나눗셈 나머지, 빨리 구하는 방법은?

[옥건수]

개념쏙쏙! 수학

나눗셈 나머지, 빨리 구하는 방법은?

20014, 만·천·백의 자리 수 제외하고 '14'만 4로 나눠도 나머지 알 수 있어요
3으로 나눈 나머지 쉽게 구하려면 각 자리 숫자 모두 더해 3으로 나눠요
다양한 연산법 찾으면 수학 더 재밌죠                                

"삼촌! 2014년은 저처럼 운동을 좋아하는 사람에게는 축복받은 해인 것 같아요. 소치 동계 올림픽에 이어 브라질월드컵 축구대회가 열렸는데, 오는 9월에는 인천 아시안게임까지 개최되잖아요."

"그래. 올해는 유독 굵직한 국제 스포츠 이벤트가 많이 열리지. 그런데 민국아, 올림픽과 월드컵 축구대회, 아시안게임에 어떤 공통점이 있는지 아니?"

"공통점이요? 음…. 우선 모두 각 나라를 대표하는 선수들이 출전해 실력을 겨루는 대회예요. 또 4년마다 열린다는 공통점도 있어요."

"그래, 맞아. 올림픽과 월드컵 축구대회, 아시안게임은 모두 4년마다 열린단다. 그래서 4년 후인 2018년에도 이 세 대회가 동시에 열리지."

"삼촌! 세 개 대회가 동시에 열리는 해는 2014년, 2018년, 2022년…. 지금 생각해 보니, 모두 4의 배수에 2를 더한 해가 되네요?"

"역시 민국이는 똑똑하구나! 하나를 알려 주면 열을 깨닫네. 그럼 민국아, 아주 먼 20014년에도 세 대회가 함께 열릴까?"

▲ /그림=이창우

"삼촌! 잠깐만 시간을 주세요. 나눗셈을 해봐야 하니까요. 20014를 4로 나누면 몫이…."

"물론 나눗셈을 하면 답을 알 수 있지만, 20014를 4로 나누지 않고도 간단하게 알 수 있는 방법이 있단다."

"네? 정말요?"

"그럼! 삼촌이 알기 쉽게 설명해 줄게. 우선 100을 4씩 묶으면 어떻게 되지?"

"25묶음이 나오고, 나머지는 0이 돼요."

"맞았어. 그럼 '200'도 '100+100'이니까, 4씩 묶었을 때 나머지가 0이 되겠지?"

"네. 그러면 '300, 400…' 같은 숫자도 마찬가지겠군요."

"그래 맞아. '1000, 10000…'도 같은 방법으로 4씩 묶으면 나머지가 0이 된단다."

"아하! 알겠어요. '20014'는 '20000+14'인데, '20000'은 보나 마나 4로 나눴을 때 나머지가 0이 되니까, '14'만 4로 나누어보면 알 수 있다는 뜻이군요? 14를 4로 나누면 나머지가 2이니까, 20014를 4로 나누었을 때의 나머지도 2가 되겠네요!"

"그래, 잘 맞혔어. 이처럼 어떤 수를 4로 나누었을 때 나머지는 백의 자리, 천의 자리, 만의 자리 등을 제외하고, 마지막 두 개 자리의 수를 4로 나누어보면 쉽게 알 수 있단다."

"와~ 정말 신기해요. 삼촌, 그러면 4 말고 다른 숫자도 나머지를 쉽게 알 수 있는 방법이 있나요?"

"그야 물론이지. 2나 5 같은 수는 4와 같은 원리로 맨 마지막 두 개 자릿수만 보고도 쉽게 나머지를 알 수 있어. 그런데 3은 방법이 조금 다르단다. 10을 3씩 묶고, 또 100을 3씩 묶으면 어떻게 될지 생각해 보렴."

▲ /그림=이창우

"네, 삼촌. 10을 3씩 묶으면, 3묶음이 나오고 1이 남아요. 20을 3씩 묶으면, 6묶음이 나오고 2가 남고요. 100은 '90+10'이니까 1이 남네요. 200은 2가 남을 거예요. 1000도 '990+10'이니까 1이 남아요. 아, 방법을 찾았어요! 20014는 '20000+10+4'니까 20000을 3씩 묶으면 2가 남고, 10은 1이 남고, 일의 자리 숫자 4가 남아요. 그러니까 20014를 3씩 묶으면 '2+1+4', 즉 7이 남겠군요. 아, 그런데 7을 또 3씩 묶으면 1이 남으니까, 20014를 3으로 나누면 나머지가 1이 돼요!"

"역시 우리 민국이는 대단한걸. 그런데 '20014'란 수를 잘 살펴보렴. 각 자리의 숫자를 더하면 몇이지?"

"네? 그거야 당연히 7(=2+1+4)이지요. 어라? 아까 제가 계산한 것과 같네요?"

"그렇단다. 즉, 어떤 수를 3으로 나누었을 때의 나머지는 각 자리의 숫자를 모두 더한 다음, 그 수를 3으로 나눈 나머지와 같아. 9로 나누었을 때의 나머지도 3과 같은 방법으로 해결할 수 있단다."

"우아~ 정말 신기해요!"

"그렇지? 이처럼 우리가 어떤 연산을 할 때 조금만 창의적으로 생각해 보면, 더 효율적인 방법을 찾을 수 있단다. 위대한 수학자인 가우스가 어린 시절 '1+100=101, 2+99=101, 3+98=101…'을 발견하여 '1부터 100까지의 합은 101×50과 같다'는 사실을 알아낸 것처럼 말이야."

"네, 맞아요. 삼촌, 저도 저만의 효율적인 연산 방법을 찾아봐야겠어요. 혹시 알아요? 제가 미래의 가우스가 될지?"

"하하. 우리 민국이의 미래가 기대되는걸?"


[관련 교과] 5학년 1학기 '약수와 배수'


[함께 생각해봐요]

123456789를 4로 나누었을 때와 3으로 나누었을 때의 나머지는 각각 얼마인가요?

해설: ‘89÷4’의 나머지가 1이므로, 123456789를 4로 나눴을 때의 나머지도 1이 돼요. 또 123456789의 각 자리 숫자를 모두 더하면 45, 45를 3으로 나누면 나머지가 0이 됩니다. 즉, 123456789를 3으로 나눈 나머지도 0이 되지요.