함수 p가 p(x) = a_n x^n + a_n-1 x^n-1 + ... + a_1 x + a_0 형태이면 다항함수(polynomial)라고 한다. 여기서 n은 음이 아닌 정수이고, 계수 a_0, a_1, ..., a_n 은 실수이다.(다항식의 계수라고 부른다.) 모든 다항함수는 정의역을 (-∞, ∞)로 갖는다. 다항함수 내에서 a_n ≠ 0 인 가장 큰 양수 n을 다항함수의 차수(degree)라 한다. <Thomas' Calculus>
하지만 다항함수가 a_n(x - α_n)(x - α_n-1)...(x - α_1) = 0 으로 α_k (k = 1, 2, ..., n) 가 모두 실수로 예쁘게 인수분해 된다는 말은 보장하지 못하죠. 보통 인수분해는 실계수 범위까지만 하니까 x² + x + 1 같은게 나오면 더 이상 인수분해 하지 않고 그대로 냅두는 까닭이 그것입니다.
한편, 근과 계수와의 관계를 a_n x^n + a_n-1 x^n-1 + ... + a_1 x + a_0 = 0 일 때 접목시키자면, 모든 근의 합인 -a_n-1/a_n과 모든 근의 곱이 (-1)^n a_0/a_n 에서처럼 모든 근의 합과 모든 근의 곱이 동시에 실수가 나오기 위해선 설령 허근을 갖더라도 켤레꼴로 2N쌍씩 가져야 함을 알 수 있습니다. 님처럼 대수적으로 접근해서 따지고자 할 때는요..
제가 풀때는 님처럼 안나오고, f(x) = a(x - k)³(x - ㅁ) 요런 형태로 일단 사차함수가 (x - k)³을 인수로(삼중근으로) 갖는다는 것이 확정되었고, 나머지 하나의 근 ㅁ는 사차방정식의 계수가 모두 실수가 나오기 위해서 ㅁ는 당연히 실수여야 한다고 나오던데,
꼭 삼중근이여야 한다는 말은 아니였습니다. 가능한 사차함수 그래프들의 여러가지 상황을 고려하되, 전체적으로 사차함수가 실계수만 갖도록 하기 위해서 (실수인) 삼중근을 갖는 경우에 나머지 하나의 근은 무조건 실근을 가져야 한다는 말이였습니다. x, y 모두 실수축인데 실수가 아닌 복소수가 계수로 포함되어 있다면 xy직교좌표계에 그릴 수가 없죠..
암튼 요약하자면 1. 접하는 점에서의 인수를 제곱으로 갖는다. 2. 다항함수는 실계수이다. 라는 평가원 기출문제들에서 여러번 반복되었던 개념을 실전에서 적용 시키지 못한 점과, 3. 작년 6월에서 4차함수 문제 풀 때의 마인드처럼 가능한 그래프들을 다 그려보고 따져보면 모든 상황이 깔끔하게 맞아 떨어지는데 그러한 방법도 생각하지 못하신 점..이 이러한 고민을 하신 이유가 되겠네요.
와우! 우선 긴 답변 정말정말 감사드립니다^^ 반례는 제가 수식 쓸때 맨 위에껄 복사해서 붙이다가 오류가 좀 있었네요..f(x)=(x+1)(x-1)²(x-i)라 두면 되겠네요.. 떼루님께서 다항함수의 정의를 써주셨는데 그 정의는 R->R인 실함수가 되도록 교수학적변환이 된 정의니 이정의는 실함수만 다루는 고교과정에 맞는 정의겠지요. 근데 문제는 왜 다항함수가 되느냐??이거에 물음표를 던지는 것입니다~
그래프에 기반한 풀이를 염두에 두고 낸 문제인데, 아무 말이 없더라도 실함수가 나온다 하고 그려야죠. 사차방정식의 일반형이 ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 (단, a≠0, a, b, c, d, e는 실수) 아녔던가요+_+? 그리고 복소계수 형태를 띄는 경우는 보통 근과 계수와의 관계 관련한 문제에서 켤레근의 성질을 설명하기 위한거구요, 님 말도 맞습니다만, 일단 문제의 조건과 ㄴ의 가정에서 (x - α)² 이나 (x - β)² 를 인수로 갖는다는걸 과연 지금도 인식하고 계신지 의문이 드네요, 요게 핵심인데;
문제는 "4차방정식 f(x)=0"이라는 조건으로부터 f(x)가 4차 다항함수(R->R)라는 결론은 얻는 이부분에 대한 이유가 궁금한거죠.. 제가 볼때는 미분계수가 나온 상황이니 R->R인 다항함수의 미분법에 대해 다루고 있는 고교과정에 있어 f가 다항함수였으니 미분했을것이다.. 라는 추측을해볼수있는듯한데..미분얘기가 없었다면 어떻게 되었나 싶네요..
미분계수 이야기가 나오지 않았더라도 n차 방정식이라는 말에서 바로 실계수 n차임을 파악하시면 됩니다, 적어도 수능 수리영역에서는요.. 다항함수라는 조건만 있다면 모든 실수에 대하여 연속이고, 미분 가능하다는 점을 마음껏 적용해서 풀 수 있으니까요. 마치 미로에서 다음 갈림길에서 어떻게 판단해야 할지 알려주는 중요한 정보인데, 그 정보 자체에 의문을 품으시면 좋든 싫든 일단 이미 들어온 미로에서 길을 잃어버리게 되겠죠;;
수리 영역 시험은 시험 출제 범위에 따라 '가'형과 '나'형으로 구분되며, 각 시험의 평가 목표의 내용 영역은 시험 출제 범위에 속하는 교과목의 내용으로 한다. 수리 '가'형의 출제 범위는 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 선택과목(미분과 적분, 확률과 통계, 이산수학 중 택1)이고, 수리 ' 나'형의 출제 범위는 수학Ⅰ이다.
단, 국민공통기본교육과정(1단계부터 10단계까지)에 속하 는 내용은 시험 출제 범위에 속하는 내용과 통합하여 출제할 수 있으며, 수리 ‘가’형의 선택 과목 문항도 국민공통기본교육과정의 내용뿐만 아니라 수학Ⅰ, 수학Ⅱ의 내용과 통합하여 출제할 수 있다. 평가 목표의 내용 영역은 각 교과목의 교과서 대단원명을 기준으로 세분된다.
──────────────────────────────────────────── 아 그리고 님 말마따나 복소계수도 허용한다고 가정합시다. 그러면 눈으로만 풀리는 문제로 전락하지 않겠습니까, 명색이 4점짜린데; 출제자의 의도는 가능한 그래프들을 다 그려보고 만족하는 상황을 찾길 요구하고 물어본 것입니다.
아이시떼루님 정말정말 관심 감사합니다!! 떼루님께서 말하고자하는 바는 알겠습니다. 하지만 줄이고 줄인 고교수학일지라도 수학은 빈틈이 없어야 한다고 생각합니다. 적어도 수능을 주관하는 평가원의 문제치고는 조건의 미흡합이 있다고 생각합니다. 근데 정말 궁금한것중에 하나가 중고과정에서는 계수가 허수인 방정식을 다루는 것이 불가한가..?라는 의문이 있네요
첫댓글 다항함수는 a_n x^n + a_n-1 x^n-1 + ... + a_1 x + a_0 (a_n≠0, a_i 는 실수, i = 0, 1, 2, ..., n) 입니다.
함수 p가 p(x) = a_n x^n + a_n-1 x^n-1 + ... + a_1 x + a_0 형태이면 다항함수(polynomial)라고 한다. 여기서 n은 음이 아닌 정수이고, 계수 a_0, a_1, ..., a_n 은 실수이다.(다항식의 계수라고 부른다.) 모든 다항함수는 정의역을 (-∞, ∞)로 갖는다. 다항함수 내에서 a_n ≠ 0 인 가장 큰 양수 n을 다항함수의 차수(degree)라 한다. <Thomas' Calculus>
하지만 다항함수가 a_n(x - α_n)(x - α_n-1)...(x - α_1) = 0 으로 α_k (k = 1, 2, ..., n) 가 모두 실수로 예쁘게 인수분해 된다는 말은 보장하지 못하죠. 보통 인수분해는 실계수 범위까지만 하니까 x² + x + 1 같은게 나오면 더 이상 인수분해 하지 않고 그대로 냅두는 까닭이 그것입니다.
한편, 근과 계수와의 관계를 a_n x^n + a_n-1 x^n-1 + ... + a_1 x + a_0 = 0 일 때 접목시키자면, 모든 근의 합인 -a_n-1/a_n과 모든 근의 곱이 (-1)^n a_0/a_n 에서처럼 모든 근의 합과 모든 근의 곱이 동시에 실수가 나오기 위해선 설령 허근을 갖더라도 켤레꼴로 2N쌍씩 가져야 함을 알 수 있습니다. 님처럼 대수적으로 접근해서 따지고자 할 때는요..
제가 풀때는 님처럼 안나오고, f(x) = a(x - k)³(x - ㅁ) 요런 형태로 일단 사차함수가 (x - k)³을 인수로(삼중근으로) 갖는다는 것이 확정되었고, 나머지 하나의 근 ㅁ는 사차방정식의 계수가 모두 실수가 나오기 위해서 ㅁ는 당연히 실수여야 한다고 나오던데,
꼭 삼중근일 필요는 없는것 같은데..이유가 궁금하네요..^^
꼭 삼중근이여야 한다는 말은 아니였습니다. 가능한 사차함수 그래프들의 여러가지 상황을 고려하되, 전체적으로 사차함수가 실계수만 갖도록 하기 위해서 (실수인) 삼중근을 갖는 경우에 나머지 하나의 근은 무조건 실근을 가져야 한다는 말이였습니다. x, y 모두 실수축인데 실수가 아닌 복소수가 계수로 포함되어 있다면 xy직교좌표계에 그릴 수가 없죠..
님은 일단 ㄴ에서 반례도 잘못 드셨네요..a 문제의 조건을 잘 읽어보면 사차함수와 x축과의 교점(사차방정식의 근)에서 접선의 기울기가 0이 되는 상황에선 접선에서의 x좌표 k에 대하여 f(x)가 (x - k)²을 인수로 가져야 한다는 사실도 간과하셨네요..
암튼 요약하자면 1. 접하는 점에서의 인수를 제곱으로 갖는다. 2. 다항함수는 실계수이다. 라는 평가원 기출문제들에서 여러번 반복되었던 개념을 실전에서 적용 시키지 못한 점과, 3. 작년 6월에서 4차함수 문제 풀 때의 마인드처럼 가능한 그래프들을 다 그려보고 따져보면 모든 상황이 깔끔하게 맞아 떨어지는데 그러한 방법도 생각하지 못하신 점..이 이러한 고민을 하신 이유가 되겠네요.
물론 평가원이 100% 참은 아니지만, 그래도 고등학교 교육과정을 가장 잘 반영하여 문제를 내는 기관이고, 그러한 기관에서 이미 기출된 문제들에서 사용한 개념들은 적어도 수능이라는 시험치기 전까지는 이참에 진리로 받아들이시는게 좋을듯 합니다..
와우! 우선 긴 답변 정말정말 감사드립니다^^ 반례는 제가 수식 쓸때 맨 위에껄 복사해서 붙이다가 오류가 좀 있었네요..f(x)=(x+1)(x-1)²(x-i)라 두면 되겠네요.. 떼루님께서 다항함수의 정의를 써주셨는데 그 정의는 R->R인 실함수가 되도록 교수학적변환이 된 정의니 이정의는 실함수만 다루는 고교과정에 맞는 정의겠지요. 근데 문제는 왜 다항함수가 되느냐??이거에 물음표를 던지는 것입니다~
그래프에 기반한 풀이를 염두에 두고 낸 문제인데, 아무 말이 없더라도 실함수가 나온다 하고 그려야죠. 사차방정식의 일반형이 ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 (단, a≠0, a, b, c, d, e는 실수) 아녔던가요+_+? 그리고 복소계수 형태를 띄는 경우는 보통 근과 계수와의 관계 관련한 문제에서 켤레근의 성질을 설명하기 위한거구요, 님 말도 맞습니다만, 일단 문제의 조건과 ㄴ의 가정에서 (x - α)² 이나 (x - β)² 를 인수로 갖는다는걸 과연 지금도 인식하고 계신지 의문이 드네요, 요게 핵심인데;
문제는 "4차방정식 f(x)=0"이라는 조건으로부터 f(x)가 4차 다항함수(R->R)라는 결론은 얻는 이부분에 대한 이유가 궁금한거죠.. 제가 볼때는 미분계수가 나온 상황이니 R->R인 다항함수의 미분법에 대해 다루고 있는 고교과정에 있어 f가 다항함수였으니 미분했을것이다.. 라는 추측을해볼수있는듯한데..미분얘기가 없었다면 어떻게 되었나 싶네요..
미분계수 이야기가 나오지 않았더라도 n차 방정식이라는 말에서 바로 실계수 n차임을 파악하시면 됩니다, 적어도 수능 수리영역에서는요.. 다항함수라는 조건만 있다면 모든 실수에 대하여 연속이고, 미분 가능하다는 점을 마음껏 적용해서 풀 수 있으니까요. 마치 미로에서 다음 갈림길에서 어떻게 판단해야 할지 알려주는 중요한 정보인데, 그 정보 자체에 의문을 품으시면 좋든 싫든 일단 이미 들어온 미로에서 길을 잃어버리게 되겠죠;;
비슷한 맥락의 문제를 만들어보자면.. "2차방정식 f(x)=0 가 실근 α를 가질때, 나머지한근도 실근이다." 이 명제는 어떻게 해석해야할까요.. 미분얘기도 없는데 f(x)를 2차 다항함수로 봐서 실수계수를 갖는다고 판단해야하는 것일까요?
"고교과정에서 n차 방정식이라고 하면 실계수 방정식만 고려해준다.." 요걸로 깔끔하게 설명이 가능하겠네요. 평가원 기출 풀다 보면 이러한 전제 조건을 활용해서 풀어야만 하던 문제들이 있었는데 정확히 언제 시험이었었는지 기억이 안나네요;;
바로 그겁니다!! 저 말의 교육과정적 근거가 있다면 대체 어디서 나온건지 그게 가장 궁금합니다.
아니면 "n차 방정식"이라는 용어가 중고등 교육과정에서 실수계수를 갖는다는 것을 내포하기라도 하는것인가.. 하는 궁금증을 남겨봅니다.
그렇다면 모든 지수로그가 나온 문제에서 a^x 도 0 이하 값을 지닐 수 있으며, log x 에서 x가 왜 항상 양수여야 하냐고, 복소해석학에서 잘 정의 하지 않느냐고 딴지 걸수도 있죠;; 그러니까 실함수가 나오기 위한 배려가 필요한듯 싶습니다 +_+;
사실 지수나 로그의 경우 교과서에서 실함수로서의 명확한 정의를 내려줬기때문에 그런일은 발생하지 않을것으로 생각됩니다.
음... 별로 할 말은 없고, 문제에서 "실수를 계수로 갖는 사차방정식"이라는 말이 명시되어 있으면 좋았을 것 같습니다.
아래 댓글들은 평가원에 올라온 자료 입니다.. ────────────────────────────────────────────
수리 영역 시험은 고등학교까지의 수학 학습을 통해 습득한 수학의 기본 개념·원리·법칙
을 이해하고, 이를 적용하여 계산하고 추론하며 문제를 해결하는 능력을 평가함으로써 대학
교육을 받는 데 필요한 수학적 사고력을 측정하는 시험이다.
수리 영역 시험은 시험 출제 범위에 따라 '가'형과 '나'형으로 구분되며, 각 시험의 평가
목표의 내용 영역은 시험 출제 범위에 속하는 교과목의 내용으로 한다. 수리 '가'형의 출제
범위는 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 선택과목(미분과 적분, 확률과 통계, 이산수학 중 택1)이고, 수리 '
나'형의 출제 범위는 수학Ⅰ이다.
단, 국민공통기본교육과정(1단계부터 10단계까지)에 속하
는 내용은 시험 출제 범위에 속하는 내용과 통합하여 출제할 수 있으며, 수리 ‘가’형의 선택
과목 문항도 국민공통기본교육과정의 내용뿐만 아니라 수학Ⅰ, 수학Ⅱ의 내용과 통합하여
출제할 수 있다. 평가 목표의 내용 영역은 각 교과목의 교과서 대단원명을 기준으로 세분된다.
────────────────────────────────────────────
아 그리고 님 말마따나 복소계수도 허용한다고 가정합시다. 그러면 눈으로만 풀리는 문제로 전락하지 않겠습니까, 명색이 4점짜린데; 출제자의 의도는 가능한 그래프들을 다 그려보고 만족하는 상황을 찾길 요구하고 물어본 것입니다.
아이시떼루님 정말정말 관심 감사합니다!! 떼루님께서 말하고자하는 바는 알겠습니다. 하지만 줄이고 줄인 고교수학일지라도 수학은 빈틈이 없어야 한다고 생각합니다. 적어도 수능을 주관하는 평가원의 문제치고는 조건의 미흡합이 있다고 생각합니다. 근데 정말 궁금한것중에 하나가 중고과정에서는 계수가 허수인 방정식을 다루는 것이 불가한가..?라는 의문이 있네요