Re:4차방정식인데요

[단무깡]

x^4-ax^2+a^4-4a^2+b^2+6b+13=0이 두개의 허근과 한개의 중근을 갖도록 실수 a,b의 값을 정할때, a+b의 값을 구하여라 입니다...
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한 허근이 근이라면 켤레도 근이기 때문에 두개의 허근은 서로 켤레복소수 관계에 있습니다. 두 허근을 z = α+βi , z'= α-βi 라 둘 수 있겠습니다. 중근을 m 이라 두면 위의 4차방정식은 다음과 같이 인수분해 됩니다.

(x-z)(x-z')(x-m)²=0 ....(1)

근데 만약 m 이 복소수라면 그 켤레도 근이기 때문에 '한개의 중근'이라는 조건을 만족할 수 없게 됩니다. 그래서 m 은 실수여야만 합니다.


한편 k=a^4-4a^2+b^2+6b+13 라 두면 위의 4차 방정식은

x^4-ax^2 + k = 0 ....(2) 입니다.

이런 4차방정식은 y 축 대칭이고 아래로 볼록한 함수입니다. 이런 그래프가 1개의

중근(실근)을 가진다는 것은 그래프가 x 축에 접한다는 의미입니다. 그래서 k=0 입니다.

그러면 (2) 는 다음과 같이 인수분해 됩니다.

x²(x²-a) = 0

(1) 과 비교하면

m=0
z+z' = 2α = 0
zz' = β² = -a ==> a = - β² ( ∴a < 0)

k = a^4-4a^2+b^2+6b+13 = 0 이므로 b 에 관한 2차 방정식을 풀면

b = -3±i|a²-2|

그런데 b 는 실수이므로 |a²-2|=0, 즉 a=±√2

가 되어야 하는데 a 는 0 보다 작으므로 a = -√2 가 됩니다.

b = -3 이므로

a+b = -3-√2

[마왕이삼]

정말 감사함당~~~