정리한다면 이것을 말씀드리고 싶습니다: 수학은 그저 x를 구하는 것이 아니고 y (why와 발음이 같음:옮김이)를 구하는 것이라고요.

감사합니다.

(박수)