뫼비우스의 띠 비밀 풀렸다

[노고지리]

뫼비우스의 띠’ 비밀 풀렸다

영국의 학자들이 ‘뫼비우스의 띠(M¨obius strip)’를 만들 때 가로와 세로의 길이 비율에 따라 띠의 모양이 규칙적으로 달라지는 것을 수학적으로 공식화한 방정식을 만들었다.

‘뫼비우스의 띠’는 길이가 긴 직사각형 종이를 180도 꼬아 붙여 만든 띠. 안과 밖이 분리되지 않고 한 개의 면이 계속 이어진다. 1858년 독일의 수학자 아우구스트 페르디난트 뫼비우스가 이론화해 그의 이름을 땄다.

영국 런던대의 게르트 판 데르 하이덴 박사와 유진 스타로스틴 박사는 띠를 만드는 직사각형의 길이에 따라 달라지는 ‘에너지 밀도’가 띠의 모양에 영향을 준다는 사실을 밝혀내고 이를 수학적으로 공식화한 연구 결과를 발표했다고 AFP통신이 16일 보도했다.

‘뫼비우스의 띠’에는 원상태로 돌아가 힘의 평형 상태를 유지하고자 독특한 형태의 꼬여 있는 부분이 나타난다. 수학 전문용어로는 ‘가전면(可展面·developable surface·직선이 운동할 때 생기는 곡면)’이라고 하는 이 부분이 ‘뫼비우스의 띠’의 모습을 예측하는 핵심이다. 이에 관한 논문은 1930년 처음 발표됐으나 그 규칙에 대해서는 지금까지 밝혀진 바가 없었다.

‘에너지 밀도’는 띠를 접었을 때 재질 전체에 생기는 탄력에너지로 접힘이 심한 곳에서 가장 높고 평평하게 펴진 곳에서 가장 낮다. 연구팀은 띠의 폭이 길이에 비례해 늘어나면 ‘에너지 밀도’가 생기는 부분도 달라진다며 이것이 모양을 변하게 만드는 요인이라고 주장했다.

한국과학기술원 최건호(수리과학과) 교수는 “자연계에서 ‘뫼비우스의 띠’가 실제로 나타나는 모양의 비밀을 수학적 방정식으로 풀어낸 것”이라고 설명했다.

연구팀은 이번 결과가 ‘뫼비우스의 띠’처럼 꼬인 물체의 잘 찢기는 부분을 예측하거나 나노 구조를 이용해 신약을 만드는 약학 분야 등에 다양하게 활용될 것이라고 밝혔다.

뫼비우스의 띠’ Möbius strip

좁고 긴 직사각형 종이를 180°(한 번) 꼬아서 끝을 붙인 면과 동일한 위상기하학적 성질을 가지는 곡면

 

독일의 수학자 A.F.뫼비우스가 처음으로 제시하였기 때문에 뫼비우스의 띠라고 한다. ［그림 1］의 (1)과 같은 직사각형 띠를 꼬지 않고 점 A와 D, 점 B와 C가 만나도록 변 AB와 DC를 붙여 고리를 만들면 ［그림 2］의 (1)과 같이 된다. 또, ［그림 1］의 (2)와 같은 띠를 180° 꼬아서 점 A와 C, 점 B와 D가 만나도록 변 AB와 변 CD를 붙이면 ［그림 2］의 (2)와 같이 된다. 이 ［그림 2］의 (2)의 곡면이 뫼비우스의 띠이다.

이 띠에는 여러 가지 성질이 있다. 이를테면, ［그림 2］의 (1)의 띠 바깥쪽에 칠을 하면, 바깥쪽은 전부 칠해지나 안쪽은 칠해지지 않는다(兩側曲面). 그러나 뫼비우스의 띠의 바깥쪽에서 칠을 해가면 안쪽도 모두 칠해진다(單側曲面). 즉, 안쪽과 바깥쪽의 구별이 없다. 따라서, ［그림 2］의 (1)과 (2)는 동상(同相:위상적으로 동형)이 아니다.

위상기하학에서는 어떤 도형이 튼튼하고 탄력성이 있는 재료로 되어 있다고 생각하고, 이 재료를 자르거나 접거나 잇지 않고 임의로 늘이거나 줄일 수 있는 것으로 생각한다. 그러면, 원 ·삼각형 ·다각형 등은 동상이고, 또 구(球) ·각기둥 ·각뿔 ·정다면체 등도 동상이다.

［그림 3］과 같이 180°×n(n번)만큼 꼬아서 만든 띠를 B_n이라 하면, n이 짝수일 때 B_n은 B_o(［그림 2］의 (1))와 동상이며, n이 홀수일 때 B_n은 B₁(［그림 2］의 (2))과 동상이다. ［그림 2］의 (1)과 같은 띠를 그 중심선을 따라 자르면 2개의 독립된 띠가 되지만, ［그림 4］의 (1)과 같이 한 번 꼬아 만든 뫼비우스의 띠 B₁을 그 중심선을 따라 자르면 네 번 꼬인 하나의 띠 B₄가 된다. 또, ［그림 4］의 (2)와 같이 뫼비우스의 띠 B₁을 그 삼등분선을따라 자르면, 1개의 뫼비우스의 띠 B₁과 네 번 꼬인 띠 B₄가 얽혀 있는 상태가 된다.