open3D 06

[신민서]

06. 3D Transformation

다음 용어를 설명하라.

• 단위행렬
  
  Iɴ으로 나타내는 ɴ × ɴ 단위행렬은 행이 ɴ개이고 열이 ɴ개인 행렬임
  좌측 상단으로부터 우측 하단까지 대각선 성분들이 모두 1이고, 나머지 성분들은 0

• 역행렬
  
  X의 역행렬이라고 하면, 정사각 행렬X에 곱해서 단위행렬이 나오게끔 하는 행렬을 역행렬이라고 함
  행렬 X의 역행렬은 X⁻¹로 표시함
  
  역행렬은 원래의 행렬과 곱했을 때 단위행렬이어야 하므로, 행과 열의 개수가 같은 정사각 행렬이어야 함
  수식은 아래와 같음
  
  https://simplecode.kr/82#%EC%97%AD%ED%96%89%EB%A0%AC%EC%9D%B4%EB%9E%80%3F-1

• 전치행렬
  
  A의 행렬이 2×3 형태를 가졌을 때 이 행과 열을 서로 맞바꾼 행렬을 전치행렬이라고 함
  따라서 A의 전치행렬은 3×2의 형태를 가짐
  행렬 A의 전치행렬은 A^⊺로 표시함

행렬 연산할 때 넘파이 함수가 파이썬 함수보다 속도가 빠른 이유를 설명하라.

NumPy 함수는 내부가 C로 구현되어 있음
Python 언어로 구현된 것과 C언어로 구현되는 것은 연산 처리에서 속도 차이가 나게 됨

Python은 인터프리터 언어임

> 소스코드를 한 줄 한 줄 읽어가며 명령을 바로 처리하는 프로그램

> 번역과 실행이 실시간으로 동시에 이루어짐

반면 C언어는 컴파일된 코드가 계산을 처리하는 방식
> 이미 기계어로 번역해서 따로 저장되어 있음
> 바로 실행에 들어가서 Python 언어보다 빠름

https://numpy.org/

NumPy

여러 개의 좌표변환을 적용할 때 변환의 순서를 변경하면 어떻게 되는가?

 좌표변환의 순서를 바꾸면 결과가 달라짐

만약 좌표변환을 회전 후 이동¹을 시킨 결과와 이동 후 회전²을 시킨 결과를 비교해보면 됨

변환 순서가 회전 후 이동인 경우에는 기준축을 중심으로 회전하고 나서 위치를 이동 ¹ 하게 되고
이동 후 회전인 경우에는 기준축이 아닌 위치에서 회전 ² 하기 때문에 경로가 달라짐

두 가지를 이용해 예시를 적용해보면, 

점 P = (1, 0, 0)일 때, 회전을 z축 기준으로 90도, 이동을 (1, 0, 0) 한다고 가정

¹의 경우 (0, 0, 90) z축 회전 >> P = (0, 1, 0)
다음 이동을(1, 0, 0) 만큼 하면 P = (1, 1, 0)

²의 경우 (1, 0, 0) 이동 >> P = (2, 0, 0)
다음 회전을 (0, 0, 90) z축 회전하면 P = (0, 2, 0)

결과가 아예 달라지기 때문에 순서를 변경하지 않아야 함

Numpy를 이용하여 점 (1, 2, 3)을 x축 기준으로 90도 회전 > 5배 확대

> x, y, z축으로 (10, 10, 10)만큼 평행이동 후 점을 구하라.

(위 문제에서 변환 후 점을 다시 원래의 점으로 변환해보시오.)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67

import numpy as np   P = np.array([[1], [2], [3], [1]])  # 4×1   theta = np.pi / 2 # X축 기준 90도 회전 행렬 (라디안 단위) Rx = np.array([     [1, 0, 0, 0],     [0, np.cos(theta), -np.sin(theta), 0],     [0, np.sin(theta),  np.cos(theta), 0],     [0, 0, 0, 1] ])   # 5배 확대 행렬 S = np.array([     [5, 0, 0, 0],     [0, 5, 0, 0],     [0, 0, 5, 0],     [0, 0, 0, 1] ])   # (10, 10, 10) 평행이동 행렬 T = np.array([     [1, 0, 0, 10],     [0, 1, 0, 10],     [0, 0, 1, 10],     [0, 0, 0, 1] ])   step1 = np.matmul(Rx, P) # 회전 step2 = np.matmul(S, step1) # 확대 result = np.matmul(T, step2) # 이동   print("최종 변환된 점:", result[:3].flatten())   #################################################### #역변환 과정   # 평행이동 역행렬: (−10, −10, −10) T_inv = np.array([     [1, 0, 0, -10],     [0, 1, 0, -10],     [0, 0, 1, -10],     [0, 0, 0, 1] ])   # 확대 역행렬: 1/5 배 S_inv = np.array([     [1/5, 0, 0, 0],     [0, 1/5, 0, 0],     [0, 0, 1/5, 0],     [0, 0, 0, 1] ])   # 회전 역행렬: -90도  theta_inv = -theta Rx_inv = np.array([     [1, 0, 0, 0],     [0, np.cos(theta_inv), -np.sin(theta_inv), 0],     [0, np.sin(theta_inv),  np.cos(theta_inv), 0],     [0, 0, 0, 1] ])   step_r1 = np.matmul(T_inv, result) step_r2 = np.matmul(S_inv, step_r1) ori = np.matmul(Rx_inv, step_r2)   print("역변환 후 점:", ori[:3].flatten())

cs

Numpy를 이용하여 점 (1, 2, 3)을 x, y, z축으로 (10, 10, 10)만큼 평행이동 > 5배 확대

> x축 기준으로 90도 회전 후 점을 구하라.

(위 문제에서 변환 후 점을 다시 원래의 점으로 변환해보시오.)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67

import numpy as np   P = np.array([[1], [2], [3], [1]])  # 4×1   theta = np.pi / 2 # X축 기준 90도 회전 행렬 (라디안 단위) Rx = np.array([     [1, 0, 0, 0],     [0, np.cos(theta), -np.sin(theta), 0],     [0, np.sin(theta),  np.cos(theta), 0],     [0, 0, 0, 1] ])   # 5배 확대 행렬 S = np.array([     [5, 0, 0, 0],     [0, 5, 0, 0],     [0, 0, 5, 0],     [0, 0, 0, 1] ])   # (10, 10, 10) 평행이동 행렬 T = np.array([     [1, 0, 0, 10],     [0, 1, 0, 10],     [0, 0, 1, 10],     [0, 0, 0, 1] ])   step1 = np.matmul(T, P) # 이동 step2 = np.matmul(S, step1) # 확대 result = np.matmul(Rx, step2) # 회전   print("최종 변환된 점:", result[:3].flatten())   #################################################### #역변환 과정   # 평행이동 역행렬: (−10, −10, −10) T_inv = np.array([     [1, 0, 0, -10],     [0, 1, 0, -10],     [0, 0, 1, -10],     [0, 0, 0, 1] ])   # 확대 역행렬: 1/5 배 S_inv = np.array([     [1/5, 0, 0, 0],     [0, 1/5, 0, 0],     [0, 0, 1/5, 0],     [0, 0, 0, 1] ])   # 회전 역행렬: -90도 theta_inv = -theta Rx_inv = np.array([     [1, 0, 0, 0],     [0, np.cos(theta_inv), -np.sin(theta_inv), 0],     [0, np.sin(theta_inv),  np.cos(theta_inv), 0],     [0, 0, 0, 1] ])   step_r1 = np.matmul(Rx_inv, result) # 회전 step_r2 = np.matmul(S_inv, step_r1) # 확대 ori = np.matmul(T_inv, step_r2) # 이동   print("역변환 후 점:", ori[:3].flatten())

cs

Numpy를 이용하여 점 (1,0,0)을 z축을 기준으로 90도 회전 -> x축으로 90도 회전 

-> y축으로 90도 회전 후 점을 구하라.

• 역변환을 통하여 원래의 점으로 돌아가는지 확인하라.
• 3차원 공간에 그림으로 그려서 위 결과를 설명하라.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71

import numpy as np   P = np.array([[1], [0], [0], [1]])   # 90도 (라디안) theta = np.pi / 2   # Z축 회전 행렬 Rz = np.array([  [np.cos(theta), -np.sin(theta), 0, 0],  [np.sin(theta),  np.cos(theta), 0, 0],  [0, 0, 1, 0],  [0, 0, 0, 1] ])   # X축 회전 행렬 Rx = np.array([  [1, 0, 0, 0],  [0, np.cos(theta), -np.sin(theta), 0],  [0, np.sin(theta),  np.cos(theta), 0],  [0, 0, 0, 1] ])   # Y축 회전 행렬 Ry = np.array([  [np.cos(theta), 0, np.sin(theta), 0],  [0, 1, 0, 0],  [-np.sin(theta), 0, np.cos(theta), 0],  [0, 0, 0, 1] ])   step1 = np.matmul(Rz, P) step2 = np.matmul(Rx, step1) P_rotated = np.matmul(Ry, step2)   print("회전된 점:", P_rotated[:3].flatten())    ############################################## # 역변환 (각 축에 대해 -90도 회전) theta_inv = -theta   # 역 Z축 회전 Rz_inv = np.array([  [np.cos(theta_inv), -np.sin(theta_inv), 0, 0],  [np.sin(theta_inv),  np.cos(theta_inv), 0, 0],  [0, 0, 1, 0],  [0, 0, 0, 1] ])   # 역 X축 회전 Rx_inv = np.array([  [1, 0,   0,  0],  [0, np.cos(theta_inv), -np.sin(theta_inv), 0],  [0, np.sin(theta_inv),  np.cos(theta_inv), 0],  [0, 0,   0,  1] ])   # 역 Y축 회전 Ry_inv = np.array([  [np.cos(theta_inv), 0, np.sin(theta_inv), 0],  [0, 1, 0, 0],  [-np.sin(theta_inv), 0, np.cos(theta_inv), 0],  [0, 0, 0, 1] ])   step_r1 = np.matmul(Ry_inv, P_rotated) step_r2 = np.matmul(Rx_inv, step_r1) P_recovered = np.matmul(Rz_inv, step_r2)   print("역변환 후 원래 점:", P_recovered[:3].flatten())   Colored by Color Scripter

cs

회전된 점은 부동소수점 오차때문에 저렇게 나옴 = [1, 0, 0]이라고 보면 됨 (round 이용하면 해결됨)

왜 90도씩 회전해도 같은 점이 나오는지?

1. 처음 점 P = (1, 0, 0)
2. z축 90도 회전 = (0, 1, 0)

3. x축 90도 회전 = (0, 0, 1)

4. y축 90도 회전 = (1, 0, 0)

3D 시각화 코드

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

# PointCloud로 시각화   # 각 점을 PointCloud로 생성 pcd_origin = o3d.geometry.PointCloud() pcd_origin.points = o3d.utility.Vector3dVector([P[:3, 0]]) pcd_origin.colors = o3d.utility.Vector3dVector([[0, 0, 1]])  # 파랑 (원래 위치)   pcd_rotated = o3d.geometry.PointCloud() pcd_rotated.points = o3d.utility.Vector3dVector([P_rotated[:3, 0]]) pcd_rotated.colors = o3d.utility.Vector3dVector([[1, 0, 0]])  # 빨강 (세번 회전 후 위치)   pcd_recovered = o3d.geometry.PointCloud() pcd_recovered.points = o3d.utility.Vector3dVector([P_recovered[:3, 0]]) pcd_recovered.colors = o3d.utility.Vector3dVector([[0, 1, 0]])  # 초록 (다시 역변환 된 위치)     axis = o3d.geometry.TriangleMesh.create_coordinate_frame(size=0.5) o3d.visualization.draw_geometries([axis, pcd_origin, pcd_rotated, pcd_recovered])

cs

시각화 이미지

> 복구가 잘 되어서 초록점은 보이지 않음, 또한 파란점=빨간점 때문에 보이지 않음

Numpy를 이용하여 점 (1,0,0)을 z축을 기준으로 45도 회전 -> x축 으로 45도 회전

-> y축으로 45도 회전 후 점을 구하라.

• 역변환을 통하여 원래의 점으로 돌아가는지 확인하라.
• 3차원 공간에 그림으로 그려서 위 결과를 설명하라.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71

import numpy as np   P = np.array([[1], [0], [0], [1]])   # 45도 (라디안) theta = np.deg2rad(45)   # Z축 회전 행렬 Rz = np.array([  [np.cos(theta), -np.sin(theta), 0, 0],  [np.sin(theta),  np.cos(theta), 0, 0],  [0, 0, 1, 0],  [0, 0, 0, 1] ])   # X축 회전 행렬 Rx = np.array([  [1, 0, 0, 0],  [0, np.cos(theta), -np.sin(theta), 0],  [0, np.sin(theta),  np.cos(theta), 0],  [0, 0, 0, 1] ])   # Y축 회전 행렬 Ry = np.array([  [np.cos(theta), 0, np.sin(theta), 0],  [0, 1, 0, 0],  [-np.sin(theta), 0, np.cos(theta), 0],  [0, 0, 0, 1] ])   step1 = np.matmul(Rz, P) step2 = np.matmul(Rx, step1) P_rotated = np.matmul(Ry, step2)   print("회전된 점:", P_rotated[:3].flatten())    ##############################################333 # 역변환 theta_inv = -theta   # 역 Z축 회전 Rz_inv = np.array([  [np.cos(theta_inv), -np.sin(theta_inv), 0, 0],  [np.sin(theta_inv),  np.cos(theta_inv), 0, 0],  [0, 0, 1, 0],  [0, 0, 0, 1] ])   # 역 X축 회전 Rx_inv = np.array([  [1, 0,   0,  0],  [0, np.cos(theta_inv), -np.sin(theta_inv), 0],  [0, np.sin(theta_inv),  np.cos(theta_inv), 0],  [0, 0,   0,  1] ])   # 역 Y축 회전 Ry_inv = np.array([  [np.cos(theta_inv), 0, np.sin(theta_inv), 0],  [0, 1, 0, 0],  [-np.sin(theta_inv), 0, np.cos(theta_inv), 0],  [0, 0, 0, 1] ])   step_r1 = np.matmul(Ry_inv, P_rotated) step_r2 = np.matmul(Rx_inv, step_r1) P_recovered = np.matmul(Rz_inv, step_r2)   print("역변환 후 원래 점:", P_recovered[:3].flatten())   Colored by Color Scripter

cs

마찬가지로 부동소수점 오차만 존재 (1, 0, 0)으로 복원됨

시각화 이미지