오일러 상수 e ?

[alun]

오일러의 식

에서 문자 하나하나 다 따져서 좀 가르쳐 주세요 문자 하나하나가 무엇을 의미하는지.

식의 내용은 오일러급수중 특별한 형태인 맥클로린 급수를 이용하여 전개하는 방법입니다. (중등과정초과!!!!)

문자는 하나하나 설명하자면,

1. e는 자연상수로 2.718281828..........의 무리수입니다. 수학적으로 특별한 의미가있어서 따로 정한 것입니다.(파이처럼)

2. lim라고 되어있는것은 극한을 나타내는 기호로 밑에 n→∞으로 되어있는 것은 n이 한없이 무한대에 가까워 진다는

것입니다. 그때 lim를 취한 식의 값을 극한값이라고 합니다.

3. Σ는 시그마라고 읽고 아래 k=0, 위에 n이라고 되어있는 것은 k에 0부터 n까지 차례대로 식에 대입했을 때 식들의

총합을 말합니다.

4. !는 팩토리얼이라 읽고 1부터 그숫자까지의 곱을 말합니다.

예를 들어 3!=1×2×3입니다.

이 식의 내용을 이해하는것은 매우 힘드니 지금은 문자 의미만 이런게 있구나라고 이해하시고 나중에는 이해하실 수

있을겁니다.

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자연로그의 밑(base)으로서, 그 근삿값은 e＝2.718281828…이며, 이 수는 무리수인 동시에 초월수(超越數)인 것으로

알려져 있다.

<소개>

상수 e 는 자연로그의 밑이 되는 수이다. 이 수의 값은 대략

이다. 스위스 수학자 레온하르트 오일러의 이름을 따 오일러의 수, 로그 계산법을 도입한 스코틀랜드 수학자 존 네이피어의

 이름을 따 네이피어 상수라고도 불리지만, 보통은 알파벳의 영어발음을 따서 e라고 많이 말한다. 숫자 2와 알파벳 e의

발음이 똑같은 한국어 사용자들은 분간을 위해 자연상수(자연로그의 밑이 되므로) 라고 부르기도 한다. (오일러 상수와는

다른 수이다)

e는 원주율 π, 허수 단위 i 와 함께 가장 중요한 수학의 상수중 하나이다.

이 값은 지수함수 exp의 1에서의 함수값, 즉, exp(1)과 같고, 따라서, 다음과 같은 극한으로 표현된다.

또한, 다음과 같은 무한 급수로 나타낼 수도 있다.

위 식에서 n!은 n의 계승을 나타낸다.

이 수치 e는 지수함수 e^x의 도함수가 자신과 일치하기 때문에 매우 중요하다. 지수함수와 지수함수의 상수배는 자신의

 도함수와 같은 유일한 함수이기 때문에 (y = 0 제외) 자연에서 발견되는 다양한 성장, 감소현상의 모델의 계산에 자주 쓰인다.

e 는 무리수이며, 나아가 초월수이다. e는 초월수의 존재를 증명하기 위해 특별히 고안된 수들을 빼 놓고 초월수 개념이

나오기 전에 알려져 있던 수들 중에 최초로 초월수임이 증명된 수이기도 하다. 1873년 샤를 에르미트(Charles Hermite)가 이를

증명해 냈다. e는 정규(normal number)라고 추측되고 있다.

e 는 다음의 오일러 공식에도 등장한다.

e^iπ + 1 = 0

e 를 연분수(continued fraction)로 표시하면, 다음과 같은 재미있는 패턴을 관찰할 수 있다.

이 상수를 다루는 최초의 참고서는 1618년 존 네이피어에 의해 로그에 대한 연구의 부록으로 간행되었다. 그러나 그것은

상수자체를 담고 있지는 않았고, 단순히 상수로부터 계산된 여러 로그값의 리스트였다. 그 테이블은 윌리엄 오트레드가 만든

것으로 여겨진다. 처음으로 e가 상수라는 것은 야콥 베르누이가 아래 표현의 값을 찾기 위해 노력하는 중 밝혀지게 되었다.

겔폰드(Gelfond) 상수라고 불리는 e^π는 러시아의 수학자 알렉산드르 겔폰드(Aleksandr Gelfond)의 겔폰드 정리에 의하여

초월수임이 밝혀졌다. 이 수의 값은 대략 23.14069… 이다

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무리수 e는 lim (1 + 1/n )^n   (n → ∞) 가 수렴하는 값입니다. 이 형태는 원래 복리계산과 관련하여 처음 등장했다고 합니다.

이 값이 얼마인지에 대해 오랫동안 논란이 있다가 오일러에 의해 무리수임이 밝혀졌고 이 수를 계산하는 것은 뉴튼에 의해

 무한급수 전개로 해결되었습니다.

그런데 이 극한값이 중요한 것은 y = a^x 형태의 함수를 미분할 때 원래 함수와 미분된 함수가 같은 꼴을 하고 계수만

a가 붙어 달라지는데 이 계수가 발생하지 않고 미분한 결과가 원래 함수와 똑같아지는 a의 값을 찾는 과정에서 같은

모양의 극한이나온 것입니다.

y = a^x

y' = lim {a^(x+Δx) - a^x}/Δx   (Δx → 0)

    = lim a^x (a^Δx - 1)/Δx

이 식에서 원래 식과 미분한 결과가 같아지려면 lim (a^Δx - 1)/Δx = 1 이 되어야 합니다. 이 식의 값이 1이 되려면

(a^Δx - 1)/Δx = 1

a^Δx = Δx + 1

양변에 log를 취하면

Δx log a = log (Δx + 1)

log a = {log (Δx + 1)}/Δx = log (Δx + 1)^(1/Δx)

a = (Δx + 1)^(1/Δx)

따라서 Δx = n 이라고 두면 a가 다음의 극한값이 될 때 미분된 식이 원래 식과 같아지게 됩니다.

a = lim (1 + 1/n )^n   (n → ∞)

바로 이 극한값이 바로 우리가 알고 있는 e = 2.718284...입니다. a^x의 미분쁜만 아니라 ln x의 미분도 계수가 발생하지

않습니다. 당연히 적분에서도 계수값이 변하지 않습니다.

사용된 경로라는 건 도대체 무얼 묻는 말인지 모르겠군요.

우리가 로그를 사용할 때 10진법에 기초한 수의 계산은 10을 밑으로 한 상용로그가 편리합니다. 그러나 식을 다루고

미적분을 할 때는 계수가 발생하지 않는 자연로그가 유리합니다. 그리고 자연로그값과 상용로그값은 간단하게 변환이 가

능합니다. 그래서 수학에서는 상용로그를 거의 사용하지 않고 자연로그를 주로 사용합니다.

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두가지로 정의.

이렇게 두개로 정의합니다....

그리고 이것을 밑으로 하는 로그를 자연로그라고 합니다....

걍 뭐 미적할때도 티어나오고...

주로 지수함수 미적에 자주 등장하는넘이져 =_=....

그리고 심심하면 미분방정식에도 가끔가다 티어나오는 놈입니다.

음 이정도? 요런 미분방정식 쪽에 나옵니다.

주 등장장소는 미적분에 등장한다고 보시면 됩니다.

                   

이정도가 e에 관련된 미적 공식이라고 보면 되겠네요 _=.

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예:

문제 3) 서울 강남구에서 새벽 1시에서 2시 사이에 평균 음주 단속 건수는 1.5건이다.
           ① 새벽 1시 10분에서 1시 20분 사이에 음주 단속에 걸리지 않을 확률은?
           ② 위 10분 동안 음주 단속이 2건 이하로 발생할 확률은?
           ③ 위 10분 동안 6명 이상  음주 단속에 걸릴 확률은?

문제 4) 한라모비스에서는 30개의 부품을 한상자에 넣어서 서울공업사에 납품하고 있으며,
           한 상자 당 불량품이 평균 3개가 있는 것으로 조사되었다.
           각 상자에서 부품을 무작위로 6개를 추출하여 검사한다고 하자. 무작위로 추출한 6개의 부품 중에서
           ① 불량품이 2개가 섞여 있을 확률은?
           ② 3개가 섞여 있을 확률은?
           ③ 하나도 없을 확률은 얼마인가?

통계학과 4학년 입니다.

두문제 다 Poisson분포인듯 한데요... 

포아송분포는 아시다시피 (평균^x * exp[-평균])/x! 입니다.

문제 3) 서울 강남구에서 새벽 1시에서 2시 사이에 평균 음주 단속 건수는 1.5건이다.

          여기서의 평균은 60분에 1.5건이므로 10분에는 0.25 입니다.
           ① 새벽 1시 10분에서 1시 20분 사이에 음주 단속에 걸리지 않을 확률은?

(0.25^0*exp[-0.25])/0! = 0.7788
           ② 위 10분 동안 음주 단속이 2건 이하로 발생할 확률은?

[(0.25^1*exp[-0.25])/1!] + [(0.25^2*exp[-0.25])/2!] = 0.1947 + 0.0243 = 0.219 
           ③ 위 10분 동안 6명 이상  음주 단속에 걸릴 확률은?

1-[(0.25^0*exp[-0.25])/0!] + [(0.25^1*exp[-0.25])/1!] + [(0.25^2*exp[-0.25])/2!] + [(0.25^3*exp[-0.25])/3!] + [(0.25^4*exp[-0.25])/4!] + [(0.25^5*exp[-0.25])/5!] + [(0.25^5*exp[-0.25])/5!] = 1-(0.7788+0.1947+0.0243+0.0020+0.0001+0.0000)=0.0011

문제 4) 한라모비스에서는 30개의 부품을 한상자에 넣어서 서울공업사에 납품하고 있으며,
           한 상자 당 불량품이 평균 3개가 있는 것으로 조사되었다.
           각 상자에서 부품을 무작위로 6개를 추출하여 검사한다고 하자. 무작위로 추출한 6개의 부품

           중에서

30개 중에서 불량품의 평균이 3개 이므로 6개 중에서 불량품의 평균은 0.6이다. [∵(3/30)*6]      
           ① 불량품이 2개가 섞여 있을 확률은?

(0.6^2*exp[-0.6])/2! = 0.0988
           ② 3개가 섞여 있을 확률은?

(0.6^3*exp[-0.6])/3! = 0.0198
           ③ 하나도 없을 확률은 얼마인가?

(0.6^0*exp[-0.6])/0! = 0.5488

여기서 ^는 제곱을 나타내며 exp[]는 지수e의 제곱을 뜻합니다.

*는 곱하기를 뜻하며 /는 분수를 뜻하며, !는 펙토리알을 뜻합니다.

ex> 3^2 = 9, 2^3=8

ex> exp[1]=2.718281828=e¹ , exp[2]=7.389056099=e²

허접하지만 수리통계에 대해 질문있으시면 메일 보내주세요~

hejerd@hanmail.net

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