페르마가 들려주는 정수론 이야기

[박대선]

페르마가 들려주는 정수론 이야기 을 읽었다. 정수론(數論, Number Theory)은 정수(…, -2, -1, 0, 1, 2, …)의 성질과 패턴을 연구하는 수학의 한 분야다. 기초적인 소수 이론부터 현대 암호학의 기반이 되는 이론까지 폭넓게 포함하는 아주 중요한 분야다.
1. 정수론이란? “정수의 성질을 연구하는 학문”으로, 크게 고전 정수론과 현대 정수론으로 나눌 수 있다. 
* 고전 정수론: 소수, 약수, 합동식, 디오판토스 방정식 등
* 현대 정수론: 모듈러 형식, 타원곡선, 대수적 수론, 암호학 등

2. 정수론의 주요 주제
1) 소수(prime number);* 1과 자기 자신으로만 나누어지는 수 * 무한히 많음(유클리드 증명) * 소수 분포: π(n) ~ n / ln(n) (소수 정리)
2) 약수, 최대공약수, 최소공배수; * 유클리드 호제법(Euclidean algorithm) * 선형결합 정리: gcd(a, b) = ax + by
3) 합동식(congruence); 
* a ≡ b (mod m) 예: 17 ≡ 2 (mod 5)
* 선형 합동식 a x ≡ b (mod m)

4) 페르마·오일러 정리
* 페르마의 소정리:  a^{p-1} equiv 1  mod{p}  (p는 소수, a not equiv 0)
* 오일러 정리:    a^{varphi(n)} equiv 1  mod{n}  

5) 디오판토스 방정식; 정수 해를 찾는 문제
예:
* x² − 2y² = 1 (펠 방정식)
* aⁿ + bⁿ = cⁿ (페르마의 마지막 정리 → 와일즈가 증명)

6) 소수성 검사 & 인수분해
* Miller–Rabin, AKS 소수성 테스트
* RSA 암호의 기반이 되는 큰 수 인수분해 문제

7) 모듈러 연산
* 모듈러 역원: a⁻¹ mod m
* 중국인의 나머지 정리(CRT)

3. 정수론의 응용
1) 암호학
* RSA, ECC(타원곡선 암호)
* 모듈러 산술, 소수 분해 난이도를 이용

2) 컴퓨터 과학
* 해시 함수
* 난수 생성
* 오류 정정 코드

3) 순수 수학
* 리만 가설
* 모듈러 형식, 갈루아 이론, 대수적 수 체계

4. 흥미로운 정수론 예시 문제
# 예제 1; 7의 배수인지 빠르게 판정하는 방법?→ 뒤의 수의 2배를 앞에서 빼서 반복
# 예제 2; x² ≡ 1 (mod 8)의 정수 해?→ 모든 홀수 x에서 성립 8

https://www.yes24.com/product/goods/1483990

1. 자연수 이야기
2. 나머지 이야기
3. 배수 이야기
4. 약수와 소수 이야기
5. 완전수와 메르센 소수
6. 페르마의 정리
7. 공약수와 공배수 이야기
8. 진법 이야기
9. 정수 이야기

부록 - 천재수학자 납치사건