인문학총람 41 - 진리표 Truth Table 真值表

[지음]

진리표

Truth Table 真值表

진리표는 명제를 계산하고 연산하였을 때, 각 명제변수의 진리값에 따라 참과 거짓으로 표시한 표다. 진리표의 바탕인 명제는 참과 거짓을 명확하게 판별할 수 있는 문장이나 논리식이다. 하나의 주어와 술어로 구성된 명제를 원자명제 또는 단순명제라고 하고, 원자명제가 연결된 명제를 복합명제라고 한다. 진리표는 원자명제 그 자체의 참과 거짓 그리고 연결사로 연결된 복합명제의 참과 거짓의 진리치를 계산하여 공식화한 결과다. 여러 가지 명제 변항과 명제함수가 대응되는 양상과 그에 따른 진리값을 보여준다. 프레게 이후 논리식과 명제는 여러 가지 기호로 표시된다. 대표적으로는 다음과 같다. 명제 문자(proposition letter)에는 a,b,c, P,Q,R 등, 연결사(connective, logical operator)는 ￢, ∧, ∨, →, ↔ 등, 괄호(parentheses)는 ( ), [ ], { }, 동치(equivalence)는 ≡, 함의(implication)는 ⊢, ⊨ 등이 있다.

진리표는 기본명제와 기본 연결사 5개를 연결하여 얻을 수 있다. 이것을 명제계산이라고 하며 다섯 개의 연결사는 부정(￢), 연언(∧), 선언(∨), 조건(→), 쌍조건(↔)이다. 그 외에 동치, 함의, 보편양화사, 존재양화사 등도 쓰인다. 먼저 기본 진리표를 보면 다음과 같다.

P	Q	￢P	￢Q	P∧Q	P∨Q	P→Q	P↔Q
T	T	F	F	T	T	T	T
T	F	F	T	F	T	F	F
F	T	T	F	F	T	F	F
F	F	T	T	F	F	F	T

진리표는 다양하게 확장될 수 있다. 그리고 아무리 복잡한 문장이라도 논리식으로 표시할 수 있고 계산할 수 있다. 명제계산에서 중요한 계산 방법은 다음과 같다. 첫째, 부정은 항상 반대의 진리값을 가진다. P가 참(T)이면 P의 부정은 거짓(F)이고 P가 거짓(F)이면 P의 부정은 참(T)이다. 둘째, 연언 또는 논리곱은 P와 Q가 모두 참일 때만 참이고 그 외에는 모두 거짓이다. 셋째, 선언 또는 논리합은 P와 Q가 모두 거짓일 때만 거짓이고 그 외에는 모두 참이다. 하지만 배타적 선언과 포괄적 선언이 구별된다. 배타적 선언은 일상어 ‘또는(or)’에서 보듯이 하나만 참일 때 참이라는 배타성이 있다. 그러므로 P와 Q가 둘 다 참일 때의 진리값은 거짓(F)이다. 포괄적 선언은 P와 Q가 둘 다 참이거나 하나만 참이어도 참이다. 넷째, 조건은 ‘P이면 Q다(P→Q)’인데 P와 Q가 둘 다 참일 때 참이고 P가 참이고 Q가 거짓일 때는 거짓이다. 그리고 P가 거짓일 때, Q는 참이든 거짓이든 참이다.

조건명제에서 P가 존재가정 되지 않았을 때는 일단 참으로 간주한다. 예를 들면, ‘만약 철수가 화성에 산다면 그는 한국인이다’처럼 존재를 가정할 수 없을 때 결론인 ‘철수는 한국인이다’는 거짓이 아니다. 그 이유는 배중률에 의하여 거짓이 아닌 명제는 참이기 때문이다. 그러므로 전제인 P가 존재가정 되지 않았을 때는 결론인 Q는 참으로 간주해야 한다. 다섯째, 쌍조건 또는 상호조건은 P와 Q가 둘 다 참일 때와 P와 Q가 둘 다 거짓일 때는 참이고, 서로 다른 진리값을 가졌을 때는 거짓이다. 이상 다섯 개의 연결사로 모든 논리적 명제와 복합적인 명제를 표시하고 또 명제의 진리값을 계산할 수 있다. 명제논리에서는 처음 주어진 명제의 참과 거짓을 판정하는 것보다, 주어진 명제가 다른 명제로 바뀌었을 때 또는 명제들이 연결되어 복합명제가 되었을 때 참과 거짓의 진리값을 계산하는 것을 더 중요하게 여긴다. 그래서 명제논리를 명제계산(propositional calculus)이라고 하는 것이다.

위 진리표에는 변항이 P, Q만 제시되어 있으나 또 다른 변항인 R을 첨가할 수도 있다. 그러면 명제계산이 더욱 복잡해진다. 명제의 수가 16개가 되기 때문이다. 명제논리에서 연결사로 연결된 명제 역시 명제다. 그러므로 ((￢P)→Q∧R, (￢(P∨Q))∨￢R은 모두 명제다. 아무리 복잡한 명제라도 기본 명제의 확장이나 복합일 뿐이다. 가령 P∧Q를 전도(inversion)하여 ￢P∧￢Q로 만들더라도 ￢P와 ￢Q항의 진리값을 계산할 수 있다. 여기서 유의해야 할 점은 명제계산은 논리의 형식을 계산하는 것이지 논리의 의미를 계산하는 것은 아니라는 것이다. 예를 들면, ‘철수는 사과를 먹든지 또는 포도를 먹는다’를 일상어로 해석하는 것과 명제를 계산하는 것은 다르다. 일상언어에서는 철수가 사과만 먹든지, 포도만 먹는 것으로 번역한다. 하지만 명제계산에서는 이 번역 외에도 사과도 먹고 포도도 먹는 것으로 번역한다. (김승환)

*참조 <귀납⦁연역⦁귀추>, <논리>, <논리학>, <논리 기호>, <명제>, <명제논리>, <반대와 모순>, <보편양화사>, <선언[논리>, <술어논리>, <양상논리>, <양화논리>, <양화사>, <원자명제>, <이환⦁대우>, <정언명제>, <조건[논리]>, <존재양화사>, <집합>, <환위[논리]>, <환질[논리]>