수학적 귀납법은 도미노 넘어뜨리기?

[귀뚜라미]

수학적 귀납법의 논법은 '출발점이 성립되어 있고 k번째가 성립할 때, k+1번째도 성립한다는 것을 보여 주면 모든 자연수 n에 대하여 성립한다.'는 것이다. 이는 도미노에서 하나가 넘어지면 다음 것도 넘어지므로 처음 것을 넘어뜨리면 무한히 넘어지는 것과 유사하다.
수학적 귀납법에서 엉터리인 것도 있는 것은 'k번째가 성립할 때, k+1번째도 성립한다'는 것을 적당히 넘어갔기 때문이다. 엉터리 수학적 귀납법의 예를 보면
                                   무한히 숨쉬지 않을 수 있다.


(증명) 먼저 누구라도 1초 동안 숨을 멈출 수 있다.
         다음에, k초 동안 숨을 멈추었을 때 1초 더 숨을 멈출 수 있다. 따라서, k+1초
         동안 숨을 멈출 수 있다.
         위에 의하여 임의의 자연수 n에 대하여 누구라도 n초 동안 숨을 멈출 수 있다.
(끝)


여기에는 숨을 참는데도 한계가 있다는 점을 감안하지 않았다. 즉, 한계값을 감안하지 않고, 적당히 얼버무리면 엉터리 수학적 귀납법이 된다. 수학에서 정의를 엄밀하게 하는 것은 이러한 잘못을 저지르지 않기 위함이다.