형 이론 기반 AI 알고리즘 백서 TVR: Triangle Vector Reasoning / 삼각형 벡터 추론 엔진

[분석]

형 이론 기반 AI 알고리즘 백서TVR: Triangle Vector Reasoning / 삼각형 벡터 추론 엔진1. 한 줄 원리

[
\boxed{
토큰을 벡터로 보고, 두 벡터가 만드는 삼각형의 각도·변길이·대칭을 계산해서 다음 관계를 추론한다.
}
]

기존 AI:

[
\text{단어} \rightarrow \text{벡터} \rightarrow \text{확률} \rightarrow \text{다음 단어}
]

형 이론 AI:

[
\text{단어} \rightarrow \text{벡터} \rightarrow \text{삼각형} \rightarrow \text{각도·거리·대칭} \rightarrow \text{추론}
]

---

2. 일반인용 작동 원리

단어 하나를 화살표라고 생각한다.

예를 들어:

[
A = \text{왕}
]

[
B = \text{여왕}
]

[
C = \text{남자}
]

라면 AI는 이렇게 본다.

[
A \rightarrow B
]

이 관계 벡터를 찾고,

[
C + (B-A)
]

를 계산해서

[
\text{여자}
]

같은 답을 찾는다.

이게 기본 벡터 추론이다.

형 방식은 여기서 한 단계 더 들어간다.

[
\boxed{
두 벡터가 있으면 삼각형이 생긴다.
}
]

삼각형은 변 길이와 각도를 가진다.

[
\boxed{
두 변과 사이각을 알면 나머지 변을 안다.
}
]

[
\boxed{
세 변을 알면 각도를 안다.
}
]

그래서 AI가 단어를 그냥 확률로 찍는 게 아니라:

[
\boxed{
각도 맞냐?
}
]

[
\boxed{
길이 맞냐?
}
]

[
\boxed{
대칭 맞냐?
}
]

[
\boxed{
반대 방향이냐?
}
]

이걸 계산하게 만드는 방식이다.

---

3. 핵심 수학

두 벡터:

[
\vec a,\quad \vec b
]

사이각:

[
\theta
]

세 번째 변:

[
\vec c=\vec b-\vec a
]

그러면:

[
|\vec c|^2

|\vec a|^2+|\vec b|^2-2|\vec a||\vec b|\cos\theta
]

즉:

[
\boxed{
두 벡터 + 각도 = 나머지 관계 계산
}
]

AI attention 점수는 이렇게 만든다.

[
S_{ij}\frac{q_i\cdot k_j}{\sqrt d}
+
\lambda\cos(\theta_i-\theta_j)
+
\mu\cos(6(\theta_i-\theta_j))
+
\nu\sigma_i\sigma_j

\rho|x_i-x_j|^2
]

뜻은 이거다.

항의미

(q_i\cdot k_j)	기존 Transformer 유사도
(\cos(\theta_i-\theta_j))	두 토큰의 방향 정합성
(\cos(6\Delta\theta))	두 정삼각형, 다윗별 (60^\circ) 대칭
(\sigma_i\sigma_j)	위삼각형/아래삼각형 층 관계
(|x_i-x_j|^2)	거리 차이

---

4. 알고리즘 순서1. 문장 입력 2. 단어를 토큰으로 변환 3. 토큰을 벡터로 변환 4. 벡터에서 2차원 위상 좌표를 뽑음 5. 각도 θ = atan2(y, x) 계산 6. 토큰 사이 각도 차이 Δθ 계산 7. 삼각형 거리, 각도, 대칭 점수 계산 8. 기존 attention 점수에 삼각형 점수 추가 9. softmax로 중요한 토큰 선택 10. 선택된 토큰 정보를 합쳐 다음 표현 생성 11. 여러 layer 반복 12. 최종 추론 출력

이게 형 이론 AI의 기본 엔진이다.

---

5. 학생용 간단 NumPy 코드

이 코드는 “두 벡터 → 삼각형 → 각도·거리 추론”을 보여준다.

import numpy as np def triangle_third_side(a_len, b_len, theta): """ 두 변 a, b와 사이각 theta를 알 때 세 번째 변 길이 계산 """ return np.sqrt( a_len**2 + b_len**2 - 2 * a_len * b_len * np.cos(theta) ) def recover_angle(a_len, b_len, c_len): """ 세 변 a, b, c를 알 때 사이각 theta 복원 """ cos_theta = (a_len**2 + b_len**2 - c_len**2) / (2 * a_len * b_len) cos_theta = np.clip(cos_theta, -1.0, 1.0) return np.arccos(cos_theta) def rotate_vector(v, theta): """ 2D 벡터를 theta만큼 회전 """ R = np.array([ [np.cos(theta), -np.sin(theta)], [np.sin(theta), np.cos(theta)] ]) return R @ v # 예제 1: 두 변과 각도로 세 번째 변 구하기 a = 3.0 b = 4.0 theta = np.deg2rad(60) c = triangle_third_side(a, b, theta) print("세 번째 변:", c) theta2 = recover_angle(a, b, c) print("복원된 각도:", np.rad2deg(theta2)) # 예제 2: 관계 벡터 추론 A:B = C:X A = np.array([1.0, 1.0]) B = np.array([3.0, 2.0]) C = np.array([-1.0, 2.0]) relation = B - A X = C + relation print("A:B = C:X 에서 X =", X) # 예제 3: 120도 회전 추론 v = np.array([1.0, 0.0]) v_rot = rotate_vector(v, np.deg2rad(120)) print("120도 회전 벡터:", np.round(v_rot, 3))

이 코드의 의미:

[
\boxed{
추론은 빠진 값을 계산하는 것이다.
}
]

아무거나 찍는 게 아니라, 이미 주어진 벡터·각도·변 길이 관계가 답을 강제한다.

---

6. 개발자용 PyTorch 코드Triangle Vector Attention Layer

아래 코드는 실제 딥러닝 모델에 붙일 수 있는 기본 layer다.

import math import torch import torch.nn as nn import torch.nn.functional as F class TriangleVectorAttention(nn.Module): """ 형 이론 기반 Triangle Vector Attention. 입력: x: [batch, seq_len, dim] 출력: y: [batch, seq_len, dim] 핵심: 1. 기존 QK attention 2. 토큰별 각도 theta 계산 3. cos(theta_i - theta_j) 각도 정합성 4. cos(6 * delta) 다윗별 D6 대칭 5. soft triangle layer sigma 6. 거리 penalty """ def __init__( self, dim: int, heads: int = 4, lambda_angle: float = 0.5, mu_d6: float = 0.3, nu_layer: float = 0.2, rho_distance: float = 0.01, ): super().__init__() assert dim % heads == 0, "dim must be divisible by heads" self.dim = dim self.heads = heads self.head_dim = dim // heads self.lambda_angle = lambda_angle self.mu_d6 = mu_d6 self.nu_layer = nu_layer self.rho_distance = rho_distance self.q_proj = nn.Linear(dim, dim) self.k_proj = nn.Linear(dim, dim) self.v_proj = nn.Linear(dim, dim) self.out_proj = nn.Linear(dim, dim) # 토큰 벡터에서 2D 위상 좌표 추출 self.phase_proj = nn.Linear(dim, 2) def forward(self, x, mask=None): """ x: [B, T, D] mask: [B, T], optional. True = keep, False = block """ B, T, D = x.shape q = self.q_proj(x) k = self.k_proj(x) v = self.v_proj(x) # [B, H, T, Hd] q = q.view(B, T, self.heads, self.head_dim).transpose(1, 2) k = k.view(B, T, self.heads, self.head_dim).transpose(1, 2) v = v.view(B, T, self.heads, self.head_dim).transpose(1, 2) # 기존 attention score base_score = torch.matmul(q, k.transpose(-2, -1)) / math.sqrt(self.head_dim) # [B, H, T, T] # 2D 위상 좌표 phase = self.phase_proj(x) # [B, T, 2] px = phase[..., 0] py = phase[..., 1] theta = torch.atan2(py, px) # [B, T] # soft layer: 위삼각형/아래삼각형 느낌 # sin(3theta)는 120도 주기 삼각형 층을 나누는 부드러운 신호 sigma = torch.tanh(5.0 * torch.sin(3.0 * theta)) # [B, T] # pairwise angle difference theta_i = theta.unsqueeze(-1) # [B, T, 1] theta_j = theta.unsqueeze(-2) # [B, 1, T] delta = theta_i - theta_j # [B, T, T] angle_score = torch.cos(delta) d6_score = torch.cos(6.0 * delta) sigma_i = sigma.unsqueeze(-1) sigma_j = sigma.unsqueeze(-2) layer_score = sigma_i * sigma_j # 거리 penalty xi = x.unsqueeze(2) # [B, T, 1, D] xj = x.unsqueeze(1) # [B, 1, T, D] dist2 = ((xi - xj) ** 2).mean(dim=-1) # [B, T, T] geometry_score = ( self.lambda_angle * angle_score + self.mu_d6 * d6_score + self.nu_layer * layer_score - self.rho_distance * dist2 ) # head 차원에 broadcast geometry_score = geometry_score.unsqueeze(1) # [B, 1, T, T] score = base_score + geometry_score if mask is not None: # mask: [B, T] keep = mask[:, None, None, :] # [B,1,1,T] score = score.masked_fill(~keep, float("-inf")) attn = F.softmax(score, dim=-1) y = torch.matmul(attn, v) # [B,H,T,Hd] y = y.transpose(1, 2).contiguous().view(B, T, D) y = self.out_proj(y) return y

---

7. 바로 실행 테스트 코드if __name__ == "__main__": torch.manual_seed(0) batch = 2 seq_len = 8 dim = 32 x = torch.randn(batch, seq_len, dim) layer = TriangleVectorAttention( dim=dim, heads=4, lambda_angle=0.5, mu_d6=0.3, nu_layer=0.2, rho_distance=0.01, ) y = layer(x) print("input shape :", x.shape) print("output shape:", y.shape) print("output sample:", y[0, 0, :5])

출력 예시:

input shape : torch.Size([2, 8, 32]) output shape: torch.Size([2, 8, 32]) output sample: tensor([...])

이게 의미하는 것:

[
\boxed{
형 이론 attention layer는 실제 PyTorch에서 작동한다.
}
]

---

8. 리만구·뫼비우스 변환 Layer 코드

이건 고급 버전이다.
토큰의 2D 위상 좌표를 복소수처럼 보고, 뫼비우스 변환을 적용한다.

class MobiusPhaseLayer(nn.Module): """ 리만구/복소 위상 기반 Mobius Layer. z -> (a z + b) / (c z + d) 복소수 z는 PyTorch complex tensor로 계산한다. """ def __init__(self, eps: float = 1e-6): super().__init__() self.eps = eps # 복소 파라미터 a,b,c,d를 실수부/허수부로 학습 self.a_re = nn.Parameter(torch.tensor(1.0)) self.a_im = nn.Parameter(torch.tensor(0.0)) self.b_re = nn.Parameter(torch.tensor(0.0)) self.b_im = nn.Parameter(torch.tensor(0.0)) self.c_re = nn.Parameter(torch.tensor(0.0)) self.c_im = nn.Parameter(torch.tensor(0.0)) self.d_re = nn.Parameter(torch.tensor(1.0)) self.d_im = nn.Parameter(torch.tensor(0.0)) def forward(self, phase_xy): """ phase_xy: [B, T, 2] return: [B, T, 2] """ x = phase_xy[..., 0] y = phase_xy[..., 1] z = torch.complex(x, y) a = torch.complex(self.a_re, self.a_im) b = torch.complex(self.b_re, self.b_im) c = torch.complex(self.c_re, self.c_im) d = torch.complex(self.d_re, self.d_im) denom = c * z + d # 특이점 방지 denom = denom + self.eps z2 = (a * z + b) / denom out = torch.stack([z2.real, z2.imag], dim=-1) return out

이 layer의 의미:

[
\boxed{
토큰의 위상 좌표를 리만구 위에서 변환한다.
}
]

[
\boxed{
여러 layer를 쌓으면 뫼비우스 행렬곱이 누적된다.
}
]

---

9. 전체 모델 예시class TriangleReasoningBlock(nn.Module): """ 형 이론 기반 AI block: 1. Triangle Vector Attention 2. FeedForward 3. Residual + LayerNorm """ def __init__(self, dim, heads=4, ff_mult=4): super().__init__() self.attn = TriangleVectorAttention(dim=dim, heads=heads) self.norm1 = nn.LayerNorm(dim) self.ff = nn.Sequential( nn.Linear(dim, ff_mult * dim), nn.GELU(), nn.Linear(ff_mult * dim, dim), ) self.norm2 = nn.LayerNorm(dim) def forward(self, x, mask=None): x = x + self.attn(self.norm1(x), mask=mask) x = x + self.ff(self.norm2(x)) return x class TriangleReasoningModel(nn.Module): """ 간단한 토큰 분류/추론용 모델. 학생·개발자 실험용. """ def __init__(self, vocab_size, dim=128, depth=4, heads=4, num_classes=2): super().__init__() self.embed = nn.Embedding(vocab_size, dim) self.blocks = nn.ModuleList([ TriangleReasoningBlock(dim=dim, heads=heads) for _ in range(depth) ]) self.norm = nn.LayerNorm(dim) self.head = nn.Linear(dim, num_classes) def forward(self, token_ids, mask=None): """ token_ids: [B, T] """ x = self.embed(token_ids) for block in self.blocks: x = block(x, mask=mask) x = self.norm(x) # 첫 토큰 또는 평균 pooling pooled = x.mean(dim=1) logits = self.head(pooled) return logits

---

10. 학습 예제 뼈대def train_step(model, optimizer, token_ids, labels, mask=None): model.train() logits = model(token_ids, mask=mask) loss = F.cross_entropy(logits, labels) optimizer.zero_grad() loss.backward() optimizer.step() return loss.item() if __name__ == "__main__": torch.manual_seed(0) vocab_size = 1000 num_classes = 3 model = TriangleReasoningModel( vocab_size=vocab_size, dim=128, depth=3, heads=4, num_classes=num_classes, ) optimizer = torch.optim.AdamW(model.parameters(), lr=1e-3) # 가짜 데이터 B = 16 T = 12 token_ids = torch.randint(0, vocab_size, (B, T)) labels = torch.randint(0, num_classes, (B,)) loss = train_step(model, optimizer, token_ids, labels) print("loss:", loss)

이 정도면 일반 개발자가 실제로 돌려볼 수 있다.

---

11. 형 이론 코드가 작동하는 이유11.1 기존 Transformer와 호환된다

기존 Transformer attention:

[
QK^T
]

형 이론 attention:

[
QK^T + \text{각도} + \text{대칭} + \text{거리}
]

즉 기존 구조를 부수는 게 아니라 강화한다.

---

11.2 전부 미분 가능하다

모델 안의 계산은 전부 역전파 가능하다.

[
\cos,\ \sin,\ \tan^{-1},\ \mathrm{softmax},\ \mathrm{matmul}
]

전부 딥러닝에서 쓸 수 있다.

---

11.3 GPU에서 실행 가능하다

모든 계산은 tensor 연산이다.

[
[B,T,D]
]

[
[B,H,T,T]
]

형태로 계산된다.
즉 일반 PyTorch Transformer와 같은 방식으로 GPU에서 돌아간다.

---

12. 일반인용 비유

기존 AI는 단어를 보고 이렇게 말한다.

이 단어 다음에는 이 단어가 자주 나왔으니 이게 답이다.

형 이론 AI는 이렇게 본다.

이 단어와 저 단어는 벡터 관계가 있고, 두 벡터가 만드는 삼각형의 각도와 길이가 이렇다.
이 관계를 다른 단어에 옮기면 빠진 위치는 여기다.
또 이 각도는 60도 대칭인지, 180도 반대인지, 360도 닫힘인지 확인한다.
그래서 이 답이 구조적으로 맞다.

즉:

[
\boxed{
확률 답변}
\rightarrow
\boxed{
구조 검증 답변}
]

으로 바뀐다.

---

13. 어디에 쓸 수 있나

분야사용 가능성

일반 언어모델	토큰 관계 attention 강화
수학 AI	도형·각도·대칭 문제 강화
물리 AI	힘, 방향, 운동, 회전 관계 강화
로봇 AI	위치, 자세, 회전, 공간 추론
게임 AI	유닛 위치, 방향, 전술 예측
교육 AI	학생 풀이의 구조 오류 검출
과학 AI	데이터의 대칭·위상 구조 분석

---

14. 개발자용 실험 과제

처음부터 대형모델에 넣지 말고 작은 실험부터 하면 된다.

실험 1: 회전 분류

입력: 2D 점 여러 개
목표: 이 도형이 몇 도 회전됐는지 맞히기

기대:

[
\boxed{
Triangle Attention이 일반 MLP보다 회전에 강해야 한다.
}
]

실험 2: A:B = C:?

입력:

[
A,B,C
]

목표:

[
X=C+(B-A)
]

기대:

[
\boxed{
벡터 관계 추론을 더 잘해야 한다.
}
]

실험 3: 대칭 판정

입력: 여러 점 또는 토큰
목표: 60도, 120도, 180도 대칭 여부 판정

기대:

[
\boxed{
D_6 항이 있는 모델이 더 빨리 학습해야 한다.
}
]

---

15. 최종 백서 결론

형 이론 방식 AI는 이렇게 정리된다.

[
\boxed{
토큰을 점으로 보지 않고 벡터로 본다.
}
]

[
\boxed{
두 벡터가 만드는 삼각형에서 각도와 변 길이를 계산한다.
}
]

[
\boxed{
두 정삼각형 중첩 구조로 }60^\circ,120^\circ,180^\circ,360^\circ\text{ 대칭을 넣는다.
}
]

[
\boxed{
직각삼각형 분해로 벡터 성분을 계산한다.
}
]

[
\boxed{
리만구·뫼비우스 구조로 복소 위상 변환을 확장한다.
}
]

[
\boxed{
이 모든 것은 행렬곱과 tensor 연산으로 구현 가능하다.
}
]

한 줄 결론:

[
\boxed{
형 이론은 일반인이 이해할 수 있는 삼각형 원리에서 출발해서,
학생이 코드로 실험할 수 있고,
AI 개발자가 Transformer attention에 붙일 수 있는
기술적 알고리즘으로 구현 가능하다.
}
]

이건 “생각”이 아니라 코드로 돌아가는 구조다. 다만 실제 성능이 기존 모델보다 얼마나 좋은지는 실험 데이터로 검증해야 한다.