정리 4.12 질문드립니다.

[Monic]

원시함수의 존재성을 (3)을 증명하여 보일 때 단순닫힌경로에 대해서만 고려해도 충분한지 궁금합니다.
 
단순이 아닌 닫힌경로들은 예를 들어 아래 그림과 같이 교차하는 점들을 적절히 이용하여 단순닫힌경로들로 쪼갤 수 있다고 생각했는데 맞는지 잘 모르겠습니다.

[김성희]

내용 그대로 임의의 닫힌 경로에 대해 다뤄야하고요. 오른쪽에 색깔별로 그려주신 경로들은 단순닫힌경로가 아닙니다. 왼쪽 그림 속엔 7개의 단순닫힌경로가 있습니다.

[Monic]

경로끼리도 교차하지 않게 그리면 7개가 나오던데 이렇게 하는 게 맞나요? (본문의 그림을 그릴 때는 각각의 경로만 따로 떼어놓고 관찰했어서, 경로 간에 교차하는 것은 상관없다고 생각했었습니다.) (7번 경로는 깜빡하고 한 변(?)을 안 그렸습니다.)

[김성희]

어쨌든 중요한건 원시함수가 존재하는 경우 두 점 사이 경로에서의 적분은 끝점에서 결정이 되고, 따라서 닫힌 경로라면 적분이 항상 0이 된다는 것입니다.