크기와 표면적, 그리고 프랙탈

[김동석]

크기와 표면적, 그리고 프랙탈

크기와 표면적

생명의 진화에서 우리는 대형화로 향한 뚜렷한 추세를 볼 수 있다.이것은 대형화가 생존에 있어서 절대로 유리한 전략이기 때문은 아니다.작은 것이든 큰 것이든 그 나름대로의 장점과 단점이 있다.큰 것이  변화하는 환경에 유리하다고 하지만 실제 급변하는 환경에서 살아남는 것은 작은 것이다.그러면 이러한 대형화의 추세는 왜 발생하는 것인가?

그 이유는 단순한데 진화상의 새로운 변혁은 항상 보다 작고 그래서 보다 단순한 것에서 시작되기 때문이다.(크고 복잡한 것은 바로 그것으로 해서 새로운 생태적 니체를 창출할 수 있는 유연성을 상실하고 있다)  혁신이 일단 성공하고 나면 그 종은 빈생태적 니체속으로 급속히 증식해 나가면서 점차 종내 경쟁이 치열해지게 된다.그 경쟁을 피하는 방법은 보다 대형화됨으로써 지금까지의 크기의 규모에서 이용하지 못한 새로운 생태적 니체로 진입해가는 길 밖에 없다.이것이 종을 불가피하게 대형화로 내몰게 된다.

작은 것에서 큰 것으로의 이행은 중간의 이행과정이기 때문에 최종적 결과만을 보고 있는 관찰자로서는 이것을 확인할 수 있는 방법이 없다.그러나 어떤 것으로 고착되지 않고 작은 것이 갖은 이점과 큰 것이 갖은 이점을 동시에 사용하는 전략이 없으리라는 법이 없다.그 대표적인 것이 粘菌類(slime molds)이다.이것은 단세포체로서 그 생활사를 시작한다.그러다가 주변의 환경이 악화되면 수천개의 점균들이 한데 모여 응집력있는 집단을 형성한다.이 때 이것은 하나의 개체처럼 행동한다.원래 독자적 생활을 하던 개체들에 기능적 분화가 일어나 어떤 것은 이동기능을 맡고,어떤 것은 생식기능을 맡는다.이것은 작은 단위에서는 불가능한 큰 가동성을 획득하고 이 능력을 이용해서 먹이가 풍부한 다른 곳으로 이동해간다.새로운 먹이를 발견하면 점균류는 열매처럼 생긴 몸체를 가진 줄기를 발생시킨다.이 모습은 균류와 아주 흡사하다.마지막으로 열매의 캡슐이 터지고 그속에서 수천개나 되는 포자들이 쏟아져 나온다.그리고 그 포자에서 태어난 세포들은 원래의 단세포형태로 돌아가서 독립적 생활을 한다.작은 것이 가진 이점(단순성,그래서 복잡성에 수반하는 쓸데 없는 투자를 할 필요가 없다)과 큰 것이 가진 이점(환경에의 상대적 독립성과 이동능력)을 동시에 활용하는 절묘한 전략이라고 하겠다. 점균류는 합쳐서 크기를 바꿈으로써 생태적 니체를 바꾸고 있다.

그러나 대부분의 진화에서 이러한 가역성은 없다.그러므로 일단 대형화로 이행한다면  그 필연적 수순으로서 대형화에 따른 복잡성의 문제를 해결하도록 내몰리게 된다.우리는 이런 관점에서 순환계와 호흡계 나아가 감각의 진화를 살펴볼 수 있다.

박테리아에게는 호흡기관도,순환기관도 심지어는 감각기관도 없다.그렇다고 박테리아에게서 대사기능이 일어나지 않는다고 말할 수 없다.그렇다면 그것이 어떻게 가능한가? 그 비밀은 그 작은 크기에 있다.

크기가 작을수록 외부와 접촉하는 표면적이 넓어진다. 대사에 필요한 산소나 영양물질은 그 넓은 피부를 통해 자연스럽게 확산되어 몸내부로 들어온다.구태여 복잡한 호흡기관이나 순환기관을 갖출 필요가 없다.

그러나 크기가 커지면 몸표면에서 몸중심까지 거리가 멀어져 확산에만 의지해서는 시간이 매우 많이 걸린다.체액을 순환시켜 산소를 비롯한 분자들을 몸의 표면에서 내부로 운반해 주어야 한다.¹⁾

그릇이 작으면 그릇속의 농도는 확산만으로도 충분히 같아질 수 있다.그릇이 크면 뒤섞어 주지 않는한 그릇속의 농도가 같아지는 것은 거의 불가능하다.순환계란 몸속의 물을 마구 휘저어서 산소나 영양물질의 농도를 일정하게 하기 위한 일종의 교란장치이다.따라서 크기가 작으면 순환계나 호흡계가 필요없다.

그럼 동물이 어느정도 작으면 특별한 호흡계나 순환계 없이 살아갈 수 있을까?우선 산소에 눈을 돌려서 산소를 확산에만 의존하는 동물의 크기의 상한선이 어느 정도인지를 대략 계산해 보자.이 계산의 공식은 다음과 같다.

물질의 이동량 = -K×면적×물질의 농도의 기울기

이것은 어떤 면을 통하여 단위시간에 얼마만큼의 물질이 확산에 의해 이동하는가를 나타내주는 식이다.물질의 이동량은 물질이 통과하는 면의 면적에 비례하고 물질의 농도의 기울기에도 비례한다.농도기울기란 통과면의 양쪽의 농도차를 면의 두께로 나누어 얻은 값을 말한다.비례상수 K는 확산계수이다.

여기서 구형의 동물을 생각해보자.이 동물이 자기가 필요로 하는 산소를 구의 표면으로 확산에 의해 들어오는 것 만으로 충당하려고 한다면 가능한 구의 크기는 얼마나 될까?결과는 반지름 1mm이다.즉 호흡계나 순환계를 갖추지 않은 동물은 반지름 1mm이상의 크기가 될 수 없다.

그럼 크기가 그 이상으로 커지면 어떻게 해야할까?앞서 둥근 구로 보고 계산했다.그러나 몸의 두께를 그대로 유지하면서 몸을 넓게 펴면 가능하다.구는 표면적/부피의 비가 가장 작은 형태이다.그러나 팔랑팔랑할 정도로 납작한 모양이면 확산해갈 거리나 표면적/부피의 비 문제 모두를 해결할 수 있다.

실제로 이런 전략을 쓰고 있는 동물이 편평벌레이다.편평벌레는 그 이름처럼 납작하다.조수가 빠져나간 해안의 바위위에 길이 5cm정도의 얇은 타원형생물체가 업드려 있는 것을 볼 수 있다.이것이 편평벌레인데 이런 종류의 편평벌레 가운데 대형에 속한다.길이가 몇 mm되는 작은 것들도 있는데 작은 것의 단면은 우리가 예상한 것처럼 거의 공모양에 가깝다.크기가 커짐에 따라 두께는 늘어나지 않고 옆으로만 퍼지기 때문에 편평한 모양이 되어간다.

편평벌레는 편평하게 됨으로써 산소운반 문제의 해결틀을 제시했다.하지만 아직 체내에서의 영양물질의 배달문제가 남아있다.이것을 위한 원시적 순환계라고 부를 수 있는 특별한 장치를 갖고 있다.편평벌레의 입은 배쪽 중앙부근에 있다.입으로 먹은 것을 체내 곳곳으로 보낼수 있도록 온몸의 곳곳으로 가지쳐 뻗은 장을 가지고 있다.

왜 산소의 운반체계는 없으면서 음식물의 운반체계는 구비되어 있는 것일까? 이것은 분자의 확산속도의 차이 때문이다.산소처럼 작은 분자일수록 확산속도가 빠르다.음식물 분자는 산소에 비해 현격하게 크기 때문에 확산속도가 늦다.특히 큰 분자들의 조직내에서의 확산속도는 수중에서 보다 훨씬 느리다.따라서 호흡계는 없어도 음식물을 운반할 수 있는 의사 순환계는 갖추고 있어야 한다.

그렇다면 호흡계 없이 동물은 얼마만큼 커질 수 있을까?지렁이와 같은 동물이 여기에 해당한다.지렁이에게는 훌륭한 혈관계가 있어 붉은 피가 흐르고 있는데 그러나 아가미나 허파가 없다.

지렁이와 같은 원통형 동물이 순환계 없이 확산에 의해서만 산소를 운반한다면 최대 굵기는 얼마가 될까?최대 반지름 0.8mm가 나온다.여기에 순환계를 구비시키면 최대굵기는 1.3cm가 나온다.실제로 남미에는 체중이 1kg이나 되는 거대한 지렁이가 살고 있다.그러나 몸의 반지름은 정확히 1.3cm이다.결국 지렁이는 어느 정도 길어질 수는 있어도 호흡계가 없기 때문에 표면적/부피의 비의 제약을 받아서 어느 한도 이상 굵어질 수 없다.

요약하면 원통형 동물에 있어서 순환계가 없는 경우 굵기의 한도는 반지름 0.8mm였는데 순환계가 존재하는 경우 1.3cm였으므로 이로 인해 16배나 굵어질 수 있었다.

이 보다 더 굵어지려면 호흡계가 필요하다.대표적인 호흡기관은 아가미와 허파이다.둘다 몸의 일부가 부풀어서 외계와 접하는 형태이다.몸의 일부를 바깥으로 부풀려 내놓은 것이 아가미이고,역으로 몸속으로 부풀려서 집어넣은 것이 허파이다.표면적을 크게 하려고 둘다 많은 주름을 갖고 있다.그리고 둘다 표면밑으로 혈관이 지나가 거기서 기체를 교환한다.

결국 순환계와 호흡계는 표면적/부피의 한계를 돌파함으로서 동물의 대형화를 향한 길을 열어놓은 진화적 산물임을 알 수 있다.

표면적과 프랙탈

결국 몸의 복잡한 기관들은 크기의 증대에 따른 표면적의 축소에 대한 대응임을 알 수 있다.이 관점에서 볼 때 우리의 폐와 혈관 그리고 腸은 우리 피부의 변형이다.그것은 피부를 몸의 안쪽으로 쑤셔넣은 것이다.사실 우리의 장막의 세포는 피부와 같은 상피세포로 되어있다.타다 토미오의 다음말은 바로 이것을 말하고 있다.²⁾

"인간은 여러개의 관으로 이루어져 있다.그중에서도 가장 기본적인 관은 소화관이다.인간은 그 속에 소화관이라는 긴관을 가지고 있는 거대한 관이라고 볼 수 있다.소화관은 구강에서 항문까지 총길이가  8m이다.소화관은 해부학적으로도 몇 개씩 되는 기관으로 이루어진 복잡한 구성의 관으로 인간존재의 가장 신체적인 기능을 맡고 있다.

 그런데 위(胃) 안이라든가 장(腸) 안이라고 하지만 그것은 사실 몸안일까 아니면 몸바깥일까?해부학적으로 보아 위안이나 장안은 어디까지나 몸 바깥이다.사람은 피부와 감각기관을 통해 외계와 접할 뿐 아니라 소화관 내강의 점막을 통해서도 외계와 접하고 있다.사람이 거대한 관이라고 하는 것은 바로 이런 이유에서이다.

 소화관의 내면은 미세한 주름을 갖고 있기 때문에 표면적이 아주 넓다.외계와 접하고 있는 면적이 약 400 제곱미터로 계산된다.이 정도라면 테니스코트의 두 개의 면적에 해당한다.반면 피부의 총면적은 2제곱미터이고 외계와 접촉해 가스를 교환하는 폐는 80제곱미터정도이다."

생명에 있어서 가장 중요한 것이 표면적의 확보라고 한다면 이러한 기관들도 이런 방식으로 설계되어 있지 않으면 안될 것이다.동일한 체적안에서 최대의 면적을 확보하는 방법은 무엇인가? 그 답은 프랙탈적 구조이다.

아래 그림은 가스켓이라 불리는 프랙탈구조이다.이것은 주어진 삼각형의 각 변을 이등분한다음 4개의 작은 삼각형을 만들고 그 중간부분을 제거하고 다시 그 작은 삼각형을 이등분한다음 그 중간부분을 제거하는 과정을 되풀이 함으로써 만들어진다.

 이 가스켓은 1차원인 선과 닮지 않았고 그렇다고 2차원인 면과도 닮지 않았다.이것의 차원은 1.5849...의 소수차원이다.이 특성으로 해서 그 면적은 0이고 그 길이는 무한대이다.(상세한 논의는 여기를 클릭하세요)

이 논의를 확장해서 2차원과 3차원의 사이에 있는 프랙탈을 만든다면 부피는 0이면서 면적은 무한대가 되는 형태를 만들 수 있을 것이다.이것이 최소체적에 최대면적을 압축하고자하는 생명의 설계에 대한 숄류션일지 모른다.여기에 해당하는 것으로 멩거스폰지가 있다.

 

이것의 차원은 2.727..이다.(상세한 것은 여기를 클릭하세요) 이것은 부피는 유한하지만 그 면적은 무한하다.물론 실제 생명체에서 무한한 면적이란 있을 수 없다.그러나 피보나치수열이 황금비를 근사화한 것이듯이 우리의 폐나 혈관은 이 멩거스폰지의 근사화이지 않을까?(물론 꼭 멩거스폰지일 필요는 없다.그러나 폐나 혈관계의 프랙탈차원을 실측함으로써 근사화한 프랙탈모형을 만들 수 있을 것이다)

우리몸의 폐를 보자.³⁾이것은 텅빈 공기주머니가 아니다.큰가지가 점점 작은 가지로 갈라지면서 폐포에서 종결되는 수지상 구조로 되어 있다.산소는 폐의 세포벽과 접촉해야만 적혈구에 의해서 흡수될 수 있기 때문에 허용되는 최대부피내에 가능한한 넓은 표면을 가지는 것이 유리하다.프랙탈구조는 이 문제에 대한 해결책이다.똑같은 원리가 우리몸의 순환계에도,소화관에도,신경계에도 적용되고 있다. 뿐만 아니라 똑같은 요구 때문에 우리의 대뇌피질도 주름져있고,우리의 손바닥도 주름진 손금으로 되어있다.

순환계는 산소와 영양을 세포에게 신속히 공급하는 역할을 해야 한다.그러기 위해서는 세포 바로 인근에 혈관이 분포해 있지 않으면 안된다.만일 이것을 보통의 방식으로 설계하고자 한다면 그것을 충족시키기위해 우리 몸을 혈관으로 완전히 채우지 않으면 안될 것이다.최소의 부피를 차지하면서 몸의 모든 부분과 속속들이 접촉을 유지하는 방법은 프랙탈적 구조외에는 없다.

표면적을 최대화할려는 전략은 앞서 본 잎차례에서나 나무의 가지치기에서 볼수 있었다.그리고 잎의 엽맥도 동일한 원리에 의한 것이다.

생명과 프랙탈

다음 두 그림을 보자.

                

                                                (a)                                                                                   (b)

b는 말하자면 원자모형이다.원자(atom)는 쪼갤 수 없다.이것은 내부가 꽉차있는 충만체(연속체)라는 것을 의미한다.그리고 원은 동일체적에 가장 적은 표면적을 가지는 도형이다.이것은 말하자면 외부와의 접촉이 일체 없다.그것은 그 자체로서 완결된 체계이고 외부와 아무런 관계를 가질 수 없다.이것은 서양철학에서의 실체의 모형에 가깝다.a는 모형이 아니다.이것은 실제 원생생물인 규조류(diatom)의 일종이다.(다른 종류를 보기위해서는 여기를 클릭하세요) 이것은 구멍투성이다.외부와 접촉면(즉 표면적)을 최대화할려는 전략이고 그래서 그것은 프랙탈적 구조를 취하고 있다.말하자면 이것은 관계(relatives)의 모형이다.

전자는 스스로 관계맺지 않으므로 그것이 어떤 집합적 조직을 만들고 있다면 외부에서 강요된 것이다.그것은 설계된 것이고 각 요소의 전체와의 연관은 우연적인 것이다.그것은 기계의 모델이다.여기서 관계맺음은 치명적이다.그래서 기계는 녹이 쓸지 않게 도색하고 도금한다.외부영향을 최소화하기 위해서 표면은 매끄럽다.후자는 스스로 관계맺어 자기조직화할려는 경향을 가진다.거기에는 바깥으로의 설계자가 없다.요소와 전체의 연관은 내재적 필연성으로 이루어진다.그것은 바깥으로 자기를 열어놓고 있고 그래서 표면은 면적을 최대화하기 위해서 울퉁불퉁한 구조를 하고 있다.

원자는 사물에 대한 극단적 이상화이다.엄밀한 의미에서 원자적 사물은 존재하지 않는다.정도의 차이는 있지만 생명아닌 모든 사물도 프랙탈적 구조를 갖는다.이 세계에 관계지워져 있지 않는 것은 아무것도 없기 때문이다.바다의 파도는 그것이 부딪히는 땅과 관계하여 독특한 해변의 프랙탈구조를 만들고(방파제에 인간이 만든 정사면체구조물은 이것을 모방한 것이다) 사막에서 모래는 바람과 관계맺어 모래사막의 아름다운 무늬를 형성한다.강의 물줄기는 땅과 대화해서 -해빛과 식물의 대화에서 생겨나는 것과 유사한 -수지상의 강모양을 만든다.(그러나 엽맥에서 보이는 것과 같은 이중교차가 없다.이것은 생명의 관계맺음의 정도가 훨씬 더 긴밀하다는 것을 보여준다.)

자연의 아름다움과 심오성에 압도될 때 우리는 할말을 잊는다.물리학자이자 화이트헤드철학을 깊히 연구해온 전병기 선생의 시 한 구절이 마음에 와 닿는다.⁴⁾

우리가 안고 있는

마당은 無窮無盡한 것이요.

아무리 달려도 끝이 보이지 않는

가없는 것이요.

생각에 생각을 거듭해도

그 마당은

마당 속으로 숨어 들어갈 뿐

자신을 드러내지 않는 것이요.

自然은 말한다오.

생각하지 말라고,

돌처럼 나무처럼 느끼기만 하라고,

自然은 말한다오.

지나가는 것은 지나가게 두고

오는 것은 오도록 두라고,

選擇하지 말고 無知하게

그냥 있으라고 말이요,

知性의 限界를 壓倒하는

분위기속에서

그냥 있으라고 말이요.

프랙탈 연습

fractal_practice

코흐곡선,시어핀스키 가스켓, 멩거스폰지,프랙탈 나무 등을 그려보고 조작해 볼 수 있는 소프트웨어.

 start.exe 클릭하면 좌측의 초기화면이 나온다.여러가지 프랙탈을 그려보기위해서는 4번째의 FRACTPIC.EXE를 클릭하면 몇가지 메뉴가 뜬다.그 가운데 하나를 선택해서 해당번호를 치면 계산회수(0~5)에 대한 물음이 나온다.계산회수를 쳐넣으면 바로 실행된다.우측은 6번의 시어핀스키 스폰지(멩거스폰지)를 선택하고 4회계산을 주었을 때 출력된 모습.

   

이 프로그램을 다운받으려면 여기를 클릭한 다음 fractal_practice.zip을 선택하세요.

FRACTREE

린덴마이어 방식을 이용해서 간단한 프랙탈 도형이나 나무를 그려 볼 수 있는 프로그램.실제 식을 바꿔줌으로써 여러 가지 형태를 만들어 볼 수 있다.일단은 파일을 열어 저장되어 있는 것을 실행해 보자.하단의 좌측은 koch.fra를 실행한 것이고,우측은 grass2.fra를 실행한 것이다. ctrl과 N키를 누르면 누를 때 마다 한 단계씩 실행된다.좌측은 4회시행한 결과이고 후자는 10회 시행한 결과이다.우측의 경우 실행회수가 늘수록 점점 실제나무와 근사해져 간다.

 

이 프로그램을 다운받으려면 여기를 클릭한 다음 FRACTREE.ZIP를 선택하세요.

1) 모토카와 타츠오,『시간으로 보는 생물이야기』,이상대옮김,사계절,8장 참조

2) 타다 토미오,『면역의 의미론』,황상익 옮김,한울,9장

3) D.Peak,Chaos Under Control,pp.104-105

4) 화이트헤드,『자연의 개념』,전병기 옮김(이문출판사) ,역자의 서문에서