카오스 이론의 수학적 원리는 다양한 수학 분야에서 비롯됩니다. 카오스 이론에서 일반적으로 사용되는 수학적 도구로는 미분방정식, 상태공간, 궤도, 민감도의 개념 등이 있습니다.
카오스 이론에서는 미분방정식이 이용됩니다. 미분방정식은 대부분 현상의 연속성을 나타내며, 시간에 따른 종류와 성질이 다양한 현상을 모델링할 때 사용됩니다. 카오스 이론에서 시간에 따라 변화하는 기하학적 구성요소인 궤도 때문에 상태 공간이 사용됩니다. 궤도란 어떤 상태가 시간에 따라 어떻게 변화하는지 나타내는 조건을 모은 것으로 생각할 수 있습니다.
또한 궤도의 변화율이 상태공간에서 민감하게 의존하는 민감도의 개념도 중요합니다. 상대적으로 작은 궤도는 그 양상을 변경하고 예측에서 심각한 최종 영향력을 가질 수 있기 때문입니다. 프랙털, 즉 반복되는 도형의 패턴을 이용하는 것도 카오스 이론에서 대표적인 수학적 도구입니다.
많은 경우, 카오스 이론에서는 이러한 개념들을 모델링하고 숫자 및 컴퓨터 시뮬레이션을 사용하여 예측을 시도합니다. 이러한 숫자 및 컴퓨터 시뮬레이션을 통해, 우리는 미래에 시스템이 어떻게 행동할지에 대한 일부 정보를 얻을 수 있습니다. 이러한 예측은 초기 조건과 광범위한 조건에 따라 유효하지 않을 수 있지만, 수많은 응용 분야에서 카오스 이론이 결과적으로 실질적으로 사용되고 있습니다.