자연 속에 숨은 피보나치 수, 피보나치 수열

[김상진]

자연 속에 숨은 피보나치 수, 피보나치 수열
출처:  http://blog.naver.com/forfriend5/220472225501

아~~ 예쁜 꽃들입니다

혹시 이 꽃들이 몇 장의 꽃잎으로 되어있는지 관심 가져 보신 적 있나요?

대부분의 꽃의 꽃잎은 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89...장입니다.

꽃이 활짝 피기 전까지 꽃잎이 봉오리를 이루어 꽃 안의 암술과 수술을 보호하는 역할을 위해 꽃잎들이 이리저리 겹쳐져야 합니다.

이때, 꽃잎의 수가 3, 5, 8, 13, …일 때, 꽃잎을 겹치기가 가장 효율적이라고 합니다.

도대체 이 수들이 뭐길래ㅋㅋ

1,2,3,5,8,13,21,34,55,89...을 보면

1+1=2 1+2=3 2+3=5 3+5=8 5+8=13...두 수를 더하면 다음 수가 됩니다.

이와 같은 수열을 피보나치 수열이라고 합니다.

관계식으로 쓴다면

피보나치 수열은 이탈리아의 수학자 피보나치(Leonardo Fibonacci ; 1170? ~ 1250?)의 이름에서 따온 것 입니다.
그가 피보나치 수열을 처음 소개 한 책은 <산반서> 입니다.
책에 실린 내용을 봅시다.

어린 토끼 암수 한 쌍이 있습니다.

어린 토끼들은 두 달 후 어른 토끼가 되어 암수 한 쌍의 어린 토끼를 낳을 수 있습니다.

한 달 후, 두 달 후 ...매달 총 토끼는 몇 쌍이나 있을까?

 
그림을 보면

1, 1, 2, 3, 5, 8... 바로 피보나치 수열임을 알 수 있습니다.

 한 쌍의 토끼가 계속 새끼를 낳을 경우 몇 마리로 불어나는가를 숫자로 나타낸 것이 이 수열이다.
이 수열은 앞서 나오는 두 개의 숫자의 합이다.

피보나치 수열은 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 등과 같이 계속되는 수열이다.
이것은 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13, 8+13=21, 13+21=34, 21+34=55, 34+55=89, 55+89=144, 89+144=233 처럼
인접한 두 수의 합이 그 다음 수가 된다.

피보나치 수열은 자연 속에서 많이 찾아 볼 수 있습니다.
(자연이 스스로 피보나치 수열을 좋아해서 피보나치 수열을 따르는 것이 아니라ㅋㅋㅋㅋ 과학적인 이유가 있기 때문)

나뭇가지를 볼까요?

두 개의 가지에 영양분이나 생장호르몬이 균등하게 분배되는 것이 아니기 때문에, 한 가지는 다른 가지보다 왕성하게 자랍니다.
그래서 하나는 그대로 자라고 다른 하나는 두 개로 갈라져 자랍니다.
한번 쉰 가지는 그다음 단계에서 두 개의 가지로 갈라지는 식으로 나뭇가지가 뻗어나갑니다.

아래부터 나뭇가지의 개수를 세어 보면 1,2,3,5,8,13,21...로 피보나치 수열이 만들어 집니다.
위부터 모여지는 가지 수를 세어 보아도 피보나치 수열이 만들어 집니다.

톱풀에 숨어있는 피보나치 수열

식물의 잎차례를 알아봅시다. 잎차례는 줄기에서 잎이 나와 배열하는 방식입니다.
t번 회전하는 동안 잎이 n개 나오는 비율인 t/n로 나타냅니다.

olmo 느릅나무는 한 번 회전할 때 잎이 2개 납니다. 1/2

ciliegio 벚나무는 두 번 회전할 때 잎이 5개 납니다. 2/5

pero 페로는 세 번 회전할 때 잎이 8개 납니다. 3/8

모두 피보나치 수입니다.
전체 식물의 92%가 피보나치 수열의 잎차례를 따르고 있다고 합니다.
잎들이 서로 가리지 않고 최대한 햇빛을 받을 수 있기 때문입니다.

피보나치수열은 황금비와도 관련이 있습니다.
이웃하는 두 피보나치 수의 비를 구해봅시다.
2/1, 3/2,  5/3,  8/5=1.6  13/8=1.625  ... 계속하다 보면 황금비 1.618에 가까워집니다.

(​극한을 이용해 나타내면) 

피보나지 수를 한 변의 길이로 하는 정사각형을 그려나가보면 가로 세로의 비가 황금비 1.618에 가까운 직사각형들이 그려집니다.
이 위에 그린 나선을 황금 나선 또는 피보나치 나선이라고 합니다.

(황금 나선은 로그 나선의 일종이며 앵무조개나 고사리와 같은 식물의 성장에서 로그 나선을 찾아 볼 수 있습니다.)

황금 나선을 이용한 사진 구도

↑씨를 가장 촘촘히 배열할 수 있다고 합니다
 

자연계의 80%가 피보나치 수와 관련 있다!!

정오각형안의 별 모양
빨간색 : 하늘색 =  1 : 1.618  (≒ 5 : 8 )  황금비입니다.

황금비와 피보나치 수열

영상 추가 설명
원의 둘레를 1:1.618로 황금분할했을 때 생기는 각이 약 137.5˚​

식물이 약 137.5˚​ 간격으로 잎이 자라거나 씨가 배열되면 위 이미지처럼 피보나치수와 관련있는 배열이 됩니다.

스웨덴 예테보리에 있는 한 건물의 외벽​

​
건물 외벽의 수열들을 보세요. 수학에 관심이 없는 사람이라면 그냥 지나칠 숫자들이지만
그 반대라면 단번에 이 수열에 관심이 갈 것입니다.
맞습니다.
이 수열은 피보나치수열입니다.
처음 이 사진을 보고 건물주가 피보나치수열에 관심이 있나 생각했는데 알고 보니
외벽에 쓰인 마지막 피보나치수 514229가 이 건물 서점의 전화번호라고 하네요. 마케팅 굿ㅋㅋ