f(xy) = f(x) + f(y) (f(x)는 x>0 에서 미분 가능함)

[MC HK]

함수 f(x)는 다음 식을 만족한다.

f(xy) = f(x) + f(y)  (f(x)는 x>0 에서 미분 가능함)

f'(1) = 2 라면  f'(5) 의 값을 구하시오.

답 : 2/5

이 풀이가

1. 정의 

:: xy = x + h ; y = 1 + h/x  로 치환해서 푸는것.

2. 편미분

3. 로그함수로 지정해서 푸는것

그런데  제 풀이가 맞는지 봐주세요. 그냥 떠올라서 이렇게 풀었는데 답은 맞더군요 -_-;;

f(xy) = f(x) + f(y)

x=y 를 넣으면

f(x^2) = 2f(x)

양변을 미분하면

2xf'(x^2) = 2f'(x)

정리하면

f'(x^2) = f'(x) / x

x = 5^(1/2) 이라면

f'(5) = f'(5^(1/2)) / 5^(1/2)       -(1번)

x = 5^[(1/2)^2] 이라면

f'(5^(1/2)) = f'(5^[(1/2)^2]) / 5^[(1/2)^2]   -(2번)

.... x = 5^[(1/2)^n]  이라면

f(5^[(1/2)^(n-1)]) = f(5^[(1/2)^(n)]) / 5^[(1/2)^(n)]  -(n번)

 위 관계를 이용해 f'(5) 에 대해서 n번 정리하면

 f'(5) = [ f'(5^{(1/2)^n}) / 5^{(1/2)^1 + (1/2)^2 + (1/2)^3 + .... + (1/2)^n}

무한히 정리한다면

n -> ∞  이므로

f'(5) = f'(1) / 5^[ (1/2) / {1 - (1/2)} ]  = f'(1) / 5 = 2/5

?

[zeuszin]

저에게는 마땅한 오류가 안보이네요 ㅎㅎ

[문제풀이]

f'이 연속이라는 가정이 없으니까 마지막에 문제가 있는데요

[MC HK]

문제에 이계도함수가 존재한다고 써있는지 다시 봐야겠군요 ㅡ; f'이 연속인지 모르니까.. 맞네여.. 오류가.

[밝히리]

정확한 풀이는 아니지만........ 저라면 '어? 이건 f(x)가 지수함수네?' 라고 생각하고 f(x) = exp(ax) 이라고 놓고 a 값 구한 다음에 문제 풀어버립니다.

[푸른하늘]

지수가 아니라 로그...^^

[밝히리]

앗~~!! 그런가요? 실수~~ ㅋㅋ