Re:torsion group 의 잉여군은 torsion group 이다

[폭풍속으로]

A torsion group is a group all of whose elements have finite order.
☞ torsion group(비꼬임군) 은 모든 원소가 유한 유한위수를 갖는 군입니다.
그러면 당연하겠지만 유한군은 모두 torsion group 입니다.
또, 무한군 중에서도 torsion group 이 있는데요, 그 예가 Q/Z 입니다.
즉, Q/Z 는 무한군이면서도 모든 원소의 위수는 유한입니다.
실제로, m/n + Z 의 위수는 n 의 약수가 됩니다.

A group is torsion free if the identity is the only element of finite order.
☞ torsion free group(비꼬임이 없는 군) 은 항등원을 제외한 모든 원소의 위수가 무한인 군입니다.
항등원을 제외한 모든 원소의 위수가 무한이므로 torsion free group 은 무한군입니다.
당연하겠지만 항등원이 아닌 a 에 대하여 a 는 무한위수를 갖기 때문에 <a> 는 무한군이고
<a> 가 무한군이면 <a> 를 부분군으로 갖는 원래의 군은 무한군이 됩니다.
또, 당연하겠지만 유한군은 모두 torsion free group 이 아닙니다.
torsion free group 의 가장 간단한 예는 Z 입니다.

A student is asked to prove that it G is a torsion group, then so is G/H for every normal subgroup H of G.
☞ 학생이 증명해야 할 정리는 "torsion group 의 잉여군은 torsion group 이다" 입니다.

The student writes we must show tat each element of G/H is of finite order.
Let x∈G/H
☞ 그 학생은 torsion group 의 각 잉여군의 모든 원소가 유한위수를 갖는다는 보이기 위해서 "x∈G/H" 라고 증명을 시작하였습니다.

a. Why does the instructor reading this proof except to find nonsense from here on in the student"s paper?
☞ 학생의 증명을 본 교수는 학생의 증명이 틀렸다고 생각했는데 왜 그런가?
간단합니다. 잉여군 G/H 의 원소는 gH 의 형태입니다.
그런데 학생이 "x∈G/H" 라고 증명을 시작하였으므로 당연히 틀렸다고 생각한 것이죠.

b. What should the student have written?
☞ 그럼 그 학생은 어떻게 써야했는가?
a 번의 설명을 보시면 금방 아시겠죠?
네~! 맞습니다! "Let gH ∈ G/H be given" 이라고 증명을 시작해야 옳습니다.

c. Complete the proof.
☞ 증명을 완성하라는 얘깁니다.

[정리] G 가 torsion group 이고 H◁G 이면 G/H 도 torsion group 이다.

[증명] G 를 torsion group, H◁G 라고 가정합니다.
그러면 G/H 가 torsion group 임을 보이는 것이므로 G/H 의 모든 원소가 유한 위수를 갖음을 보입니다.

gH ∈G/H 라고 가정합니다.
그러면 당연하겠지만 g∈G 이고 G 가 torsion group 이므로 g 는 유한위수를 갖습니다.
그러면 적당한 자연수 n 에 대하여 gⁿ = e 입니다.
그러면 (gH)ⁿ = gⁿH = eH = H 입니다. 그러면 gH 의 위수는 n 의 약수입니다.
그러면 gH 는 유한위수를 갖습니다.
그러므로 G/H 는 torsion group 입니다.

[폭풍속으로]

[Mark True or False] Every factor group of a torsio-free group is torsion free?

[폭풍속으로]

[답] 거짓! 가장 대표적인 torsio-free group 은 Z 입니다. Z 는 가환군이므로 모든 부분군이 정규부분군입니다. 임의의 Z 의 부분군 nZ 에 대하여 Z/nZ ~ Z_n 입니다. 그러면 Z 의 모든 잉여군은 유한군이 됩니다. 그런데 유한군은 torsion-free 가 아니고 torsion 입니다. 그러므로 위의 명제는 거짓입니다.