Re: 밀도 계산문제 (아르키메데스의 원리)

[안현정]

Q.

왕이 기술자에게 금 500g을 주면서 왕관을 만들라고 하였는데, 기술자가 만들어온 왕관의 부피를 측정하였더니 28.07㎤(세제곱센티미터)이었다.

이 기술자는 약 몇 g의 금을 은으로 바꿨는지 금과 은의 밀도를 이용하여 계산하시오.

(단, 금의 밀도는 19.3g/㎤, 은의 밀도는 10.5g/㎤)

A.

▶ 참고로 모든 계산은 소수 셋째자리에서 반올림하여 소수 둘째자리까지 나타내겠습니다.

밀도는 단위부피당 질량입니다.

                      질량 ( g )

밀도(g/㎤)  =  ──────

                      부피 (㎤ )

( 부피 = 질량 / 밀도 )

( 질량 = 밀도 x 부피 )

1. 금의 밀도가 19.3g/㎤ 이고,  질량이 500g 입니다.

( 부피 = 질량 / 밀도 )

따라서 부피 =  500g/19.3g/㎤ = 약 25.91㎤ 이 되어야 합니다.

아르키메데스는 목욕을 하던 중 물이 넘치는 정도를 통해 밀도를 알아내었습니다.

물에 금을 넣으면, 물의 부피가  약 25.91㎤이 증가해야 하겠지만,

물에 왕관을 넣으면, 28.07㎤이 증가하게 되어, 금보다 부피가 2.16㎤가 더 증가한 셈이 되는 것이지요.

따라서 아르키메데스는 왕관이 순금이 아님을 알게 되었겠지요.

2. 왕관속에 포함된 금과 은의 총 부피가 28.07㎤이므로,

금의 부피 + 은의 부피 = 총 부피 (28.07㎤) 입니다.

따라서 금의 부피가 X㎤라면,  은의 부피은 28.07㎤-X㎤ 가 됩니다.

3. 전체 질량이 500g이므로,

금의 질량 + 은의 질량 = 총 질량 (500g) 입니다.

그러나 우리는 각각의 질량을 알 수 없으므로 밀도와 부피를 이용하여 질량을 알아내야 합니다.

[문제에서 주어줬듯이, 금의 밀도는 19.3g/㎤, 은의 밀도는 10.5g/㎤ 이며,

위에서 구한것 처럼 금의 부피가 X㎤라면,  은의 부피은 28.07㎤-X㎤ 입니다.]

( 질량 = 밀도 x 부피 )

총질량 = (금의 밀도  x 금의부피 ) + (은의 밀도  x 은의부피 )

                   └→금의 질량                  └→은의 질량 

500g = (19.3g/㎤ x X㎤) +  {10.5g/㎤  x  (28.07㎤-X㎤)}

(→위 괄호를 풀면)

500g = 19.3Xg + 294.74g - 10.5Xg

(→미지수를 우변으로 이항하면)

500g -294.74g = 19.3Xg - 10.5Xg

205.26g = 8.8Xg

따라서 금의 부피인 X = 약 23.33 이 나오게 됩니다.  

4. 즉 X는 금의 부피입니다.

따라서  금의 질량을 구하기위해서는 밀도와 부피를 곱해줘야 합니다.

( 질량 = 밀도 x 부피 )

금의 질량 = 금의 밀도(19.3g/㎤) x 금의부피(23.33㎤) = 약450.27g 이 나오게 됩니다.

5. 총 왕관의 질량인 500g중 순수한 금의 질량이 450.27g 이므로,

은으로 바뀐 금의 질량은 500g - 450.27g  = 49.73g 입니다.

[최슬기]

선생님 이해가 잘가요>< 학교에서꼭발표를해야지! 선생님고맙습니다♡♡