질문 정육면체 및 직육면체 채색 경우의 수?

[해마]

6가지 서로 다른 색을 가지고 칠하는 경우의 수입니다. 각각의 입체도형들은 입체적으로 회전이 가능할 경우입니다...


1) 정육면체

5×(4!/4)

=> 이건 잘 알겠습니다. 어쨌든 하나의 색은 먼저 한 면에 칠해져야 하므로 그 면을 고정해 놓을 때, 마주보는 면은 5가지 색 중 하나가 칠해져야 하므로 5가 곱하여졌고, 나머지 4 옆면에 칠해지는 방법의 수는 4!/4


2) 가로 세로 높이가 각각 모두 다른 직육면체

3×5×(4!/2)

=> 이것 역시, 어쨌든 하나의 색은 먼저 한 면에 칠해져야 하는데, 면의 종류가 3 종류니 처음 칠해지는 경우가 3개가 되므로 3을 곱해주었고, 마주보는 면 칠하는 방법 5 곱한 것에다가, 나머지 4옆면에 칠해지는 방법의 수 4!/2 를 곱한 것이죠(밑면은 무조건 정사각형이 아닌 직사각형이므로..)



3) 가로와 세로의 길이는 같고 높이만 다른 직육면체

5×(4!/4) + 5×(4!/4)×2

=> 정사각형 모양의 밑면이 2개, 정사각형이 아닌 직사각형 밑면이 4개가 되지요. 그러니 처음 칠할 면이 정사각형인 경우의 수와 그렇지 않을 때의 경우의 수를 더해주면 총 경우의 수가 나오겠군요. 그런데 요걸 못하겠습니다. 이것 좀 알려주시면 감사하겠습니다


...하나 더요. 정육면체 각 면에 1~6의 자연수를 표시하려 합니다. 정육면체에서 마주보는 면의 숫자의 합이 7이 되도록 할 경우의 수?

이건 3×3! 이라고는 알고 있습니다만 왜 그런지 통 감이 안 잡혀요