Re:Re:무한급수 입니다. 도와주세요

[아이쿠~~!!!]

오일러가 풀었던 방식으로 풀어 볼게요... (수학의 짜릿한 맛을 느끼실 겁니다..ㅎ)

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우선 함수 (1) f(x) = 1 - x^2/3! + x^4/5! - x^6/7! + ... 를 생각해 보면, (n! = 1*2*3*...*(n-1)*n)

이 함수는 f(0)=1 인 무한 다항식이라는걸 알수 있죠?

그럼 이 함수에서 x=0 이 아니라고 가정하고 이 다항식을 다시 고쳐쓰면

f(x) = ( x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...)/x = sin(x)/x

(참고 ==> sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ... 매클로린 급수 전개)

그럼 이 함수의 값이 0 이 되는 x값은 ±pi, ±2pi, ±3pi, ...(여기서 0 은 제외되지요? x=0이 아니라고 가정했으므로)

그럼 f(x) = (1+x/(pi))(1-x/(pi))(1+x/(2pi))(1-x/(2pi))(1+x/(3pi))(1-x/(3pi))...... 이렇게 쓸수 있습니다.

==> (2) f(x) = {1-x^2/(pi)^2}{1-x^2/(2pi)^2}{1-x^2/(3pi)^2}...

이제 제일 처음 함수(1)하고 바로 위에 쓴 함수(2)를 같다고 놓으면

1 - x^2/3! + x^4/5! - x^6/7! + ... = {1-x^2/(pi)^2}{1-x^2/(2pi)^2}{1-x^2/(3pi)^2}...

여기서 우변를 전개하면 (2) ==> 1 - (1/(pi)^2 + 1/4(pi)^2 + 1/9(pi)^2 + ...)x^2 + (...)x^4 + (...)x^6 + ...

이제 좌변과 우변의 x^2의 계수만 비교하면

==> - 1/3! = - (1/(pi)^2 + 1/4(pi)^2 + 1/9(pi)^2 + ...)

==> 1/6 = (1 + 1/4 + 1/9 + ...)/(pi)^2

==> 1 + 1/4 + 1/9 + ... = (pi)^2/6

이해 안되시는것 있으시면 다시 리플요.....좋은 하루 되시길..^^

[hunter]

대단히 고맙습니다. 급수전개를 생각지도 못했네요.