오일러 지표와 오일러 공식

[일더하기오]

1. 토러스에서 파란색 사각형의 내부?가 평면 그래프에서 파란색 사각형의 내부와 대응 되는 것처럼 설명을 해서 다른 것을 세니까 오일러 지표와 오일러 공식이 다르다고 했는데, 평면 그래프에서 파란색 사각형의 외부면에 대응한다고 생각하면 보충설명이 있어야하지 않나요?

2. 그래서 다음과 같이 설명해봤는데 괜찮을까요?
같은 대상이라고 생각하면 위상동형이 되어야 합니다. 그런데 토러스에서는 고리가 있지만(단순닫힌곡선이 한 점으로 연속적으로 수축하지 않을 수도 있지만) 평면에서는 그렇지 않으니까 위상동형이 아닙니다. 따라서 서로 다른 대상입니다.
저 평면그래프에서는 왜 V-E+F=2 가 성립하는지 토러스의 사각분할과 관련을 지어봅시다. 일단 토러스의 사각분할에 대해 v-e+f=0. 그런데 고리가 있어서 문제가 생기니 토러스의 사각분할에서 면을 하나만 남기고 다 없앱니다. 남은 면의 개수는 f-3. 사각분할에서 남은 것을 위의 평면 그래프처럼 평면에 위상동형을 유지하면서 전개시킬 수 있습니다. 그런데 전개시킨 것은 중앙의 면을 제외하고 모두 비어있습니다(바깥면까지). 즉 5개의 면이 비어있는데 이를 모두 채워주면 위의 평면그래프를 얻을 수 있습니다. 이때 V=v, E=e, F=(f-3)+5 이므로 V-E+F = v-e+f+2 = 2.

[수정과]

질문이 잘 이해가 되지 않습니다. 토러스 위의 파란색 영역이 왜 평면그래프의 바깥면에 대응하는건가요?
강의시간에 설명하신 것을 들어보니 자주 나오는 질문으로서 '이산수학의 v-e+f와 미분기하학에서 v-e+f가 식이 같아 보이는데 왜 결과가 다를 수 있냐'는 질문에 대해 v,e는 같지만 f가 서로 다른 것을 의미하므로 충분히 다를 수 있다는 것을 설명하시고자 한 것 같습니다.

[일더하기오]

강의에서 제가 파란색 영역으로 표시한 부분이 평면 그래프의 파란색 사각형의 내부로 대응되는 것처럼 말했는데 평면 그래프에서의 파란 사각형의 내부는 여러개의 면으로 이루어져 있어서 말이 안되고 그래서 서로 다른 대상이라는 식으로 설명한 게 아닌가요?

그렇게 이해해서 바깥면으로 대응시키면 한 개의 면에 대응되니까 문제될 게 없어보였거든요.

[일더하기오]

v,e는 같고 f가 다르니 v-e+f 값이 다를 수 있다고 설명하면 좀 와닿지가 않습니다. 오일러 지표가 일정하다는 정리 때문에 v,e,f 값이 어떻든지 오일러지표는 안 변해야하는데 왜 변하냐는 질문 같거든요. 그러니까 평면그래프가 토러스의 사각분할처럼 보이는데 왜 오일러 지표가 달라지냐는 의미의 질문 같습니다. 저 설명으로는 v,e는 같지만 f가 달라도 같아야하지 않나는 의문은 풀리지 않는 것 같습니다.

개인적으로 이산수학의 v-e+f=2 나오는 이유를 수교에서 라카토스의 준경험주의에 나온 예와 관련지어 생각해봤습니다. 사각분할에서 한면을 제거한 것을 위상동형이 되도록 평면그래프로 변형시킬 수 있는 필요충분조건이 고리가 없는 컴팩트 연결곡면인 거 같고 고리가 없는 컴팩트 연결곡면의 오일러 지표는 2니까 이산수학의 v-e+f=2와 관계를 지을 수 있다고 생각했습니다. 다시 본글에 제시된 예를 생각해보면 고리가 있는 컴팩트 곡면이라서 사각분할에서 한면을 제거해도 평면 그래프(바깥면 제외)와 위상동형이 되도록 변형시킬 수 없기 때문에 서로 다른 대상이고 곡면의 오일러지표도 2와 달라진다고 생각했습니다.

거칠게 주장을 이어나가서 정당한지 검증받고 싶었어요.

[수정과]

식의 모양이 같지만 결과가 다르게 나올 수도 있는 상황을 러프하게 설명하신 것입니다. 그러므로 말씀하신 것과 같이 평면그래프가 구면 위에 정의될 수 있는 것과 위상동형을 이용하여 서로 다른 것임이 구체적으로 이야기가 되어야 하는 상황입니다. (작성자분께서 말씀해주신 수교론의 내용은 제가 정확히 알지 못해서 시간이 될 때 읽어보도록 하겠습니다.)
다만 실제 기출문제와 출제범위를 생각해보면 곡면 위의 정칙영역에 대해 오일러표수와 컴팩트 곡면의 오일러 표수를 구할 수 있는 정도의 내용만 숙지해도 충분할 것 같습니다.

[일더하기오]

답변 감사합니다.