첫댓글 P_n을 균등분할로 보면 f가 적분가능한 것과 위 등식이 동치라고 알고 있습니다.P_n을 임의의 분할로 생각하려면 P_1, P_2, ... 이렇게 번호를 붙이는 분할을 어떻게 택해야할까요?...
이 정동명 연습문제인데요 이거 풀다가 적분값을 구할때 답지에서 lim(U(f,pn))으로 구하더라구요ㅠ그래서 궁금했어요
여기서는 분할을 이렇게 택합니다
@mathshin 문제에선 n이 고정값이고요. 풀이에서 n은 문제에서의 n과 다른거죠? 그래야 말이 될 것 같은데요...
@김성희 다르게 둬야할것같아용 이 경우는 균등분할이라고 할수 없죠?
@mathshin 네, 균등은 아닙니다. 그리고 여기선 lim U(f, P_n)이라고 적어줬는데 P_n의 세팅상 ||P_n||->0인 상황을 말하는 것 같습니다. 그래서 분할의 최대 크기가 0으로 간다는 건 n을 무한대로 보내는 것과 같은 상황이죠.
@김성희 그러면 L(f,pn)이랑 U(f,pn)이 1로 슈렴하니까 조임정리로 적분값이 1이라고 할수 있을까요?
@김성희 f가 리만적분 가능하므로 상적분과 적분값이 같다 라고 하고 더 엄밀할까요?
@mathshin 1-2n/K가 1로 수렴하나요?... lim U(f, P_n)이라고 쓴 것도 사실 이해가 안 가요... 내일 좀 더 보고 다시 답변 드릴게요~
@김성희 네 사실 저도 답지도 limU(f,pn)이라고 쓴게 이해되지않았는데 답지에 오류가 좀 있는거 같습니다 답지 그대로 쓴거거든요 ㅠ 늦은시간에 감사합니다!
@김성희 문제 해결 되었습니다 어제 늦은시간까지 봐주셔서 너무 감사해요 ㅠㅠ
@mathshin 아직 다시 보지 못했는데, 위 풀이가 맞는건가요?
@김성희 이렇게 고치면 되지않을까 생각듭니다
@mathshin 네, n을 빼고 ||P||를 충분히 작게 잡아주는 형태로 가면 될 것 같아요. 그리고 적분값은 lim 계산이 아니라 inf{U(f, P)}로 하고요. 소구간에서 함수의 sup은 항상 1이니까요.
@김성희 n을 빼고 ||P||를 충분히 작게 잡아주는 형태가 어떤건가요?
@mathshin 아;; 적분가능을 보일 때엔 P 하나만 선택해주면 되는군요. 임의의 ε>0에 대해 1/K <ε/2n 을 만족하는 K(자연수)가 존재한다고 하고 P는 위와 같이 택하면 됩니다. 그러면 일단 적분가능은 보여집니다.
@김성희 넵 감사합니다~!
리만적분가능하면 적분값은 하적분값과 같기 때문에 하적분값을 구하는 것에 초점을 맞춰보도록 하죠. P_(n+1)이 P_n의 세분할이라면 L(f,P_(n+1))<=L(f,P_n)이 되므로 L(f, P_n)은 증가수열이 됩니다. 따라서 limL(f,P_n)=sup{L(f,P_n)|P_n in P[0,1]}=(하적분의 정의)가 되므로 위의 등식이 성립합니다
첫댓글 P_n을 균등분할로 보면 f가 적분가능한 것과 위 등식이 동치라고 알고 있습니다.
P_n을 임의의 분할로 생각하려면 P_1, P_2, ... 이렇게 번호를 붙이는 분할을 어떻게 택해야할까요?...
이 정동명 연습문제인데요 이거 풀다가 적분값을 구할때 답지에서 lim(U(f,pn))으로 구하더라구요ㅠ그래서 궁금했어요
여기서는 분할을 이렇게 택합니다
@mathshin 문제에선 n이 고정값이고요. 풀이에서 n은 문제에서의 n과 다른거죠? 그래야 말이 될 것 같은데요...
@김성희 다르게 둬야할것같아용 이 경우는 균등분할이라고 할수 없죠?
@mathshin 네, 균등은 아닙니다. 그리고 여기선 lim U(f, P_n)이라고 적어줬는데 P_n의 세팅상 ||P_n||->0인 상황을 말하는 것 같습니다. 그래서 분할의 최대 크기가 0으로 간다는 건 n을 무한대로 보내는 것과 같은 상황이죠.
@김성희 그러면 L(f,pn)이랑 U(f,pn)이 1로 슈렴하니까 조임정리로 적분값이 1이라고 할수 있을까요?
@김성희 f가 리만적분 가능하므로 상적분과 적분값이 같다 라고 하고 더 엄밀할까요?
@mathshin 1-2n/K가 1로 수렴하나요?... lim U(f, P_n)이라고 쓴 것도 사실 이해가 안 가요... 내일 좀 더 보고 다시 답변 드릴게요~
@김성희 네 사실 저도 답지도 limU(f,pn)이라고 쓴게 이해되지않았는데 답지에 오류가 좀 있는거 같습니다 답지 그대로 쓴거거든요 ㅠ 늦은시간에 감사합니다!
@김성희 문제 해결 되었습니다 어제 늦은시간까지 봐주셔서 너무 감사해요 ㅠㅠ
@mathshin 아직 다시 보지 못했는데, 위 풀이가 맞는건가요?
@김성희 이렇게 고치면 되지않을까 생각듭니다
@mathshin 네, n을 빼고 ||P||를 충분히 작게 잡아주는 형태로 가면 될 것 같아요. 그리고 적분값은 lim 계산이 아니라 inf{U(f, P)}로 하고요. 소구간에서 함수의 sup은 항상 1이니까요.
@김성희 n을 빼고 ||P||를 충분히 작게 잡아주는 형태가 어떤건가요?
@mathshin 아;; 적분가능을 보일 때엔 P 하나만 선택해주면 되는군요. 임의의 ε>0에 대해 1/K <ε/2n 을 만족하는 K(자연수)가 존재한다고 하고 P는 위와 같이 택하면 됩니다. 그러면 일단 적분가능은 보여집니다.
@김성희 넵 감사합니다~!
리만적분가능하면 적분값은 하적분값과 같기 때문에 하적분값을 구하는 것에 초점을 맞춰보도록 하죠.
P_(n+1)이 P_n의 세분할이라면 L(f,P_(n+1))<=L(f,P_n)이 되므로 L(f, P_n)은 증가수열이 됩니다. 따라서 limL(f,P_n)=sup{L(f,P_n)|P_n in P[0,1]}=(하적분의 정의)가 되므로
위의 등식이 성립합니다