Re:도저히 못풀겠습니다...원뿔 부피에 관한 미분적분 호도법 문제

[inj-1]

댓글로 남기려고 했으나 좀 길어서 답글로 대신합니다...더불어 아래에 쓰이는 sqrt(x)는 근호입니다.

1. 원뿔의 부피는 1/3 * 높이 * 바닥면적입니다.

일단 바닥면적이 구하기 쉬우니 바닥면적부터 구해보려고 하면 바닥의반지름을 알아야합니다.

바닥의 반지름은 원뿔의 전개도로 나오는 부채꼴의 호의 길이와 바닥의 둘레가 같다는 사실로부터 쉽게 구할 수 있습니다.

r * theta = 2 * pi * 반지름 => 반지름 = (r * theta)/(2 * pi)

원뿔의 높이는 피타고라스 정리를 이용해 쉽게 구해집니다.

높이 = sqrt(r^2 - 반지름^2) = sqrt(r^2 - ((r * theta)^2 / (2 * pi)^2)) = r * sqrt(1 - (theta^2 / (2 * pi)^2))

따라서 원뿔의 부피 V는

V = 1/3 * 높이 * 바닥면적 = 1/3 * r * sqrt(1 - (theta^2 / (2 * pi)^2)) * pi * (r * theta)^2 / (2 * pi)^2

   = pi * (r^3 / 3) * sqrt(1 - (theta^2 / (2 * pi)^2)) * (theta^2 / (2 * pi)^2)

2. theta / (2 * pi) = x 로 치환하면

V = pi * (r^3 / 3) * sqrt(1 - x^2) * x^2

3. V의 정의역은 근호안이 0보다 작을 수 없다는 조건으로 위의 식을 보면 0 <= x <= 1 입니다.(-1<=x<0인 경우는 문제 자체에 theta가 음수일 수 없기 때문에 제외입니다)

4,5,6은 동시에 풀어야 됩니다...순서가 없는거 같군요.

4. r = 1이면 V = pi / 3 * x^2 * sqrt(1 - x^2)이고 6.의 결과를 이용하면 (x,V) = (sqrt(6)/3 , (2 * pi * sqrt(5)) / 27)입니다.

5. 6. 의 결과를 보면 x = sqrt(6)/3, theta = 2 * pi * sqrt(6) / 3. V의 극값을 정하는데 r 에 무관한 이유는 생각해 보시기 바랍니다...

6. V의 극값은 V를 x에 대해 미분하면 알 수 있습니다.

dV/dx = pi/3 * (2x * sqrt(1 - x^2) - x^3 / sqrt(1 - x^2)) = pi/3 * (2x - 3x^3) / sqrt(1 - x^2)

극값은 dV/dx = 0일때의 x를 V에 대입하면 알 수 있으므로

pi/3 * (2x - 3x^3) / sqrt(1 - x^2) = 0 => x = 0 or sqrt(6) / 3(x >= 0)