[수학 산책] 확률 - 서로 다른 포켓몬 스티커 159개 모으려면 빵 몇 개 사야 할까요?

[정승남세기영어교육연구회장]

[수학 산책] 확률

서로 다른 포켓몬 스티커 159개 모으려면 빵 몇 개 사야 할까요?

입력 : 2022.04.07 03:30 조선일보

확률

최근 1990년대 유행하던 만화 캐릭터인 포켓몬 스티커가 들어 있는 빵이 재출시되며 다시 인기를 끌고 있어요. 빵을 만든 기업에 따르면, 하나의 빵에 서로 다른 포켓몬 스티커 159가지 중 하나를 무작위로 넣었다고 해요. 그렇다면 모든 포켓몬 스티커를 종류별로 다 모으려면 빵을 몇 개나 사야 할까요?

쉽게 설명하기 위해 총 스티커의 개수는 10개이고, 각 스티커가 같은 개수로 생산된다고 가정해 볼게요. 맨 처음 빵을 샀을 때는 당연히 갖지 못한 스티커가 나오겠죠. 두 번째 빵을 샀을 때 첫 번째 나온 스티커와 다른 것이 나올 확률은 10분의 9가 돼요. 만약 첫 번째와 두 번째 모두 다른 스티커를 뽑았다면, 세 번째 빵을 샀을 때 또 다른 스티커를 뽑을 확률은 10분의 8이겠죠.

이런 방식으로 계산해 보면, 빵을 다섯 개 살 때까지는 다른 스티커가 나올 확률이 더 커요. 여섯 개 살 때에 자신이 가진 스티커가 나올 확률과 갖지 못한 스티커가 나올 확률이 같아지고요. 따라서 빵을 여섯 개 살 때까지는 모두 다른 스티커가 나왔다고 가정할게요.

그럼 아직 얻지 못한 스티커는 총 4장이 돼요. 빵을 하나 더 샀을 때 이전까지 얻지 못한 스티커일 확률은 10분의 4예요. 얻지 못한 스티커를 확실하게 얻으려면, 이 확률이 1이 넘어가야 해요. 빵을 하나 더 사서 총 2개를 사면 여기에 10분의 4 확률이 더해지고, 그러면 그동안 갖지 못했던 스티커를 얻을 확률이 10분의 8이 돼요. 아직도 확률은 1을 넘지 않았기 때문에, 빵을 하나 더 사야 다른 스티커가 나올 확률이 확실해져요. 따라서 빵을 3개 사야 얻지 못한 4개 중 1개의 스티커를 확실하게 얻을 수 있는 거예요.

7개의 서로 다른 스티커를 모았을 때는 어떻게 될까요? 빵을 하나 더 사면 그동안 얻지 못한 스티커일 확률이 10분의 3이죠. 빵을 3개 사도 10분의 9로 1보다 작아요. 따라서 빵을 적어도 4개 이상 사야 하는 거예요. 이런 방법으로 계산해보면 빵이 총 10개일 때 사야 하는 빵의 개수는 1+2+2+ 2+2+2+3+4+5+10=33으로 적어도 33개가 된답니다.

같은 계산 방법을 포켓몬 빵의 스티커에 적용해 보면, 평균적으로 빵을 890개 정도는 사야 한다는 결론이 나와요. 참고로, 계산을 하다 보면 서로 다른 스티커를 모으면 모을수록 새로운 스티커가 나올 확률이 낮아진다는 것을 알 수 있는데요. 예컨대 포켓몬 빵의 경우, 전체의 절반 정도 되는 80개를 모으기 위해 사야 하는 빵의 수는 평균 111개 정도인데, 나머지 79개를 모으기 위해서 사야 하는 빵의 평균 개수는 779개가 된다는 사실을 알 수 있답니다. 

이광연 한서대 수학과 교수

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삼국지(三國志 Romance of The Three Kingdoms)

(1) 중국 고전 가운데 가장 유명하고 또 널리 읽히는 책입니다.

본래 《삼국지》는 후한 말의 혼란기를 틈타 천하 패권을 놓고 다투던 위(魏), 오(吳), 촉(蜀), 세 나라의 역사를 기록한 진수(233~297)의 역사서를 말합니다. 진수는 촉나라에서 일하였으나 촉이 망하자 진(晉)나라에서 일하며 《삼국지》를 편찬하였습니다.

그런데 요즘 우리가 즐겨 읽는 《삼국지》는 한참 후인 명나라에 들어와 나관중(1330?~1400)이 지은 역사소설인 《삼국지연의(三國志演義)》의 번역본입니다.

연의(演義)는 ‘사실을 부연하여 재미있게 설명함’이라는 의미로, 중국에서 역사적 사실을 바탕으로 소설적 재미를 붙여 쓴 글을 가리킵니다.

이렇게 유명한 글이다 보니 유명한 고사성어가 많이 등장하는 것도 당연합니다.

(2) 삼국지 개요

중국의 위(魏) ·촉(蜀) ·오(吳) 3국의 정사(正史).

구분 : 정사서

저자 : 진수(陳壽)

시대 : 위(魏) ·촉(蜀) ·오(吳) 3국

진(晉)나라의 학자 진수(陳壽:233∼297)가 편찬한 것으로, 《사기(史記)》 《한서(漢書)》 《후한서(後漢書)》와 함께 중국 전사사(前四史)로 불린다. 위서(魏書) 30권, 촉서(蜀書) 15권, 오서(吳書) 20권, 합계 65권으로 되어 있으나 표(表)나 지(志)는 포함되지 않았다. 위나라를 정통 왕조로 보고 위서에만 <제기(帝紀)>를 세우고, 촉서와 오서는 <열전(列傳)>의 체제를 취했으므로 후세의 사가(史家)들로부터 많은 비판의 대상이 되었다. 그러나 저자는 촉한(蜀漢)에서 벼슬을 하다가 촉한이 멸망한 뒤 위나라의 조(祚)를 이은 진나라로 가서 저작랑(著作郞)이 되었으므로 자연 위나라의 역사를 중시한 것으로 여겨진다. 그 때문에 후에 촉한을 정통으로 한 사서(史書)도 나타났다. 그러나 찬술한 내용은 매우 근엄하고 간결하여 정사 중의 명저(名著)라 일컬어진다. 다만 기사(記事)가 간략하고 인용한 사료(史料)도 지나치게 절략(節略)하여 누락된 것이 많았으므로 남북조(南北朝) 시대 남조(南朝) 송(宋)의 문제(文帝, 407~453)는 429년에 배송지(裵松之, 372-451)에게 명하여 주(註)를 달게 하였다.

《삼국지》에 합각(合刻)되어 있는 배송지주(裵松之註:裵註)가 그것이다. 이 배송지의 주는 본문의 말뜻을 주해하기보다는 누락된 사실을 수록하는 데 힘을 기울여, 어환(魚豢)의 《위략(魏略)》을 비롯한 하후담(夏侯湛)의 《위서(魏書)》 이하 당시의 사서와 제가(諸家)의 계보(系譜) ·별전(別傳) ·문집(文集) 등 140여 종의 인용문이 기재되어 있다. 이 제서(諸書)는 그 후 태반이 산일(散逸)되었는데, 여기에 인용된 글들이 당시의 사실을 고증하는 데 귀중한 사료가 된다. 그 중에서도 어환의 《위략》은 특히 귀중한 사료가 많이 있어, 이것을 배송지가 인용한 주를 바탕으로 하고, 거기에 다른 일문(逸文)을 추가하여, 청(淸)나라 때 장붕일(張鵬一)이 《위략집본(魏略輯本)》 25권을 편찬하였다.

또한 《위서(魏書)》 동이전(東夷傳)에는 부여(扶餘) ·고구려 ·동옥저(東沃沮) ·읍루(挹婁) ·예(濊) ·마한(馬韓) ·진한(辰韓) ·변한(弁韓) ·왜인(倭人) 등의 전(傳)이 있어, 동방 민족에 관한 최고의 기록으로 동방의 고대사를 연구하는 데 유일한 사료가 된다. 《삼국지》에 관하여는 후세에 많은 참고서가 만들어졌으며, 그 중에서도 청나라 전대소(錢大昭)가 엮은 《삼국지변의(三國志辨疑)》 3권과 양장거(梁章鉅)의 《삼국지방증(三國志旁證)》 30권 및 항세준(杭世駿)의 《삼국지보주(三國志補注)》 등이 저명하다. 최근의 것으로 1957년 베이징[北京]의 고적출판사(古籍出版社)에서 발간된 노필(盧弼)의 《삼국지집해(三國志集解)》 65권, 보권(補卷) 2권이 《삼국지》의 해설서로는 가장 상세하고 완벽한 것이라 할 수 있다.

 왕자와 거지 The Prince and the Pauper / 마크 트웨인(Mark Twain) - 사무엘 클레멘스(Samuel Clemens)

(1) 왕자와 거지(The Prince and the Pauper)는 미국의 문호 마크 트웨인이 46세 때 (1881년)에 발표한 작품으로 12~13세기에 북유럽에서 전해 오던 '왕자와 시종'이라는 전설을 바탕으로 하여 쓴 사회 풍자소설이다.

(2) 왕자와 거지 The Prince and the Pauper 줄거리

톰 캔티는 거지 술중독자 존 캔티의 아들로 오팔가의 빈민가에 태어났고 에드워드 6세는 영국의 왕 헨리 8세의 아들로 궁전에서 태어났는데, 둘은 같은 해 같은 날에 태어났다. 톰은 아버지 존 캔티의 강요로 동냥생활을 했으나 같은 마을에 사는 앤드루라는 신부에게 가서 책을 읽거나 라틴어를 배웠다. 책을 읽으면서 톰은 왕자를 동경하게 되었다. 왕자를 동경하던 톰은 어느 날, 오팔 가를 벗어나 왕자가 사는 궁전에 오게 되었다. 거지 톰을 본 문지기는 톰에게 거칠게 폭행을 가했다. 그것을 본 왕자가 와서 문지기 병사를 엄하게 꾸짖고 톰을 자기의 방으로 데리고 좋은 음식을 가져오라고 명령하여 톰이 마음껏 먹도록 하고 톰과 이야기를 하면서 왕자는 톰의 생활에 흥미를 느끼게 되었다. 에드워드는 서로 옷을 바꾸어 입자고 톰에게 제안하고 둘은 서로 옷을 바꾸어 입었다.

톰과 옷을 바꿔 입은 에드워드 6세 왕자가 밖으로 나가자, 문지기는 에드워드6세가 톰이라고 생각하고 왕자에게 폭행을 가하고 쫓아냈다. 왕자는 밤이 되도록 거리를 해매다가 술에 취한 톰의 아버지 존 캔티를 만나 자기가 왕자라고 말했으나 톰의 아버지 존 캔티는 에드워드 왕자를 붙잡아 자기 집으로 끌고 갔다. 에드워드 왕자가 존 캔티에게 강제로 끌려가는 모습을 본 앤드루 신부는 존 캔티가 에드워드 6세를 가혹하게 다루는 것을 말리려다가 그에게 몽둥이로 머리를 맞아 죽게 되었다.

궁전에 남은 톰은 궁전 사람들에게 자기는 왕자가 아니고 거지라고 신분을 밝혔지만, 궁전 사람들은 왕자가 정신이 이상해졌다고 생각했다. 병상에 누워있던 왕자의 아버지 헨리 8세는 왕자가 미쳤다는 이야기를 하지 못하도록 엄명을 내렸고 병상에서 톰을 만난 헨리 8세는 톰을 에드워드 왕자로 생각하여 톰에게 프랑스어를 말하고 자기가 톰에게 말한 프랑스어를 통역해보라고 말했으나 톰이 헨리 8세가 말하는 프랑스어를 통역하지 못하고 톰이 자기는 왕자가 아니고 어머니와 누나들이 있는 자기의 집으로 보내달라고 말하는 것을 보고 왕자의 정신이 이상해졌다고 실망했다. 이후 에드워드 왕자의 아버지 헨리 8세가 죽자 새로운 왕이 등극하는 것을 축하하는 자리에 톰과 왕족들이 참석했다.

존 캔티에게 잡혀 그의 집에 끌려온 에드워드 6세는 존 캔티에게 맞고 시달렸으나 톰의 어머니는 에드워드가 톰이 아니라는 것을 알았다. 존 캔티에게 머리를 맞은 앤드루 신부가 죽었다는 소식을 들은 존 캔티는 에드워드 6세의 손목을 붙집고 집에서 나와 달아나다가 길에서 슬주정뱅이를 만나 술주정뱅이가 강요하는 술통에 든 술을 마시려고 에드워드의 손목을 잡았던 그의 손을 놓아 에드워드6세는 존 캔티로부터 달아나 새 왕이 등극한 것을 축하하는 축제에 참여한 군중들에게 자기가 왕자라고 외쳤으나 군중들의 비웃움만 샀는데 그 때 에드워드 6세는 마일스 헨든이란 사내의 도움으로 자기를 놀리는 군중들로부터 벗어난 뒤 그와 길을 가다가 아버지 헨리 8세가 죽었다는 소식을 듣고 슬퍼했다. 에드워드 6세는 아버지의 사망으로 왕(에드워드 6세)이 되었지만, 거지꼴에 인정받지 못하는 신세였다. 군중 속으로 사라진 에드워드 6세를 찾던 존 캔티는 마일스와 같이 있는 그를 보고 잡으려 했으나 마일스 헨든의 제지로 포기했다. 마일스 헨든은 왕을 자기의 방으로 안내하여 음식을 먹이고, 왕에게 자기 가족사를 들려주고 왕과 다른 자리에서 잤다.

다음 날, 마일스 헨든은 왕이 잠에서 깨기 전에 밖에 나가 헌 옷 가게에서 왕이 입을 옷 한 벌을 사와 왕의 침대로 갔지만 에드워드 6세는 존 캔티가 보낸 불량배에게 속아 이미 밖으로 나갔다. 마일스 헨든은 에드워드6세를 찾아 나섰다. 존 캔티가 보낸 후우고에게 속은 에드워드6세는 존 캔티와 거지 소굴로 들어가 갖은 고생을 하였다. 거지 소굴의 두목의 명령으로 심부름을 나온 에드워드 6세는 자기를 특히 괴롭히던 후우고를 따돌리고 도망쳤다. 도망친 에드워드는 숲속 불빛을 향해 걸어들어 갔는데, 거기에는 조그만 오두막에 노인이 살고 있었다. 그 노인은 에드워드로부터 영국의 왕 에드워드 6세라는 말을 듣고 자기를 대천사라고 소개하였다. 노인은 에드워드에게 다정하게 대해 주었으나, 에드워드 6세가 자기의 수도원을 파괴하고 교황이 되지 못하게 만든 헨리 8세의 아들이라는 것을 듣고 에드워드가 잠든 뒤 꽁꽁 묶고 살해하려 하였다. 때마침, 마일스 헨든이 나타나자 노인이 마일스를 따돌리려고 밖으로 나간 사이 존 캔티와 후우고가 오두막에 찾아와 에드워드 6세의 결박을 풀고 다시 자기들의 소굴로 끌고 갔다. 존 캔티에게 끌려간 에드워드는 휴우고가 꾸민 계락에 말려들어 도둑으로 몰려 감옥으로 가게 되었으나, 마일스 헨든을 만나 거지 소굴을 탈출하고 그의 고향집으로 함께 갔다. 그러나, 마일스 헨든의 동생 휴 헨든은 마일스 헨든을 매우 냉대하고 그와 크게 싸운 후 마일스 헨든과 에드워드 6세를 감옥에 가게 한다.

마일스 헨든과 감옥에서 나온 에드워드 6세는 대관식 전날에 궁전으로 들어가서 대관식 당일 톰의 머리에 왕관이 씌워지기 직전 대관식장에 나타나 자신이 진짜 왕이라고 말하고 톰도 에드워드가 진짜 왕이라고 밝혔다. 대관식에 참석한 사람들은 에드워드 6세의 얼굴과 톰의 얼굴이 매우 닮은 것을 보고 크게 놀라면서도 에드워드가 진짜 왕인지를 의심했으나, 행방이 묘연했던 옥새가 어디 있는지 에드워드 6세가 말하면서 에드워드 6세는 영국의 국왕으로 왕관을 썼다.

국왕이 된 에드워드 6세는 자기를 도와준 마일스 헨든에게 켄트주의 백작작위를 주고, 톰은 육아원 원장이 되게 하고, 가혹한 법률들을 폐지시켰다.

(3) The Prince and the Pauper is a novel by American author Mark Twain. It was first published in 1881 in Canada, before its 1882 publication in the United States. The novel represents Twain's first attempt at historical fiction. Set in 1547, it tells the story of two young boys who were born on the same day and are identical in appearance: Tom Canty, a pauper who lives with his abusive, alcoholic father in Offal Court off Pudding Lane in London, and Edward VI of England, son of Henry VIII of England.

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(1) 돈키호테 Don Quixote / 세르반테스 (Miguel de Cervantes)
(2) 걸리버 여행기 Gulliver's Travels / 조나단 스위프트 (Jonathan Swift)
(3) 우주 전쟁 The War of The Worlds / H.G. 웰즈(H.G. Wells)

(4) 폭풍의 언덕 Wuthering Heights / 에밀리 브론테(Emily Bronte)
(5) 로빈슨 크루소 Robinson Crusoe / 다니엘디포우(Daniel Defoe)
(6) 파우스트 Faust / 괴테(Goethe)
(7) 로미오와 줄리엣 Romeo and Juliet / 윌리엄 셰익스피어(William Shakespeare)
(8) 왕자와 거지 The Prince and the Pauper / 마크 트웨인(Mark Twain) - 사무엘 클레멘스(Samuel Clemens)
(9) 보물섬 Treasure Island / 스티븐슨(R.L. Stevenson)
(10) 백경(白鯨) Moby Dick / 허만 멜빌(Herman Melville)
(11) 슬리피 해로우의 전설 The Legend of Sleepy Hollow / 워싱톤 어빙(Washington Irving)
(12) 노트르담의 꼽추 The Hunchback of Notre Dame / 빅토르 위고(Victor Hugo)
(13) 정글 북 The Jungle Book / 루드야드 키플링(Rudyard Kipling)
(14) 지킬박사와 하이드씨 Dr. Jekyll and Mr. Hyde / 스티븐슨(R.L. Stevenson)
(15) 크리스마스 선물 A Christmas Carol / 촬스 디킨즈(Charles Dickens)
(16) 80일간의 세계일주 Around The World in Eighty Days / 쥴 베른(Jules Verne)
(17) 해저 2만리 20,000 Leagues Under the Sea / 쥴 베른(Jules Verne)
(18) 위대한 유산 Great Expectations / 촬스 디킨즈(Charles Dickens)

(19) 모히칸족의 최후 The Last of the Mohicans / 제임스 페니모어 쿠퍼(James Fenimore Cooper)
(20) 죄와 벌 Crime And Punishment / 표도르 도스토예프스키(Fyodor Dostoevskii)

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5. 영한대역 칼라만화 삼국지(Romance of the Three Kingdoms) / 나관중 / 20권 / 할인가 108,000원

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8. 위 도서 관련 내용

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