숫자 0의 수학적인 의미와 역사

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숫자 0의 수학적인 의미와 역사

Contents

1. 수학적 의미

2. 역사

3. 컴퓨터 과학에서

4. 문화에서의 모습

5. 여담

아라비아 숫자 표기	0
로마 숫자 표기	없음
한국어	영, 공, 빵
한자	零(líng, 속자: 〇)
영어	zero, oh, null, nil[1], nought
일본어	ゼロ, れい, お[2], まる[3]
독일어	Null
프랑스어	Zéro
스페인어	Cero
러시아어	Ноль (놀)
아랍어	(صفر(٠
터키어	sıfır
그리스어	μηδέν
에스페란토	Nulo (눌로)

없음(無)을 나타내는 수. 인도에서 이 숫자의 개념을 발견/발명하였다고 한다. 정수 중 양수도 아니고 음수도 아닌 유일한 수. 한자로는 떨어질 영(零) 또는 빌 공(空)으로 쓴다. 속자로 사용할 땐 무려 〇, 곡선이 사용된다! 아마 한자에서 유일하게 곡선으로만 이루어져 있는 글자.

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1. 수학적 의미 ¶

수로서의 0은 사칙연산에 대한 여러 가지 특수성을 지니고 있다.

• 덧셈: 0에 어떤 수를 더하거나 어떤 수에 0을 더하면 어떤 수 자신이 나온다. (덧셈의 항등원)
• 뺄셈: 0에서 어떤 수를 빼면 부호가 바뀌어서 나오고 어떤 수에서 0을 빼면 어떤 수 자신이 나온다.
• 곱셈: 어떤 수에 0을 곱하면 무조건 0이 되어 버린다. [4] 또한 곱해서 0이 나오면 곱한 수 중 하나 이상은 0이다.
• 나눗셈: 나눗셈의 수학적 정의는 '역수를 곱하는 것'이다. 여기서 역수는 곱셈에 대한 역원, 즉 어떤 수와 곱해서 1이 되는 수로 정의한다. 0과 곱해서 1이 되는 수는 없으므로, 0으로 나누기는 생각하지 않는다.
  

곱셈에세 말한 '곱해서 0이 나오면 곱한 수 중 하나 이상은 0이다'라는 성질은, 얼핏 생각하면 단순해 보이지만 매우 중요한 성질이다. 만약 이 성질이 없다면 방정식을 푸는 것이 불가능한데, (x-a)(x-b)...(x-c) = 0 등으로 아무리 깔끔하게 인수분해를 했어도 각각의 인수가 0이라는 보장이 없기 때문. 실제로 수가 아니라 행렬에서의 방정식을 생각한다면, 이 성질이 성립하지 않기 때문에 이렇게 방정식을 풀 수 없다.

나눗셈에 대해 다른 방식으로 생각해보면, 나눗셈 x = b÷a는 일차방정식 ax = b를 푸는 것이라 생각할 수 있다. 여기서 만약 제수 a가 0이라면,

• b≠0이라면 0×x=b≠0이 되는데 이건 불가능하다. 따라서 x를 만족하는 값, 즉 b/0의 값은 없다.(불능)
• b=0이라면, 0×x=0은 어떤 x에 대해서도 성립한다. 따라서 x를 만족하는 값, 즉 0/0의 값은 무엇이 되어도 되며, 즉 정할 수가 없다.(부정)[5]

그렇기 때문에 0으로 나누는 것은 정의되지 않는다.

0의 또다른 특수성은 '0번째' 혹은 '0개'의 논의에서 온다. 0개의 수를 더하면 0이지만, 0개의 수를 곱하면 1이다! 따라서 0! = 1이라고 말할 수 있다. 비슷하게 경우의 수, 특히 순열과 조합에서는 nP0 = nC0 = 1 이다. 이는 공집합의 원소의 개수는 0이지만, "공집합을 원소로 갖는 집합"의 원소의 개수는 1이기 때문. [6] 비슷하게 0⁰ 을 경우의 수나 조합수학에서 생각할 때는 보통 1로 정의한다. [7] 양수 x가 0으로 수렴할 때 x^x 의 극한값은 1 이기도 하고 앞서 말한 조합적인 접근도 그렇고 0⁰ = 1 로 보면 여러모로 편해지는 부분이 있다. 다만 0⁰ 자체에는 수학적 합의가 없으므로 조심하는 것이 좋다. 자세한 설명은 이쪽에서

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2. 역사 ¶

사실 0을 "발견" 혹은 "발명"했다는 것이 어찌보면 매우 이상하게 여겨질지 모르겠지만, 수학의 역사에서 0은 꽤나 나중에 등장한 개념이었다. 고대 그리스 수학자들은 어떻게 없는 것이 '무언가'가 될 수 있지? 하면서 0의 존재를 부정했다고 한다. 로마 숫자를 표기할 때 1은 I, 2는 II, 3은 III, 4는 IV…… 이런 식으로 나가는 로마 숫자에서도 0은 없었다.. 정확히 말하자면 '아무 것도 없음'이라는 개념은 있었지만, 이를 수로 생각하지는 않았다.

보통 인도에서 0이 7~8세기 정도에 발명되었다고 하는 이야기는, 이들이 0을 사용해 사칙연산을 처음 하였다는 이유에서이다. 다만 0에 대한 이해가 아주 정확한 것은 아니어서 0/0 = 0 같은 잘못된 수식을 사용하곤 하였고, 0으로 나누기를 정의하지 않는다는 것은 무려 근대에 와서야 이루어졌다. 지금도 0의 개념은 교육과정에서 아이들에게 이해시키기에 어려운 개념 중 하나이고, '0이 짝수인지' 등의 문제는 현대인들도 가끔 혼동하는 개념. 하지만 일단 0의 개념이 정확하게 정립되면서, 수학은 획기적인 진보를 이뤄낼 수 있었다. 이는 0이 음수를 생각하는 데에 핵심인 개념이기 때문이고, 따라서 방정식을 풀고 하는 모든 등등의 조작[8]을 가능하게 하기 때문.

역사적으로 매우 중요했지만 현대 사람들은 흔히 간과하는 0의 쓰임새가 하나 있는데, 바로 십진법의 0. 자리지킴이[9](placeholder)로서의 기능이다. 예를 들어서 1004라는 숫자를 썼다고 했을 때, 백의 자리와 십의 자리의 두 개의 0은 그 자리를 지킴으로서, 천의 자리의 1이 숫자 천을 나타내게 해 주는 것. 여기에 만약 0을 쓰지 않는다고 하면 1 4(공백 2개)랑 1 4(공백 1개), 14를 어떻게 구별할 수 있겠는가? 이렇게 0은 십진법에서 자리를 나타내는 핵심적인 역할을 한다. 이 0의 쓰임이 없는 때에는 이집트 숫자나 로마 숫자처럼 각각의 단위마다 다른 기호를 써서 나타낼 수밖에 없었고, 엄청나게 큰 수를 나타내는 건 단위가 모자라서 불가능했던 것이다.

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3. 컴퓨터 과학에서 ¶

C언어를 비롯한 많은 프로그래밍 언어에서 배열의 첨자(index)는 0부터 시작한다. 포트란 혹은 코볼(COBOL)등의 초기의 언어는 역사적 관습을 따라 1부터 숫자를 셌지만, 0부터 세는 관습이 더 편리하기 때문. 예를 들어 C언어에서 배열 a[]의 i번째 원소의 주소(즉 &(a[i]))는 a+i로 매우 간단하게 주어지는데, 이는 0부터 수를 세기 때문에 가능한 것이다.

컴퓨터의 Null이라는 개념은 0과 구분되어야 한다. 개념적으로는 0은 '0'이라고 쓴거고 Null은 그것조차도 없는 것, 하얀 배경에 투명한 공과 하얀공을 올려놓으면 똑같아 보이지만 전혀 다르다는 정도로 생각하면 된다. Null은 공집합과 원소'0' 이라고 얘기하면 쉬울려나?

계산기나 컴퓨터에 0으로 나누기를 억지로 시키면 에러가 난다. 그 이유는 계산기, 즉 컴퓨터가 하는 나눗셈은 계속 빼기를 해서 몇 번 뺐나를 결과로 내는 것이기 때문이다. 그래서 0으로 나누게 하면 12-0=12 12-0=12…… 으로 무한히 빼기를 하다가 컴퓨터가 과부하로 고장나게 된다. 그래서 아예 시스템 상으로 막는다(interrupt).[10] 윈도우 계산기를 열고 0으로 나누어 보면 "0으로 나눌 수 없습니다"라는 오류 메시지가 뜨는 것을 볼 수 있다. 인터럽트 하지 않은 프로세서로 실험한 결과

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4. 문화에서의 모습 ¶

0은 아랍어로는 '씨푸르'라고 발음하는데 '암호'라는 뜻의 영어단어인 cipher의 어원이 여기이며, 또 불어로 숫자는 chiffre(시프르)이다. 씨Foot? 보다 정확히는 아랍어 '씨푸르' صفر가 라틴어 cifra와 이탈리아어 zero의 어원이 되며, 처음에는 '숫자' 또는 '0'이라 쓰인 나중에야 cipher가 '암호'라는 뜻을 얻게 된 것.

대중문화에서 제로 또는 사이퍼라는 이름을 달고 나온 것은 0의 이미지와 어느 정도 연관이 있다. 다만 제로의 경우에는 심하게 남용되어서 '간지나는 이름' 이상의 무언가가 있다고 보기는 힘들지만... 어쨌든 0이라는 숫자는 '기원', '절대적 존재', '아무것도 없음' 등을 종종 상징한다.

보통 1이라는 숫자도 태초 또는 시작을 의미하지만, 0은 이 '1보다 더욱 근본적인 기원'을 의미하게 된다. 프로토타입의 버전이나 프리퀄의 넘버링 등에 쓰이는 용례. 또는 '모든 것을 넘어서는 절대적인 존재' 로서의 의미도 가능하다. 지금은 클리셰가 되어버렸지만, 마치 블리치 등에서 당한 놈들을 능가하는 최강의 랭크 0번이 존재했다. 하는 식으로 등장하는 경우처럼.블리치에선 그냥 발리지만 때로는 '아무것도 없음'의 부정적 의미를 전달하기도 한다.

보다 자세한 것은 여기 리그베다 위키의 제로와 사이퍼의 항목을 참고하자.

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5. 여담 ¶

서양에서는 0에 작대기가 쳐져 있거나(Ø), 안에 점이나 선 등이 들어가 있는(Θ) 것 등을 볼 수 있는데, 이는 로마자의 O(오)와 똑같이 생겨서 혼동하는 것을 막기 위한 것이다. 키보드나 DOS용 프로그램 등에도 이렇게 되어 있는 듯. 옛날 컴퓨터에서 글씨 크기를 충분히 작게 해서 0을 쳐 봤을 때, 한 번쯤 본 적이 있을 것이다. 프로그래밍용으로 많이 쓰는 고정폭 폰트의 경우 0이 이렇게 처리되어 있는 것을 볼 수 있다.

리그베다 위키에서 '0'이라고 입력하여 검색하면 검색이 되지 않았으나, 엔진 교체 이후 수정되었다. 이전에는 전각문자 '０'이나 '영(숫자)'로 입력해야 검색이 가능했다.

수도권 전철에서는 한때 90년대 후반에 있었던 역번호 개편 이전 대화역이 역번호 0번을 가진 적이 있다. 서울 지하철 3호선 개통 당시 구파발역이 시발역이었고 역 번호는 10이었다. 노선 확장을 위해 1~9번을 비워뒀는데, 이후 지축-구파발 구간이 연장되면서 지축역이 9번을 가져갔다. 그 후 일산선이 별도의 노선이 아닌 3호선 직결로 결정되면서 9개의 역이 더 생겼다. 그러다보니 맨 끝의 대화역이 0번이 된 것.

안녕하세요에서 0이라는 숫자를 이름으로 가진 사람의 사연이 소개된 적이 있다. 나쁜 이름 문서의 해당 항목 참조.

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• [1] 컴퓨터 공학에서 0과 null, nil은 전혀 다른 개념이다. 뉴비들을 상당히 혼란스럽게 하는 개념. 0은 말 그대로 숫자 0, null과 nil은 아무것도 없는 상태임을 나타낸다. 굳이 억지로 예를 들자면 '0번'이라는 번호가 부여된 것과 번호가 아예 부여되지 않은 상태의 차이. 다만 두 개념을 철저히 구분하는 시스템이 있는가 하면 내부적으로 null을 0으로써 취급하는 시스템도 있는데, 각각 장단점을 지니고 있어서 두 시스템 간의 우열을 논하기는 곤란하다.
• [2] 영어 O에서.
• [3] 말 그대로 동그라미라서. ex)スタジオ102いちまるに(스튜디오 102)
• [4] 그렇기 때문에 '전화기에 있는 숫자를 모두 곱하면?', '열두 지지의 다리 수를 전부 곱하면?', '(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)……(n-(n-1))(n-n)의 답은?' 등의 수수께끼의 답은 0이다.
• [5] 옳지않다는 뜻의 不正이 아니라 정할 수 없다는 뜻의 不定이다. 부정방정식이나 to부정사의 그것.
• [6] 이를 풀어쓰면 다음과 같다. 원소가 n개인 집합 S의 r-조합은 S_r = { X ⊂ A : |X| = r }의 원소의 개수 |S_r| 로 생각할 수 있다. 만약 여기서 r=0이라면 S_r은 공집합이 아니라, 공집합을 원소로 갖는 집합 {∅}이다. 이 집합의 원소의 개수는 0이 아니라 1이고, 따라서 nC0 = 1이라 자연스럽게 말할 수 있는 것. 순열의 경우에도 비슷하게 생각할 수 있다.
• [7] n^m 은 {1, 2, ..., m}에서 {1, 2, ..., n}으로 가는 함수의 개수로 생각할 수 있다. 공집합에서 공집합으로 가는 함수는 사실 딱 하나 존재한다!
• [8] 이항이라던지 인수분해라던지
• [9] 적절한 번역으로 수정바람.
• [10] interrupt 막다, 방해하다, 간섭하다. 참고로 나누기 0 연산 시 발생하는 zero-devide 인터럽트 외에도 다양한 인터럽트가 존재한다.

[영원히]

잘 보았습니다....