Re:1번. |G| ; even => ∃g∈G ; g ≠ e, g² = e

[폭풍속으로]

[질문] Prove that if G is a finite group with identity e and with an even number of element, then G contains an element a≠e such that a^2 = e.


[증명1] S = { g∈G | g² ≠ e } 라고 놓습니다.
만약, x∈S 라면 x-¹∈S 이므로 |S| 는 0 이상인 짝수입니다.

결론은 부정하여 g ≠ e 인 모든 g∈G 에 대하여 g² ≠ e 라고 가정합니다.
그러면 g ≠ e 인 모든 g∈G 에 대하여 g∈S 입니다.
그러면 G = S ∪ {e} 이고 S ∩ {e} = Φ 입니다.
그러면 |G| = |S ∪ {e}| = |S| + |{e}| 입니다.
그런데 |G| 는 짝수이고, |S| + |{e}| 은 홀수입니다. 즉, 모순입니다.

그러므로 적당한 g ≠ e 인 g∈G 에 대하여 g² = e 입니다.


[증명2] S = { g∈G | g² ≠ e } 라고 놓습니다.
만약, x∈S 라면 x-¹∈S 이므로 |S| 는 0 이상인 짝수입니다.
또, |G| 가 짝수이므로 |G| - |S| 역시 짝수이어야 합니다.

여기서, e² = e 이므로 e∈(G-S) 입니다.
그러면 |G| - |S| ≥ 1 이고 |G| - |S| 는 짝수입니다.
그러면 |G| - |S| ≥ 2 가 됩니다.
그러면 적당한 g ≠ e 인 g∈G 에 대하여 g∈(G-S) 입니다.
그러면 g 는 S 의 원소가 아니므로 g² = e 입니다.