open3D 06 (TRANSFORMATION)

[김위제]

•  다음 용어를 설명하라.
  • 단위행렬
    단위 행렬은 n차 행렬이다.
    행렬의 크기가 n x n 인 행렬에서 대각성분이 1이고 나머지 성분은 모두 0인
    행렬을 가르킨다.
    
  • 역행렬
    n x n 행렬의 역원을 역행렬이라고 한다.
    역원은 행렬의 A에 X행렬을 곱했을 때 나온 결과 값이 항등 행렬이면 X행렬을 A의 역원이라 할 수 있다.
    
    • 항등 행렬
      항등 해렬이란 모든 대각 원소들이 1이며 나머지 원소들이 0인 정방행렬을 뜻한다.
      예를 들어,
      I₂(2차원) = [ 1, 0 ]              I₃(3차원) = [ 1, 0, 0 ]
                        [ 0, 1 ]                                 [ 0, 1, 0 ]
                                                                   [ 0, 0, 1 ]
      이러한  행렬을 항등 행렬이라 한다.
  • 전치행렬
    전치 행렬이란 행렬 A가 주어졌을 때, 그 행렬의 행과 열을 바꾸어 얻어낸 행렬이다.
    만약 2x3 사이즈 행렬이 있다 가정하면 , 이 행렬의 전치행렬은 3x2사이즈의 행렬이다.
    Ex:
    A = [ 1, 2, 3 ]
           [ 4, 5, 6 ]
    일때 전치 행렬을 사용하게 된다면
    AT = [ 1, 4 ]  
             [ 2, 5 ]
             [ 3, 6 ]      으로 변환되는 것을 알 수 있다.
    
    
    
• 행렬 연산할때 넘파이함수가 파이썬 함수보다 속도가 빠른 이유를 설명하라.
  • Numpy
    넘파이의 배열안에는 동일한 타입의 데이터만 저장할 수 있다.
    예를 들어, 정수면 정수 , 실수면 실수만을 저장할 수 있다.
  • 파이썬 함수
    파이썬의 리스트인 경우 여러가지 타입을 섞어서 저장할 수 있다.
  • 예시
    밑 코드와 식으로 자료형으로만 데이터를 저장하면 데이터 항목에 필요한 저장공간이 일정하기
    때문에 몇 번째 위치에 있는 항목이든 그 순서만 알고 있다면 바로 접근할 수 있기 때문에 빠르게
    데이터를 다룰 수 있다.
    
    

1 2 3 4 5 6

import numpy as np   a = np.array([22, 'wije', 3.0, False]) print(a)   ['22' , 'wije' , '3.0' , 'False']

cs

• 여러 개의 좌표변환을 적용할 때 변환의 순서를 변경하면 어떻게 되는가?
  변환 행렬의 순서를 바꾸게 된다면 원래 하려 했던 변환과는 완전히 다른 변환이 된다
  
  
  
• (옵션문제) 18페이지 모든 넘파이 함수를 활용하는 예제를 만들어 서 기능을 확인하라
  
  

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57

import numpy as np   # 1. numpy.array : ndarray 객체 생성 a = np.array([[1, 2], [3, 4]]) b = np.array([[5, 6], [7, 8]])   # 3. numpy.ndarray.shape : 차원 정보 print("Shape of a:", a.shape)   # 4. numpy.ndarray.transpose / numpy.ndarray.T : 전치 행렬 a_transposed = a.transpose() print("Transpose of a:\n", a_transposed)     print("Transpose of a.T:\n", a.T)   # 5. numpy.dot : 행렬 곱셈 dot_a_b = np.dot(a, b) print("dot of a and b:\n", dot_a_b)   # 6. numpy.matmul : @ 연산자 matmul_a_b = np.matmul(a, b) print("Matmul (a @ b):\n", matmul_a_b)   # 7. numpy.linalg.inv : 역행렬 # 역행렬이 존재하는 정방행렬 생성 c = np.array([[1, 2], [3, 4]])   c_inv = np.linalg.inv(c) print("inverse of c: \n",c_inv)   # 8. 연산자 사용: +, -, *, / add_result = a + b sub_result = a - b mul_result = a * b div_result = a / b   print("a + b:\n", add_result) print("a - b:\n", sub_result) print("a * b:\n", mul_result) print("a / b:\n", div_result)   # 9. numpy.sin, numpy.cos, numpy.pi angles = np.array([0, np.pi / 2, np.pi]) print("sin:", np.sin(angles)) print("cos:", np.cos(angles))   # 10. numpy.eye: 단위행렬 eye_matrix = np.eye(3) print("3x3 Identity matrix:\n", eye_matrix)   # 11. numpy.ones : 모든 원소가 1인 행렬 ones_matrix = np.ones((3, 3)) print("3x3 matrix_ones:\n", ones_matrix)   # 12. numpy.zeros : 모든 원소가 0인 행렬 zeros_matrix = np.zeros((3, 3)) print("3x3 matrix_zeros:\n", zeros_matrix)   Colored by Color Scripter

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• Numpy를 이용하여 점 (1,2,3)을 x축을 기준으로 90도 회전 -> 5배 확대 -> x,y,z축으로 (10,10,10)만큼 평행이동 후 점을 구하라.
  
  
  

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

import numpy as np   a = np.array([1,2,3])   print("a:", a)   #x축 90도이동 a_radian = 90*np.pi/180   rota_x = np.array([     [1, 0, 0],     [0, np.cos(a_radian), -np.sin(a_radian)],     [0, np.sin(a_radian),  np.cos(a_radian)] ])   #90회전 적용 R_Trans_a = rota_x @ a print("R_Trans_a:", R_Trans_a)   #5배 확대 Scale_a = 5*R_Trans_a   print("Scale_a",Scale_a) #평행이동 Trans_a = Scale_a + np.array([10,10,10])   print("Trans_a",Trans_a)   Colored by Color Scripter

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• 다시 원래의 점으로 변환해보시오.
  원점에서 변환했던 순으로 역변환 해준다.
  
  

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

import numpy as np   a = np.array([1,2,3])   print("a:", a) print("\n")   #x축 90도이동 a_radian = 90*np.pi/180   rota_x = np.array([     [1, 0, 0],     [0, np.cos(a_radian), -np.sin(a_radian)],     [0, np.sin(a_radian),  np.cos(a_radian)] ])   #90회전 적용 R_Trans_a = rota_x @ a print("R_Trans_a:", R_Trans_a) print("\n")     #5배 확대 Scale_a = 5*R_Trans_a   print("Scale_a:",Scale_a) print("\n")   #평행이동 Trans_a = Scale_a + np.array([10,10,10])   print("Trans_a:",Trans_a) print("\n")   #역변환 ##################################   # -10 평행이동 back_a = Trans_a - np.array([10, 10, 10]) print("-R_Trans: ",back_a) print("\n")   # 5만큼 축소 back_a2 = back_a / 5 print("-Scale_a: ", back_a2) print("\n")   # x축 -90도 역회전 a_radian_inv = -90 * np.pi / 180 rota_x_inv = np.array([     [1, 0, 0],     [0, np.cos(a_radian_inv), -np.sin(a_radian_inv)],     [0, np.sin(a_radian_inv),  np.cos(a_radian_inv)] ])   # 회전 적용 org_a = rota_x_inv @ back_a2 print("-rota_x_inv",org_a) print("\n")         Colored by Color Scripter

cs

• Numpy를 이용하여 점 (1,2,3)을 x,y,z축으로 (10,10,10)만큼 평행이 동 -> 5배 확대 -> x축을 기준으로 90도 회전 후 점을 구하라.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

import numpy as np   a = np.array([1,2,3])   print("a:", a) print("\n")   #평행이동 Trans_a = a + np.array([10,10,10])   print("Trans_a:",Trans_a) print("\n")     #5배 확대 Scale_a = 5*Trans_a   print("Scale_a:",Scale_a) print("\n")     #x축 90도이동 a_radian = 90*np.pi/180   rota_x = np.array([     [1, 0, 0],     [0, np.cos(a_radian), -np.sin(a_radian)],     [0, np.sin(a_radian),  np.cos(a_radian)] ])   #90회전 적용 R_Trans_a = rota_x @ Scale_a print("R_Trans_a:", R_Trans_a) print("\n")         Colored by Color Scripter

cs

• 역변환을 이용하여 원래의 점으로 돌아가는지 확인하라.
  
  

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66

import numpy as np   a = np.array([1,2,3])   print("a:", a) print("\n")   #평행이동 Trans_a = a + np.array([10,10,10])   print("Trans_a:",Trans_a) print("\n")     #5배 확대 Scale_a = 5*Trans_a   print("Scale_a:",Scale_a) print("\n")     #x축 90도이동 a_radian = 90*np.pi/180   rota_x = np.array([     [1, 0, 0],     [0, np.cos(a_radian), -np.sin(a_radian)],     [0, np.sin(a_radian),  np.cos(a_radian)] ])   #90회전 적용 R_Trans_a = rota_x @ Scale_a print("R_Trans_a:", R_Trans_a) print("\n")     #역변환 ##################################   # 역회전 a_radian_inv = -90 * np.pi / 180 rota_x_inv = np.array([     [1, 0, 0],     [0, np.cos(a_radian_inv), -np.sin(a_radian_inv)],     [0, np.sin(a_radian_inv),  np.cos(a_radian_inv)] ]) # 역회전 적용 back_a = rota_x_inv @ R_Trans_a   print("-a_radian_inv: ", back_a) print("\n")     # 5배 축소 back_a2 = back_a / 5 print("-Scale_a : " ,back_a2) print("\n")   # -10평행이동 org_a = back_a2 - np.array([10,10,10]) print("org : " ,org_a) print("\n")         Colored by Color Scripter

cs

• 1. Numpy를 이용하여 점 (1,0,0)을 z축을 기준으로
  90도 회전 -> x축 으로 90도 회전 -> y축으로 90도 회전 후 점을 구하라.
  
  
  • 2. 역변환을 통하여 원래의 점으로 돌아가는지 확인하라.
    
  • 3. 3차원 공간에 그림으로 그려서 위 결과를 설명하라.

1.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

import numpy as np   # 초기 점 (1, 0, 0) a = np.array([1, 0, 0]) print("point a:", a)   # 회전 각도 (90도 → 라디안) a_radian = 90 * np.pi / 180   # Z축 90도 회전 행렬 R_z = np.array([     [np.cos(a_radian), -np.sin(a_radian), 0],     [np.sin(a_radian),  np.cos(a_radian), 0],     [0, 0, 1] ])   # X축 90도 회전 행렬 R_x = np.array([     [1, 0, 0],     [0, np.cos(a_radian), -np.sin(a_radian)],     [0, np.sin(a_radian),  np.cos(a_radian)] ])   # Y축 90도 회전 행렬 R_y = np.array([     [np.cos(a_radian), 0, np.sin(a_radian)],     [0, 1, 0],     [-np.sin(a_radian), 0, np.cos(a_radian)] ])   # Z축 회전 적용 a_z = R_z @ a print("\nz to 90:", a_z)   # X축 회전 적용 a_x = R_x @ a_z print("x to 90:", a_x)   # Y축 회전 적용 R_Trans_a = R_y @ a_x print("y to 90:", R_Trans_a)   Colored by Color Scripter

cs

2.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72

import numpy as np   # 초기 점 (1, 0, 0) a = np.array([1, 0, 0]) print("point a:", a)   # 회전 각도 (90도) a_radian = 90 * np.pi / 180 a_radian_inv = -90 * np.pi / 180   # 정방향 회전 행렬 R_z = np.array([     [np.cos(a_radian), -np.sin(a_radian), 0],     [np.sin(a_radian),  np.cos(a_radian), 0],     [0, 0, 1] ])   R_x = np.array([     [1, 0, 0],     [0, np.cos(a_radian), -np.sin(a_radian)],     [0, np.sin(a_radian),  np.cos(a_radian)] ])   R_y = np.array([     [np.cos(a_radian), 0, np.sin(a_radian)],     [0, 1, 0],     [-np.sin(a_radian), 0, np.cos(a_radian)] ])   # 정방향 회전 적용 a_z = R_z @ a print("\nz to 90:", a_z)   a_x = R_x @ a_z print("x to 90:", a_x)   R_Trans_a = R_y @ a_x print("y to 90:", R_Trans_a)   ################################### #역변환  ###################################   # 역회전 행렬 (-90도) R_y_inv = np.array([     [np.cos(a_radian_inv), 0, np.sin(a_radian_inv)],     [0, 1, 0],     [-np.sin(a_radian_inv), 0, np.cos(a_radian_inv)] ])   R_x_inv = np.array([     [1, 0, 0],     [0, np.cos(a_radian_inv), -np.sin(a_radian_inv)],     [0, np.sin(a_radian_inv),  np.cos(a_radian_inv)] ])   R_z_inv = np.array([     [np.cos(a_radian_inv), -np.sin(a_radian_inv), 0],     [np.sin(a_radian_inv),  np.cos(a_radian_inv), 0],     [0, 0, 1] ])   # 역순으로 회전 적용 (Y -> X -> Z) a_back_y = R_y_inv @ R_Trans_a print("\ny to -90:", a_back_y)   a_back_x = R_x_inv @ a_back_y print("\ny to -90:", a_back_x)   a_back_z = R_z_inv @ a_back_x print("\ny to -90:", a_back_z)   Colored by Color Scripter

cs

3.

빨강색 초기점에서 Z축회전을 하였을때 초록점이고 X축 회전을 하였을때 파란점 다시 Y축 회전을 하였을때 다시 빨강색
점으로 이동하는것을 볼수 있습니다.
이동하는것을 쉽게 보기 위해 선을 이용하여 이동한 경로를표시 하였습니다.
Y축 회전을 하였을때 다시 X축으로 돌아가기 때문에 빨강 점이랑 노랑점이 완벽하게 겹친것 같습니다.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72

import numpy as np import open3d as o3d   # 초기 점 a = np.array([1, 0, 0])   # 회전 각도 (90도) a_radian = 90 * np.pi / 180   # 회전 행렬 R_z = np.array([     [np.cos(a_radian), -np.sin(a_radian), 0],     [np.sin(a_radian),  np.cos(a_radian), 0],     [0, 0, 1] ])   R_x = np.array([     [1, 0, 0],     [0, np.cos(a_radian), -np.sin(a_radian)],     [0, np.sin(a_radian),  np.cos(a_radian)] ])   R_y = np.array([     [np.cos(a_radian), 0, np.sin(a_radian)],     [0, 1, 0],     [-np.sin(a_radian), 0, np.cos(a_radian)] ])   # 회전 결과 a_z = R_z @ a         # Z축 회전 a_x = R_x @ a_z       # X축 회전 a_y = R_y @ a_x       # Y축 회전 (최종)   # 좌표축 axis = o3d.geometry.TriangleMesh.create_coordinate_frame(size=0.5)   # 점들 points = [a, a_z, a_x, a_y] colors = [     [1, 0, 0],  # 빨강: 초기 점     [0, 1, 0],  # 초록: Z 회전     [0, 0, 1],  # 파랑: X 회전     [1, 1, 0]   # 노랑: Y 회전 ]   # PointCloud 생성 pcd = o3d.geometry.PointCloud() pcd.points = o3d.utility.Vector3dVector(points) pcd.colors = o3d.utility.Vector3dVector(colors)   # 선 연결 (각 인덱스 쌍으로 연결) lines = [     [0, 1],  # 원점 -> Z     [1, 2],  # Z -> X     [2, 3]   # X -> Y ] #선 line_colors = [     [1, 0, 0],       [0, 2, 0],     [0, 0, 3] ]   # LineSet 생성 line_set = o3d.geometry.LineSet() line_set.points = o3d.utility.Vector3dVector(points) line_set.lines = o3d.utility.Vector2iVector(lines) line_set.colors = o3d.utility.Vector3dVector(line_colors)   # 시각화 o3d.visualization.draw_geometries([pcd, line_set, axis])   Colored by Color Scripter

cs

•  1.Numpy를 이용하여 점 (1,0,0)을 z축을 기준으로
  45도 회전 -> x축 으로 45도 회전 -> y축으로 45도 회전 후 점을 구하라.
  • 2. 역변환을 이용하여 원래의 점으로 돌아가는지 확인하라.
    
  • 3. 3차원 공간에 그림으로 그려서 위 결과를 설명하라.

01.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

import numpy as np   # 초기 점 (1, 0, 0) a = np.array([1, 0, 0]) print("point a:", a)   # 회전 각도 (45도) a_radian = 45 * np.pi / 180 a_radian_inv = -90 * np.pi / 180   # 정방향 회전 행렬 R_z = np.array([     [np.cos(a_radian), -np.sin(a_radian), 0],     [np.sin(a_radian),  np.cos(a_radian), 0],     [0, 0, 1] ])   R_x = np.array([     [1, 0, 0],     [0, np.cos(a_radian), -np.sin(a_radian)],     [0, np.sin(a_radian),  np.cos(a_radian)] ])   R_y = np.array([     [np.cos(a_radian), 0, np.sin(a_radian)],     [0, 1, 0],     [-np.sin(a_radian), 0, np.cos(a_radian)] ])   # 정방향 회전 적용 a_z = R_z @ a print("\nz to 90:", a_z)   a_x = R_x @ a_z print("x to 90:", a_x)   R_Trans_a = R_y @ a_x print("y to 90:", R_Trans_a)

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02.

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import numpy as np   # 초기 점 (1, 0, 0) a = np.array([1, 0, 0]) print("point a:", a)   # 회전 각도 (45도) a_radian = 45 * np.pi / 180 a_radian_inv = -90 * np.pi / 180   # 정방향 회전 행렬 R_z = np.array([     [np.cos(a_radian), -np.sin(a_radian), 0],     [np.sin(a_radian),  np.cos(a_radian), 0],     [0, 0, 1] ])   R_x = np.array([     [1, 0, 0],     [0, np.cos(a_radian), -np.sin(a_radian)],     [0, np.sin(a_radian),  np.cos(a_radian)] ])   R_y = np.array([     [np.cos(a_radian), 0, np.sin(a_radian)],     [0, 1, 0],     [-np.sin(a_radian), 0, np.cos(a_radian)] ])   # 정방향 회전 적용 a_z = R_z @ a print("\nz to 45:", a_z)   a_x = R_x @ a_z print("x to 45:", a_x)   R_Trans_a = R_y @ a_x print("y to 45:", R_Trans_a)   ################################### #역변환  ###################################   # 역회전 행렬 (-45도) R_y_inv = np.array([     [np.cos(a_radian_inv), 0, np.sin(a_radian_inv)],     [0, 1, 0],     [-np.sin(a_radian_inv), 0, np.cos(a_radian_inv)] ])   R_x_inv = np.array([     [1, 0, 0],     [0, np.cos(a_radian_inv), -np.sin(a_radian_inv)],     [0, np.sin(a_radian_inv),  np.cos(a_radian_inv)] ])   R_z_inv = np.array([     [np.cos(a_radian_inv), -np.sin(a_radian_inv), 0],     [np.sin(a_radian_inv),  np.cos(a_radian_inv), 0],     [0, 0, 1] ])   # 역순으로 회전 적용 (Y -> X -> Z) a_back_y = R_y_inv @ R_Trans_a print("\ny to -45:", a_back_y)   a_back_x = R_x_inv @ a_back_y print("\ny to -45:", a_back_x)   a_back_z = R_z_inv @ a_back_x print("\ny to -45:", a_back_z)   Colored by Color Scripter

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03.

빨강색 초기점에서 Z축회전을 하였을때 초록점이고 X축 회전을 하였을때 파란점 다시 Y축 회전을 하였을때 다시 노랑색 점으로 이동하는것을 볼수 있습니다.
이동하는것을 쉽게 보기 위해 초기점에서 -> z축회전 (빨간색 선), z축 회전 -> x축회전(초록색 선),
x축회전 -> y축회전(파란색 선)을 이용하여 이동한 경로를 표시 하였습니다.

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import numpy as np import open3d as o3d   # 초기 점 a = np.array([1, 0, 0])   # 회전 각도 (45도) a_radian = 45 * np.pi / 180   # 회전 행렬 R_z = np.array([     [np.cos(a_radian), -np.sin(a_radian), 0],     [np.sin(a_radian),  np.cos(a_radian), 0],     [0, 0, 1] ])   R_x = np.array([     [1, 0, 0],     [0, np.cos(a_radian), -np.sin(a_radian)],     [0, np.sin(a_radian),  np.cos(a_radian)] ])   R_y = np.array([     [np.cos(a_radian), 0, np.sin(a_radian)],     [0, 1, 0],     [-np.sin(a_radian), 0, np.cos(a_radian)] ])   # 회전 결과 a_z = R_z @ a         # Z축 회전 a_x = R_x @ a_z       # X축 회전 a_y = R_y @ a_x       # Y축 회전 (최종)   # 좌표축 axis = o3d.geometry.TriangleMesh.create_coordinate_frame(size=0.5)   # 점들 points = [a, a_z, a_x, a_y] colors = [     [1, 0, 0],  # 빨강: 초기 점     [0, 1, 0],  # 초록: Z 회전     [0, 0, 1],  # 파랑: X 회전     [1, 1, 0]   # 노랑: Y 회전 ]   # PointCloud 생성 pcd = o3d.geometry.PointCloud() pcd.points = o3d.utility.Vector3dVector(points) pcd.colors = o3d.utility.Vector3dVector(colors)   # 선 연결 (각 인덱스 쌍으로 연결) lines = [     [0, 1],  # 원점 -> Z     [1, 2],  # Z -> X     [2, 3]   # X -> Y ] #선 line_colors = [     [1, 0, 0],       [0, 2, 0],     [0, 0, 3] ]   # LineSet 생성 line_set = o3d.geometry.LineSet() line_set.points = o3d.utility.Vector3dVector(points) line_set.lines = o3d.utility.Vector2iVector(lines) line_set.colors = o3d.utility.Vector3dVector(line_colors)   # 시각화 o3d.visualization.draw_geometries([pcd, line_set, axis])   Colored by Color Scripter

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