Re:R/{2πn|n∈Z} 와 {z∈C| lzl=1} 은 동형이다.

[질문] R/{2πn|n∈Z} 와 {z∈C| lzl=1} 은 동형이다. [답변] 우선 {2πn|n∈Z} = { ... , -4π, -2π, 0, 2π, 4π, ... } = <2π> 입니다. 그러면 R/<2π> = { r+<2π> | r∈R } 입니다. 또, U = { z∈C | lzl=1 } = { e^ir | r∈R } 입니다. 그러면 r+<2π> 를 e^ir 로 대응시키면 자연스럽게 동형사상을 정의할 수 있습니다. 즉, f : R/<2π> -> U, f(r+<2π>) = e^ir 입니다. 1. f 는 잘 정의된 사상이다. [f : well-defined] r+<2π>, s+<2π> ∈ R/<2π> 라고 놓습니다. 그러면 f(r+<2π>) = e^ir 이고 f(s+<2π>) = e^is 입니다. 여기서 r+<2π> = s+<2π> 이라고 가정합니다. 그러면 -r+s ∈ <2π> 입니다. 그러면 적당한 n∈Z 에 대하여 -r+s = 2nπ 입니다. 그러면 s = r+ 2nπ 입니다. 그러면 e^is = e^i(r+ 2nπ) = e^(ir+ 2nπi) = e^ir × e^2nπi = e^ir 입니다. 그러면 f(r+<2π>) = e^ir = e^is = f(s+<2π>) 입니다. 그러면 r+<2π> = s+<2π> 이면 f(r+<2π>) = f(s+<2π>) 입니다. 그러면 f 는 잘 정의된 사상입니다. 2. f 는 1-1 사상이다. [f : 1-1(injective)] r+<2π>, s+<2π> ∈ R/<2π> 라고 놓습니다. 그러면 f(r+<2π>) = e^ir 이고 f(s+<2π>) = e^is 입니다. 여기서 f(r+<2π>) = f(s+<2π>) 이라고 가정합니다. 그러면 e^ir = f(r+<2π>) = f(s+<2π>) = e^is 입니다. 그러면 적당한 n∈Z 에 대하여 e^i(s-r) = 1 = e^2nπi 입니다. 그러면 s-r = 2nπ 입니다. 그러면 -r+s = 2nπ 입니다. 그러면 -r+s ∈ <2π> 입니다. r+<2π> = s+<2π> 입니다. 그러면 f(r+<2π>) = f(s+<2π>) 이면 r+<2π> = s+<2π> 입니다. 그러면 f 는 1-1 사상입니다. 3. f 는 onto 사상이다. [f : onto(surjective)] y ∈ U 라고 놓습니다. 그러면 적당한 r∈R 에 대하여 y = e^ir 입니다. 그러면 위의 r∈R 에 대하여 r+<2π> ∈ R/<2π> 입니다. 그러면 f(r+<2π>) = e^ir = y 입니다. 그러면 f 는 onto 사상입니다. 4. f 는 준동형사상이다. [f : homomorphism] r+<2π>, s+<2π> ∈ R/<2π> 라고 놓습니다. 그러면 f(r+<2π>) = e^ir 이고 f(s+<2π>) = e^is 입니다. f(r+<2π>) × f(s+<2π>) = e^ir × e^is = e^i(r+s) 입니다. f((r+<2π>)+(s+<2π>)) = f((r+s)+<2π>) = = e^i(r+s) 입니다. 그러면 f((r+<2π>)+(s+<2π>)) = f(r+<2π>) × f(s+<2π>) 입니다. 그러면 f 는 준동형사상입니다. 그러므로 1,2,3,4 에 의해 f 는 동형사상이 됩니다.