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a < y < b a ≤ y < b a < y ≤ b a ≤ y ≤ b |
각각을 만족하는
정수 y의 갯수는 어떻게 될까요?
공식은 다음과 같습니다.
위 각각의 부등식을
다음과 같이 표현하면...
a LB y UB b (왼쪽 작은쪽 경계 기호 LB는 '<' 혹은 '≤') (오른쪽 큰쪽 경계 기호 UB는 '<' 혹은 '≤') |
그러면
다음과 같이
두 정수값을 경계값으로 가지는
부등식으로 전환할 수 있으므로...
[정수의 경계 공식]
왼쪽 경계:
<a> : 천정함수 (a 이상의 정수 중 최소정수)
IF(a∈Z): a가 정수이면 1, 그렇지 않으면 0
δ(LB, <): 왼쪽 경계(LB) 기호가 '<' 이면 1, 그렇지 않으면 0
오른쪽 경계:
[b]: 바닥함수 (b 이하의 정수 중 최대정수)
IF(b∈Z): b가 정수이면 1, 그렇지 않으면 0
δ(UB, <): 오른쪽 경계(UB) 기호가 '<' 이면 1, 그렇지 않으면 0
결국
정수 y의 갯수 공식 N(y)는
다음과 같습니다.
자연수 n에 대하여
부등식
x ≤ y < x + n
만족하는 정수 y의 갯수는
n(개)
증명:
① x가 정수라면...
② x가 정수가 아니라면...
자연수 n에 대하여
부등식
x < y ≤ x + n
만족하는 정수 y의 갯수는
n(개)
증명:
① x가 정수라면...
② x가 정수가 아니라면...
정수의 유일성 정리
위의 결과에 의하면...
특수한 경우로
n=1일 때
다음이 성립합니다.
임의의 실수 x에 대하여 부등식 x ≤ y < x + 1 만족하는 정수 y는 오직 1개 존재함. |
임의의 실수 x에 대하여 부등식 x < y ≤ x + 1 만족하는 정수 y는 오직 1개 존재함. |
첫댓글 양쪽 경계의 차이가 1이고
등호 기호가 한쪽 경계에만 들어가 있는 경우에...
정수는 1개만 존재합니다.
x ≤ y < x + 1 : 정수 y는 1개 존재
x < y ≤ x + 1 : 정수 y는 1개 존재
위 사실은
나눗셈 관련 각종 공식을 증명할 때
중요한 역할을 하게 됩니다.