무한의 세계-힐베르트 호텔

[귀뚜라미]

아무리 많은 분이 오셔도 좋습니다. 항상 방은 준비되어 있습니다.
                                                                                      - 힐베르트 호텔 -


이 안내문은 우주의 한 쪽에 자리잡은 '힐베르트 호텔'의 광고 문구이다. 이 호텔에는 자연수 만큼의 객실이 준비되어 있는데,위 안내문 처럼 언제 어느 때라도 숙박이 가능하다는 편리함 때문에 온 우주에 소문이 자자했다고 한다.

어느 날 이호텔 사장은 그비결에 대하여 다음과 같이 설명했다.
"비결은 따로 없습니다. 모든 객실이 가득 찼는데, 신혼부부 한 쌍이 방문 한다면 저는 손님들에게 자기 객실의 번호보다 하나 큰 번호의 객실로 옮겨달라고 부탁합니다. 이렇게 하면 아무리 가득차게 되어도 1호실은 비게 되죠. 그러면 신혼부부는 1호실에 묵으면 됩니다. 만일 자연수 만큼 많은 무한의 사람들이 몰려들면 또 이렇게 하면 되죠.
객실 손님들에게 자기 객실 번호의 두배가 되는 객실로 옮겨 달라고 부탁합니다. 그러면 모든 손님들은 짝수 번호의 객실로 옮기게 되고, 홀수 번호의 객실은 비게 됩니다. 그런 다음 새로온 손님들 중 첫 번째 사람은 1호실, 두 번째 사람은 3호실,.........., n번째 사람은 (2n-1)호실, ...이렇게 정해주면 방이 부족할 수가 없습니다."
이 이야기는 무한의 세계에서 일어날 수 있는 가상천외한 일에 대해서 독일의 수학자 힐베르트 (David Hilbert ; 1862~ 1942)가 만들어 낸 예입니다.