금년초 SIAM(Society for Industrial and Applied Mathematics) 에서 언급되었듯이 과학의 모든 분야의 발달로 인하여 수학의 전분야가 응용된다고 하는 이야기는 시사하는 바가 크다. 특히, 컴퓨터의 발전과 더불어 수학의 많은 분야가 급속하게 다른 학문에 응용되고 있다. 한편, 대수학, 조합론 등은 정보통신분야의 주이론인 부호이론과 현대암호학의 학문적인 기초를 제공하고 있다.
대수학의 응용에 관한 분야를 논하려면 먼저 대수학이 포함하는 범위를 어떻게 정의하느냐에 달렸지만, 1984년에 출간된 R.Lidl 과 G. Pilz 의 저서 "Applied Abstract Algebra"의 내용을 살펴 보면 다음과 같다.
- Boole 대수와 응용으로서 Lattice 이론과 그외 응용으로 Switching circuits propositional logic 에의 응용.
- 유한체의 응용으로서 부호이론(Coding Theory)
- 유한체 및 군론을 이용한 암호이론(Cryptography)
- 반군을 응용한 언어의 문법연구에의 접근 및 사회학 분야의 가계족보 및 Social Net
이 글에서는 최근 정보화시대를 맞이하여 모든 분야에서 논의되고 있는 정보의 전달 및 정보의 보호와 대수학의 관계에 관하여 설명하고, 학부수준의 Algebra(Introduction) 또는 Abstract Algebra 라는 서명으로 출간된 도서에 이들 응용분야가 얼마나 비중있게 다루어지고 있는가를 알아 본다.
1948년 Shannon 의 논문 "A Mathematical Theory of Communication" 에 의하여 구체적으로 연구되기 시작한 부호이론은 군론과 체론등을 이용하여 급속하게 발전하여 왔으며, 기원전부터 주로 군대(military)에서 이용하고 특히, 전시(戰時)에 발전하여온 암호학은 20세기 이후 정수론, 군론 및 체론 등을 이용하여 급속하게 발전하여 왔다. 또한 이들은 오늘날 정보화시대를 맞이하여 사회의 모든 분야에서 널리 이용되고 있는 실정이다.
정보보호이론의 이론적 배경인 암호학에 관한 이야기는 금년 7월 뉴스레터에 한국과학기술원의 한상근교수가 자세하게 소개를 했기에 생략하기로 하고 부호이론에 관한 이야기를 간단하게 소개하면 다음과 같다.
1948년 Shannon 에 의한 부호이론의 출현이후에 소음, 기후, 온도 및 기타 악조건에서 디지탈 정보가 효과적으로 잘 전달될 수 있는 오류수정부호에 관하여 많은 연구가 이루어지고 또한 그 이론이 응용되기 시작하였다.
1965년 무인우주선 Mariner 4호가 화성을 탐사하고 화성의 사진을 전송할 때에는 사진의 명암에 따라 64등급으로 나누어 부호화하여 같은 부호어를 22회 전송함으로써 오류를 없애려 노력한 반면에 1972년 Mariner 9호를 발사할 때에 오류를 수정할 수 있는 부호를 이용하게 되도록 발전하였으며, 1976년 Viking 1호에 의하여 컬러 사진을 전송 받을 수 있을 만큼 발전하였다.
이러한 부호이론의 기본원리는 필요한 전문(message)과 집합 (Z_q)^n 의 부분집합의 원소를 일대일대응시키는 방법에서 시작된다(단, q 와 n 은 자연수).
이때에 원소를 부호어(codeword)라 하고 부분집합을 길이가 n인 q진 부호(code)라 한다. 특히 q = 2 인 경우가 많이 이용되는 이진부호라 한다.
원래 q 와 n`에 대한 제약은 없으나 부호이론의 주요문제인 전송속도를 위하여 부호의 길이는 가급적 짧고, 오류를 많이 수정할 수 있는 효과적인 오류수정부호(error correcting code)를 디자인하기 위하여 대수학의 이론이 응용되도록 제한하게 된다.
주로 q 는 소수의 멱을 이용하고 부호는 벡터공간의 부분공간으로 하는 선형부호를 연구함으로써 체론의 지식을 응용하게 되며 오류수정을 위하여 조합론 및 확률론 등의 지식이 응용된다.
과거에 출간된 학부용 대수학 교재들은 이러한 응용의 측면은 다루지 않고 있으나 최근 출간된 교재에는 저자들의 취향에 따라 차이는 있지만 앞에서 소개한 응용분야의 내용들을 다루기 시작했다. 최근 출간된 몇권의 서적을 소개하면 다음과 같다.
- J. A. Gallion, Contemporary Abstract Algebra, D.C. Heath and Company, 1986 :
다음과 같은 응용분야를 대략 80 여쪽을 할애하고 있다.
정이면체군을 응용한 Zip Code Reader의 설계
Frieze Groups and Crystallograph Groups.
Cayley Digraphs (Graphs of Groups)
대수적 부호이론
Boole 대수를 응용한 The Algebra of Electric Circuits Logic
- Hungerford, Abstact Algebra(An Introduction), Saunders' College Publishing, 1990 :
소수판정법을 응용한 비밀암호계(Private Key Cryptosystem) 및 공개열쇠 암호계(Public Key Cryptosystem) 의 대표적인 예들 중에 하나인 RSA 암호계에 관한 언급과 아울러 PART 3 에
공개열쇠 암호계와 중국인의 나머지정리(Chinese Remainder Theorem)
Lattice 와 Boole 대수
대수적 부호이론(Algebraic Coding Theory)
등에 관하여 대략 100여쪽에 가깝게 할애하고 있다.
- C.C. Pinter, A book of abstract algebra(2nd ed.), McGraw-Hill International Book Company, 1990 :
군론과 부호이론
Finite state machines
Automata
군론과 인류학
- J.B Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra, Addision Wesley(5th edition), 1994 :
제 4판까지 다루지 않던 응용분야를 다음과 같이 다루고 있다.
순회군(Cyclic Group) 에서 Cayley Digraphs 를 소개
대칭군(Symmetric Group) 과 Automata, Plane Isometry
이진선형부호(Binary Linear Code), 정보의 전달체계 및 Error 수정법(Parity Check 행렬복호 및 오증을 이용한 잉여류 복호)
- T.W. Jadson, Algebra, International Thomson Publishing, 1994 :
다음과 같은 응용분야를 60여 쪽을 할애하고 있다.
비밀열쇠 암호와 공개열쇠 암호
대수적 부호이론
Lattice와 Boole 대수를 응용한 The Algebra of Electric Circuits Logic
한편, 국내의 실정을 보면, 김응태교수와 박승안교수가 저술한 정수론에서 공개열쇠 암호계를 소개해왔고 교재용 대수학 서적으로는 현재까지는 이들 응용분야를 다룬 서적은 없고, 수정본을 출간하는 경우와 집필중에 있는 교재는 부호이론 및 암호이론에 관한 내용을 포함시키는 추세에 있다.
논단[제49호]
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