질문 있습니다ㅎㅎ

[초수합격]

1. 두 조밀 집합의 교집합이 조밀 집합이 안되는 예를 들어주실 수 있나요?ㅠㅠ

2. 볼차노- 바이어슈트라스 정리에 대해 공부하다가 다음 명제들을 발견했어요.

(a) 거리공간에서 볼차노-바이어슈트라스 정리는 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어 R에 이산거리함수를 준 거리공간에서 [0, 1]은 무한집합이지만 극한점을 갖지 않는다.

(b) Bolzano-Weierstrass Property

X: Metric space

For arbitrary infinite subset K⊂X, K has a limit point in X. Then X has Bolzano-Weierstrass Property.

(c) Definition: A set S in a metric space has the Bolzano-Weierstrass Property if every sequence in S has a convergent subsequence — i.e., has a subsequence that converges to a point in S.

근데 해석학에서 유계인 수열에서 이야기했던 것처럼 유계라는 말이 없네요..ㅠㅠ

그리고 셋 다 다른 얘기 아닌가요?ㅠㅠ 거리공간에서의 B-W 정리 어떻게 이해해야 하나요?

[이관용]

R에서 Q와 R-Q를 생각하면 두집합은 조밀집합이지만 교집합은 R에서 조밀집합이 아닙니다.

어떤 집합의 임의의 수열이 수렴하는 부분수열을 갖으면 그 집합이 c에서 말한 Bolzano-Weierstrass 성질을 갖는다라고 합니다. 그리고 어떤 집합이 B-W성질을 만족시키면 그 집합을 sequentially compact 라고 합니다. 그런데 거리 공간에서는 sequentially compact의 정의와 열린피복으로 정의한 compact가 동치입니다. 거리공간에서 B-W성질을 만족하는 집합은 컴팩트라고 생각하시면 됩니다. R이나 R^n에서 컴팩트는 유계인 닫힌집합이기 때문에 해석학에서 나온 볼자노 바이어슈트라스 정리가 나온것입니다

[이관용]

a) 이산거리공간에서는 임의의 무한집합은 컴팩트 집합이 될 수 없습니다. 각점을 한점집합으로 하는 개피복에 대해 유한부분피복을 가질 수 없기 때문입니다.(이산거리공간에서 유계인 닫힌집합이 컴팩트가 아닙니다.)

수열 자체를 생각해본다면 각항이 ‘모두 다른’ 수열에 대해서 어떤점a로 수렴하는 부분수열이 있다고 가정합시다. a를 포함한 각 개집합 U에 대에 N이 존재하여 n>N 이면 an ∈U 이여야 하는데, {a}또한 a를 포함한 개집합이기 때문에 수렴의 정의를 만족할 수 없습니다. 그래서 수렴하는 부분수열을 가질 수 없습니다.

[이관용]

b) 임의의 무한수열{xn}에 대해서 {x1, x2, ...}집합을 생각하면 무한집합이 됩니다. 가정에 의해서 리미트포인트가 존재하기 때문에 그 점으로 수렴하는 부분수열을 잡을 수 있습니다. 그렇기 때문에 B-W 성질이 만족한다고 할 수 있습니다.

[초수합격]

와... 이해 너무 잘됐어요 정말 감사합니다!!^^