회문(回文)수가 무엇인가요?

[Kim.y.w]

회문(回文)수가 무엇인가요? 


121, 1234321, ···과 같이 거꾸로 읽어도 같은 숫자를 ‘회문수’라 하던데 
만드는 방법이 따로 있는가요?

거꾸로 해도 이(리)효리 

어느 연예인이 새롭게 문을 연 가게에 보낸 축하 화환에 적힌 글귀로 
화제가 되었던 문장입니다. 
이와 같이 거꾸로 읽어도 같은 문장을 회문각주1) (回文, palindrome)이라고 합니다.
 ‘다시다’, ‘오시오’, ‘아 좋다 좋아’, ‘다시 합창 합시다’,
 ‘eye’, ‘madam’, ‘repaper’, ‘Was it a car or a cat I saw?’ ··· 등을 
회문이라고 할 수 있어요.
 마찬가지로 회문수는 2332, 12321, ···과 같이 좌우 대칭인 수를 말해요. 
회문수를 만드는 방법을 살펴봅시다.
 
두 수를 더해서 만드는 경우 

회문수는 어떤 수와 그 수를 거꾸로 쓴 수를 더해서 만들 수도 있어요. 
예를 들어 217은 회문수가 아니며,
 이 수를 거꾸로 쓰면 712가 되는데, 두 수를 더하면 217＋712＝929입니다. 
929는 거꾸로 해도 929이므로 회문수입니다.

만약 한 번에 안 되면 이 과정을 반복하여 회문수를 만들 수 있어요.
 49를 예로 들어 봅시다. 
49는 회문수가 아니며 거꾸로 쓰면 94입니다. 
이 두 수를 더하면 49＋94＝143입니다. 
그런데 143은 회문수가 아니므로 한 번 더 과정을 밟아 봅시다. 
143에 이 수를 거꾸로 한 341을 더하면, 143＋341＝484입니다. 
484는 거꾸로 써도 484이므로, 회문수입니다. 
1784도 같은 방법으로 회문수를 만들 수 있습니다.

217＋712＝929(회문수)
49＋94＝143(회문수 아님) ⇨ 143＋341＝484(회문수)
1784＋4871＝6655(회문수 아님) ⇨ 6655＋5566＝12221(회문수) 

이 과정을 여러 번 반복해야 하는 수도 있습니다. 
89로 회문수를 만들기 위해서는 이러한 과정을 25번 반복해야 합니다. 
그런데 컴퓨터로 천만 번 이상을 반복해도 회문수가 안 되는 수도 있습니다. 
이러한 수 중에서 가장 작은 수는 196인데 
아직까지 196을 회문수로 만드는 방법을 찾지 못하고 있습니다.
 
두 수를 곱해서 만드는 경우 

이번에는 두 수를 곱해서 회문수를 만들어 봅시다.
12는 회문 숫자가 아니며, 12에 거꾸로 한 수인 21을 곱해 봅시다.
12×21＝252
252는 거꾸로 해도 252이므로 회문수입니다. 
이번에는 102로 회문수를 만들어 봅시다. 
102는 회문수가 아니며, 이 수를 거꾸로 한 수는 201입니다. 
이 두 수를 곱하면 102×201＝20502.

20502는 거꾸로 해도 같은 수가 되므로 회문수입니다. 
112도 같은 방법으로 회문수를 만들 수 있습니다. 112×211＝23632.
12 × 21 ＝ 252(회문수)
102 × 201 ＝ 20502(회문수)
112 × 211 ＝ 23632(회문수) 
 
같은 수를 두 번 곱해서 만드는 경우 

어떤 수에 거꾸로 한 수를 더하거나 곱하는 것이 아니라
 자신을 두 번 곱해서 회문수를 만들 수 있습니다. 
264는 회문수가 아닌데 이 수를 두 번 곱하면 264×264＝69696이고,
 69696은 거꾸로 해도 같은 수이므로 회문수입니다. 
2285도 마찬가지로 두 번 곱해서 회문수를 만들 수 있습니다.
2285×2285＝5221225(회문수).

1로만 이루어진 수 중에서도 자신을 두 번 곱하여 회문수를 만들 수 있는 것이 있습니다.

1 × 1 ＝1(회문수)
11 × 11 ＝121(회문수)
111 × 111 ＝12321(회문수)
1111 × 1111 ＝1234321(회문수)
11111 × 11111 ＝123454321(회문수)
111111 × 111111 ＝12345654321(회문수)
1111111 × 1111111 ＝1234567654321(회문수)
11111111 × 11111111＝123456787654321(회문수)
111111111 × 111111111＝12345678987654321(회문수)

하지만 1이 9개를 넘으면 회문수가 만들어지지 않습니다.

1111111111 × 1111111111 ＝ 1234567900987654321
11111111111 × 11111111111 ＝ 123456790120987654321
111111111111 × 111111111111 ＝ 12345679012320987654321
1111111111111 × 1111111111111 ＝ 1234567901234320987654321

9의 배수(9, 18, 27, ···)만 곱해도 회문수를 만들 수 있다?
12345679에 9의 배수를 곱하면 특정한 회문수를 만들 수 있다.

9×1을 곱한 경우 ⇨ 12345679 × 9 ＝ 111111111
9×2를 곱한 경우 ⇨ 12345679 × 18 ＝ 222222222
9×3을 곱한 경우 ⇨ 12345679 × 27 ＝ 333333333
9×4를 곱한 경우 ⇨ 12345679 × 36 ＝ 444444444
9×5을 곱한 경우 ⇨ 12345679 × 45＝ 555555555
9×6을 곱한 경우 ⇨ 12345679 × 54 ＝ 666666666
9×7을 곱한 경우 ⇨ 12345679 × 63 ＝ 777777777
9×8을 곱한 경우 ⇨ 12345679 × 72 ＝ 888888888
9×9를 곱한 경우 ⇨ 12345679 × 81 ＝ 999999999 

출처:101가지 중고등수학 질문사전  저자이동흔

[이상윤]

회문수 한참 해보면 "치매예방"~~~~!

[Kim.y.w]

재미있는 회문수 이제야 나도 잘 알겠습니다.