가우스 (Gauss, Karl Friedrich ) 1777~1855

[창중]

 

가우스 (Gauss, Karl Friedrich ) 1777~1855

도이칠란드 수학자.물리학자.천문학자.

1. 생애

벽돌 굽는 노동자의 아들로 태어난 가우스는 그 고장 영주인 브라운 시바이크 공의 도움으로 Gottingen 대학에 입학하여(1795년)수학을 전공하였다.

졸업(1798년)한 그 이듬해에 학위를 받았는데 그 때 제출한 논문이 대수학의 기본정리, 즉<실계수를 가진 대수방정식은 적어도 한개의 복수해를 갖는다>를 증명한 것이다.

그는 1807년 신설된 괴팅겐 천문대 대장과 괴팅겐대학 교수를 겸임한 이래 줄곧 그 지위를 지키면서 수학 활동을 평생동안 하였다.

그의 연구성과는 확률론, 물리학, 천문학, 측지학, 등을 포함하고 있으며 따라서 그를 위대한 수학자라고 하기보다는 위대한 수리학자라고 부르는 것이 적절하다.

1777년 독일에서 벽돌구이의 가정에서 태어남

1795-1998년 Göttingen대학에서 공부

1795년 2차형식에 관한 상호법칙 발견, 최소제곱법의 발견

1796년 복소수 평면의 도입

1799년 대수학의 기본 정리 증명

1800년 타원함수 발견

1801년 <정수론 연구>를 발표

1807년 괴팅겐 천문대의 대장이 됨

1829년 "최소작용의 원리"를 발견

1831년 Göttingen대학 물리학 교수에 취임

1832년 제량측정의 "절대단위"를 제창

1833년 베버와 함께 전자작용을 응용한 유선전신기 발명

1840년 Potential에 관한 가우스정리를 발견

1855년 사망

1796년, 가우스는 19세가 되기 직전에 정17각형이 자와 컴퍼스만으로도 작도할 수 있음을 발견하였다.

이것은, n이 홀수일 때, 정n각형을 자와 컴퍼스로 작도할 수 있는 것은,

n이 2^2κ＋1(κ=0,1,2,…)의 형태인 소수일 때에 한한다고 하는 가우스의 일반정리의 κ=2인 경우에 상당한다.

κ=0,1인 때의 정삼각형과 정오각형의 작도는 고대 그리스 이래로 잘 알려져 있었는데,

가우스는 2000년 전부터의 이 문제를 완성시킨 것이었다. 1798년, 헬름슈테트 대학에서,

논문 <1변수의 대수적유리정함수는, 어느 것이나 1차 또는 2차의 실인수로 분해할 수가 있다는 정리의 새로운 증명>에 의하여

박사 학위를 취득하였다.

이것은 n차방정식은 n개의 실수 또는 복소수의 해를 가진다는 <대수학의 기본정리>를 처음으로 증명한 것이다.

가우스는 이 증명을 몇 가지로 했는데, 그 마지막 논문(1849년)도 또 다른 증명에 대한 것이었다.

수학에서의 최초의 <존재정리>라고도 할 수 있는 이 증명 속에서 가우스는 복소수를 평면상의 점으로서 나타냈는데,

이 기하학적 표시에 의하여 복소수는 비로소 시민권을 얻었다.

1801년, 가우스는 《수론연구》를 저술했고, 거기서 합동식, 복소정수의 도입,

정n각형을 자와 컴퍼스만으로 작도할 수 있기 위한 조건 등이 주어져 있다.

19세기 초 소행성 세레스의 재발견 때에, 가우스가 개발한 근소한 관측 결과로

그 궤도를 구하는 행성의 궤도 계산의 방법이 사용되어, 예상한 위치에 세레스가 발견되었다.

1809년, 가우스는 괴팅겐 천문대장이 되었다. 1809년, 최소제곱법을 포함하는 《천체운행론》을 저술하였다.

대학 교수·천문대장으로서의 가우스의 연구활동은, 수학을 비롯하여 천문학·측지학·결정학·물리학 등 다방면에 걸쳤다.

물리학에서는 모관현상, 자기의 연구 등이 있어서, 지금도 자기력선속 밀도의 단위명 가우스에 그의 이름이 남아 있다.

  1833년∼1834년에는, 물리학자인 웨버(1804∼1891)와 전자기를 쓴 전신기를 만들었으며,

모르스 부호의 전신과 같은 부호까지도 고안하였다.

《수치적분법》(1815년),《오차론》(1823년),《곡면론》(1827년),《지자기의 일반이론》(1838년) 등의 저서는

실제적 문제와 이론적 문제가 멋지게 결합해 있음을 보여 주고 있다.

《오차론》에서는, 다수의 관측 데이터가 나타내는 통계법칙으로, 정규분포가 등장한다.

2. 업적 및 후세에 미친 영향

수학사에서의 18세기와 19세기의 구별은 가우스를 경계로 삼고 파악할 때 뚜렸해진다.

더 정확히 말하면 18세기 수학으로부터 19세기 수학으로의 전환은 가우스의 힘에 크게 의존하였다고 해야 옳을 지도 모른다.

가우스의 최대 업적은 근대적인 정수론의 건설이었지만, 정수에 관한 이론이 그 범위에 머물지 않았다는 점에서 가우스의 위대한 창조력과 영향력의 근원을 찾아 볼 수 있다.

복소수를 진정한 수학적 대상으로 파악하고, 이것을 정확한 수학적 방법을 써서 나타내는 것은 실로 가우스가 최초였다.

이 '수'는 오랫동안 '허'(imaginary)라는 머리글이 붙어 있었으나, 이것에 수학적 실재로서의 위치를 부여한 것은 가우스이다.

18세기에 있어서의 복소수의 사용은 실수의 체계에 복소수를 형식적으로 투입하는 것으로, 수학적 엄밀성이라는 점에서는 다분히 결함이 있었다.

이 약점을 제거한 것이 가우스였으며 이로 말미암아 수학적 존재로서의 복소수의 지위도 차츰 정립되어 간 것이다.

-가우스곡률(Gaussian curvature)에 대하여-

기하학에서 극소부분을 다루는 영역을 미분기하학(Differential geometry)라 한다.

이 학문의 목적은 곡선의 국소적 성질, 곡면의 국소적 성질 등을 연구하며, 주로 이러한 곡선/곡면등의 미분사상 등 등장변환사상을 중심적으로 연구한다. 주로 학부에서 배우는 내용중 미분기하학의 최고봉은 가우스-본네정리(Gauss-Bonnet theorem)으로 알려져 있는데 곡면의 국소적 성질을 대변하는 가우스곡률(Gaussian curvature)과 측지곡률(Geodesic curvature) 그리고 위상적 성질인 오일러수(Euler characteristic) 등이 서로 밀접한 관련이 있음을 알려주는 정리이다. (위 정리에서는 삼각형 내각의 합이 180도가 될려면 조건이 필요하다. 가우스곡률은 0이여야 하고, 측지선은 직선으로 주어져야 한다. 즉, 평면이여야 한다.)

위 정리와 함께 현대 기하학에서 중요한 정리는 바로 가우스의 위대한 정리이다. 리만이 괴팅겐 대학교에 교수로 취직하려 할 때 가우스는 7~8가지 문제들을 주고 일주일의 시간을 준뒤 그 중 1가지 문제를 시험당일 날 알려준다. 리만은 나머지 문제들은 모두 풀었으나 오직 한 문제만 헤메이게 되는데 그게 바로 위 문제이다. 곡면의 성질을 알려주는 2가지 기본형식이 존재한다.(1st/2nd fundamental form) 그러한 기본형식에 대해 리만은 밤새연구해 엄청난 이론을 발견해 낸다. 결국 시험에 그 이론을 펴놓자 가우스는 지나가다 호수에 넘어져 빠질 때까지 리만을 칭찬했다고 한다.

곡면의 제1기본형식은 ds^2 = E(du^2) + 2F(dudv) + G(dv)^2 이라 하고 이는 쉽게 설명하자면 곡면 위상의 임의의 곡선의 길이의 변화량이다. 예를들자면 지구상의 한 지점에 사람이 있다면 땅밑에 줄을 긋고 길이의 변화량을 충분히 잴 수 있으므로 이는 그 사람이 정확히 아는 량이다. 제2기본형식은 L,M,N으로 나타내어 지는데 곡면 여러곳에 곡선을 따라 길이가 일정한 나무를 심었을 때 그 나무의 끝점의 변화량을 나타낸 것이다. 결국 어떠한 곡면상에 점의 접평면에 거주하는 사람은 곡면 전체를 여행해보지 않는 한 절대 2기본형식 값들을 알지 못한다.

실제 가우스곡률을 구하려면 제1기본량 뿐만이 아니라 제2기본량을 아는게 굉장히 중요하다.

쉽게 예를들어, 콜롬부스가 지구가 둥글다는, 즉 가우스곡률이 양의 상수라는 것을 알게 된 것은 제2기본량을 보고 추측한 것이다. 즉 먼 바다에서 배가 떠오르는 것을 보듯이 나무의 위치 변화를 측정한 것이다.  

리만의 가우스의 위대한 정리는 다음과 같다.

'제1기본량만으로 가우스곡률을 나타낼 수 있다.'

즉, 콜롬부스가 먼 바다에서 배가 떠오르는 것을 보지 않고서도 곡면상의 거주자가 충분히 그 곡면의 국소적 성질을 알 수 있다는 것이다. 이는 미분기하학에서 굉장히 획기적인 정리이다. 현재 이 정리는 여러가지로 증명해보일 수 있는데 리만이 한 방법은 굉장히 어렵고 복잡하다. 하지만 그 근본에는 가우스곡률이 등장변환사상(Isometry)을 만족한다는 아이디어가 깔려있다. 원주면에 살고 있는사람, 구면에 살고 있는 사람 또는 평면..

 만약 그 사람이 한 없이 작다면 그 들은 그의 접평면에 존재하므로 평면에 살고 있다고 오해한다. 이때 이들이 그들이 살고 있는 면이 어떤면인지 정확히 알게 하기 위해서는

일정한 나무를 모든 면을 돌아다니며 세우고 그 끝을 줄로 잇는 방법(제2기본량을 아는법)밖에 없다고 과거에는 알았다.

하지만 위 정리로 인해 사람들은 자기가 살고 있는 그 극소 점에서 여러방향들의 땅길이의 변화율만 알면 그 곡면이 어떻게 생긴지 즉, 자기가 어떤공간에 살고 있는지 알 수 있다는 것이다.

위 정리는 우주가 한 없이 무한히 크므로 티끌에 불과한 우리는 절대 이해할 수 없다라는 용기없는 과학에 큰 시사점을 준다.

실제 리만은 위 정리 이후에도 리만곡률(Riemann tensor)을 따로 정해 공간상의 곡면을 다양체(Manifolds)로 기존의 유클리드기하학(Eucleadian geometry)에서 벗어나 여러가지 기하학을 탄생시킨다. 이는 아인슈타인의 일반상대성이론의 기초가 되었다.

일반상대성이론의 기초가 되는 리만기하학에서 가장 특징적인 내용은 측지선(Geodesics)이다. 측지선을 이해하기 쉽게 예를들어보면 세계지도를 펼쳐놓고 만약 지구가 이러한 평면이라면 서울에서 뉴욕까지 가는 가장빠른길은 일본을 건너 태평양 하와이를 건너 로스엔젤레스를 거치는 직선길일 것이다. 즉 서울과 뉴욕에 점을 찍고 자로 직선을 그으면 가장 빠른 길이다. 하지만 구면인 지구에서 이는 잘못된 망상이다.

실제로 어떠한 지도이든 평면지도는 지구를 똑같이 나타낼 수 없다.

평면에서는 측지선이 직선이지만 지구와 같은 구면에서는 대원(Great circle)이 가장빠른길(측지선)이다. 즉 서울에서 점을 찍고 지구중심으로 선을 그은다음에 그 선을 다시 뉴욕에 그은 후 그 두 점을 지나가는 대원을 그으면 그 길이 가장빠른길이 된다.(서울에서 출발해서 북극에서 약간남쪽부근을 지나게 됨)

측지선은 여러가지가 생길 수 도 있는데 예를들어 원기둥면은 직선도 원도 나선도 모두 측지선이 된다. 이럴경우 두 점의 위치에 따라 그 측지선이 무엇이 되는지 바뀌게 된다.

아인슈타인의 일반상대성이론은 공간이 평면이라면 전혀 성립할 수 없다. 질량이 공간자체의 가우스곡률을 변화시킨다는 사실은 대단히 획기적인 착상이다. 가우스곡률이 변화한다면 측지선도 바뀌게 된다. 즉 중력은 그러한 측지선이 바뀌게 됨으로써 나타나는 시간의 왜곡효과로 보는 것이다. 예컨데 지구가 공전하는 것은 태양이 지구를 당겨서가 아니라 태양의 질량이 존재함으로 써 공간의 가우스곡률이 양의 방향으로 커지고 지구는 그저 가장 빠른 그 공간의 가장 빠른 길(geodesic)인 대원을 그리며 계속 앞으로 나아가는 운동을 하는 것 뿐이다.

결국 이러한 모든 우주에 관한 세기의 발견 연구들은 그 바탕이 가우스의 위대한 정리에서 시작되었다고 할 수 있다.

*측지선(Geodesic) : 곡선의 임의의 점에서의 가속도백터가 법선백터의 방향일 때 그 곡선을 측지선이라 함.(일반적으로 두 점 사이의 최단거리)

*측지곡률(Geodesic curvature) : 0일 때 측지선이고 0보다 멀어질 수록 측지선에서 멀어짐(측지선상을 운동하는 물체는 커브를 이동하더라도 좌/우 쏠리는 느낌을 못받음)

*가우스곡률(Gaussian curvature) : 곡면의 주방향으로의 곡률들의 프레임틀 구성 행렬에서의 행렬식, 완벽정의는 사전참고(0일때 평면(아닌경우도 있음),  양일때 구면, 음일때 말안장면)

[혜도짱]

가우스 이름이 좋습니다...ㅎㅎㅎ

[lucky도도]

가우스라.... 제우스의 사촌쯤 될까요??? ^___________^ 근데 면상이 안뵙니당~