(AB)C=A(BC) 를 증명할 때, A(mxn) B(nxl) C(lxp) 행렬꼴로 만들고, AB=X , BC=Y 로 둔 뒤, XC 행렬과 AY 행렬의 x,y 성분을 서로 비교해서 같음을 가지고 증명했습니다. 이와 비슷한 방법으로 n개의행렬의곱에서의 결합법칙도 귀납적방법으로 증명가능한지 궁금합니다.
3번은 사실 행렬의 역행렬을 산술적으로 계산할 수 있고 역행렬의 존재성은 결국 det A =0 과 동치가 됩니다. ( det A =0 이면 역행렬이 존재하지 않고 아닌경우에는 항상 존재하고 계산할 수 있음.) 게다가 판별식의 산술성( detAB=detA x detB)에 의해서 AX=E가 벌써 A의 역행렬의 존재성을 입증한다고 할 수 있습니다. AX=E에서 A의 역행렬이 존재한다는 것을 확인했고 좌측 역행렬 X' 이 존재한다고 가정하면 (X'A=E=AX) X'=X'E=X'AX=EX=X 가 되어서 X'=X가 됨을 확인 할 수 있습니다.
집에컴퓨터가없어서 어제 오락실에서 20분안에 빨리 답변남기느라, 5초남기고 질문을 다적어서 질문올리기전 질문확인을 제대로해야는데, 못했네요. 질문 엉터리인점 죄송합니다^^. 제가궁금했던점은 처음명제가 "이고" 에서 and 의 뜻인데, 이것의 대우에선 "이고"를 님이답변달아주신것처럼 "이거나" 의 or로 바꾸꿀 때, A^2-A=0 이 아니거나, A=E 의 둘중 하나만 만족해야하는지 둘 다 만족해야하는지 그 개념이 햇갈렸었습니다. and 는 교집합의 의미이고 or 은합집합의 의미잖아요. 근데, A^2-A=0 이 아니다가 곧 A=E가 아니다가되서, 그게 햇갈렷습니다.
첫댓글 1번은 3개에 대한 결합법칙만 있으면 가능합니다. 네개의 예를 가지고 한번 생각해보세요. 세개의 결합법칙만으로 네개에서 나올 수 있는 모든 연산순서들의 결과가 다 같다는 것을 알 수 있습니다.
님, 이건 이해가안되네요. 1번가지고 제가 생각할수있는건 (AB)C=A(BC), AB=X, BC=Y 로 두었을 때, XC=AY= 같다. 즉 행렬 ex) (ABCD)E=A(BCDE) , (ABC)DE=AB(CDE) 등, 행렬여러개의곱을 2개로묶은것밖에까지밖에 이해가안됩니다. A(BC)DE = AB(CDE) 이런건 어떻게 유도되는지 궁금합니다.
(AB)C=A(BC) 를 증명할 때, A(mxn) B(nxl) C(lxp) 행렬꼴로 만들고, AB=X , BC=Y 로 둔 뒤, XC 행렬과 AY 행렬의 x,y 성분을 서로 비교해서 같음을 가지고 증명했습니다. 이와 비슷한 방법으로 n개의행렬의곱에서의 결합법칙도 귀납적방법으로 증명가능한지 궁금합니다.
사실 이 질문에 대해서는 지금 당장 더 깊이 대답해줄수가 없는게 박지용학생이 결합법칙의 의미를 제대로 이해하고 있는것 같지 않네요. 결합법칙이란 도대체 무엇인가에 대해서 다시 한번 생각해보고나서 질문을 명확하게해오기 바랍니다. 그래야 제대로 대답해줄 수 있겠죠.
2번은 x가 0이거나 아닌 경우를 나눠서 생각해보면 앞의 Caley-Hamilton 공식에 다름없다는 것을 알 수 있습니다.
이건 집에가서 해보고 다시질문 올리겠습니다. 저는 xA^2+yA+zE=0 을 만족하는 x,y,z 를 직접 성분으로바꿔서 존재함을 알보려했는데 x=0 인지 나누는게 훨신 낫겟군요.
3번은 사실 행렬의 역행렬을 산술적으로 계산할 수 있고 역행렬의 존재성은 결국 det A =0 과 동치가 됩니다. ( det A =0 이면 역행렬이 존재하지 않고 아닌경우에는 항상 존재하고 계산할 수 있음.) 게다가 판별식의 산술성( detAB=detA x detB)에 의해서 AX=E가 벌써 A의 역행렬의 존재성을 입증한다고 할 수 있습니다. AX=E에서 A의 역행렬이 존재한다는 것을 확인했고 좌측 역행렬 X' 이 존재한다고 가정하면 (X'A=E=AX) X'=X'E=X'AX=EX=X 가 되어서 X'=X가 됨을 확인 할 수 있습니다.
오늘 답변확인전 역행렬에서 D의 개념을 알았습니다^^ 하루만 일찍알아더라면.. 매우 유용하군요 ^^;; 답변 감사합니다
4번은 대우가 좀 잘못되었는데 "A의 역행렬이 존재한다면 A^2 - A ≠0 이거나 A=E" 가 됩니다. 이 명제는 너무 당연한 명제인데 가정에서 A의 역행렬이 존재한다고 가정했으므로 결론의 A^2 - A ≠ 0 조건은 사실 A-E≠0이 되어버리죠.
집에컴퓨터가없어서 어제 오락실에서 20분안에 빨리 답변남기느라, 5초남기고 질문을 다적어서 질문올리기전 질문확인을 제대로해야는데, 못했네요. 질문 엉터리인점 죄송합니다^^. 제가궁금했던점은 처음명제가 "이고" 에서 and 의 뜻인데, 이것의 대우에선 "이고"를 님이답변달아주신것처럼 "이거나" 의 or로 바꾸꿀 때, A^2-A=0 이 아니거나, A=E 의 둘중 하나만 만족해야하는지 둘 다 만족해야하는지 그 개념이 햇갈렸었습니다. and 는 교집합의 의미이고 or 은합집합의 의미잖아요. 근데, A^2-A=0 이 아니다가 곧 A=E가 아니다가되서, 그게 햇갈렷습니다.
5번은 판별식을 이용하면 되겠군요. A^2의 역행렬이 존재함으로 det A^2 ≠ 0 이고 0 ≠ detA^2 = (det A)^2 이므로 det A ≠ 0 이 되어서 A의 역행렬이 존재하게됩니다.
네^^
모든 답은 고등학교 과정에서의 해답을 가정했습니다. 혹시 그이상의 수준의 답을 원한다면 다시 답글을 남겨주기 바랍니다.
고등학교 과정 그 이상의 수준답변이 님이판단하에 도움되는거라면 메일로 보내주시면 감사하겠습니다. 개인적으로 저는 수학을 깊게공부하는걸 선호하는편이라 고등학교(~심화미적) 범위안에서 이해가능한 개념이라면 꼭좀 부탁드립니다.^^
수학을 전공하지 않는 이상 대학과정이라고해서 이 이상의 해답을 요구할 것같지는 않습니다. 스스로 다시 한번 곰곰히 생각해보기 바랍니다. 남이 설명해주는것과 자기가 이해한게 항상 같지는 않으니까 말이죠.