글쎄요 저도 저런 성질을 잘 안 외우는 편이라ㅋ. 그냥 쌍곡선의 정의, 즉, 두 초점으로부터의 거리의 차가 일정한 점의 자취임을 이용해서 초점의 좌표를 구한 뒤 반지름이 c(초점까지의거리)이고 중심이 (0,0)인 원이 점근선과 양의부분에서 만나는 교점에서 x축에 수직하게 내렸을때 그 점이 쌍곡선의 꼭지점이 된다는 사실을 찾는것이 훨씬 자연스럽지 않을까 싶네요.
쌍곡선 x²/a²+y²/b²=1의 초점을 (c,0)이라 하면 .c²=a²+b²인 걸 쌍곡선의 정의를 이용해서 구할 수 있죠? 자 이제 본론으로 돌아가서, 반지름이 c(초점까지의거리)이고 중심이 (0,0)인 원이 점근선과 양의부분에서 만나는 교점에서 x축에 수직하게 내렸을때, 위 그림에서도 보이듯이 직각삼각형이 하나 생깁니다. 점근선의 기울기가 b/a이므로 OA길이는 ka, PA길이는 kb(단, k는 상수)입니다. c²=a²+b²이므로 k=1이죠.
c²=a²+b²-->이것은 쌍곡선의 성질이구요, 이 성질은"두 초점으로부터의 거리의 차가 일정한 점들의 모임"이라는 쌍곡선의 정의를 이용해서 이끌어낼 수 있습니다---------->>>>>>>>정의로 c²=a²+b² 을 이끌어낸다고 하셨는데,,, 어떻게 그런거죠???? 성질이면 증명이 될텐데 증명부탁드려요.
두 초점의 좌표를 (c,0), (-c,0)(단, c는 양수)라 놓고 쌍곡선의 정의인 '두 초점으로 부터의 거리의 차가 일정한 점의 자취'를 이용하되, 두 초점으로부터의 거리의 차를 2a로 놓고 식을 세워 정리하세요. 10-나에 나오는 점과 점사이의 거리 공식을 이용해서 식을 세우면 됩니다. 그렇게 하면 쌍곡선의 식이 x²/a²-y²/(c²-a²)=1이 나올겁니다. 여기서 c²-a²=b²이라 하면 a²+b²=c²나옵니다.
첫댓글 단순합니다.. 원과 점근선이 만나는 점이 (a,b)이고 쌍곡선의 식으로부터 꼭지점이 (a,0)인것을 알 수 있으니까요ㅎ
배탱님 그런데,,,, 원과점근선이 만나는점이 왜 a,b인가요???
글쎄요 저도 저런 성질을 잘 안 외우는 편이라ㅋ. 그냥 쌍곡선의 정의, 즉, 두 초점으로부터의 거리의 차가 일정한 점의 자취임을 이용해서 초점의 좌표를 구한 뒤 반지름이 c(초점까지의거리)이고 중심이 (0,0)인 원이 점근선과 양의부분에서 만나는 교점에서 x축에 수직하게 내렸을때 그 점이 쌍곡선의 꼭지점이 된다는 사실을 찾는것이 훨씬 자연스럽지 않을까 싶네요.
반지름이 c(초점까지의거리)이고 중심이 (0,0)인 원이 점근선과 양의부분에서 만나는 교점에서 x축에 수직하게 내렸을때 그 점이 쌍곡선의 꼭지점이 된다는 사실을 찾는것-------->>이사실이 그냥 외우신건가요? 이해할려면 어떻게 이해해야하나요
쌍곡선 x²/a²+y²/b²=1의 초점을 (c,0)이라 하면 .c²=a²+b²인 걸 쌍곡선의 정의를 이용해서 구할 수 있죠? 자 이제 본론으로 돌아가서, 반지름이 c(초점까지의거리)이고 중심이 (0,0)인 원이 점근선과 양의부분에서 만나는 교점에서 x축에 수직하게 내렸을때, 위 그림에서도 보이듯이 직각삼각형이 하나 생깁니다. 점근선의 기울기가 b/a이므로 OA길이는 ka, PA길이는 kb(단, k는 상수)입니다. c²=a²+b²이므로 k=1이죠.
따라서, A가 (a,0)이므로 반지름이 c(초점까지의거리)이고 중심이 (0,0)인 원이 점근선과 양의부분에서 만나는교점에서 x축에 수직하게 내렸을때, 그점이 쌍곡선의 꼭지점이 됩니다.
c²=a²+b²-->이것은 쌍곡선의 성질이구요, 이 성질은"두 초점으로부터의 거리의 차가 일정한 점들의 모임"이라는 쌍곡선의 정의를 이용해서 이끌어낼 수 있습니다---------->>>>>>>>정의로 c²=a²+b² 을 이끌어낸다고 하셨는데,,, 어떻게 그런거죠???? 성질이면 증명이 될텐데 증명부탁드려요.
두 초점의 좌표를 (c,0), (-c,0)(단, c는 양수)라 놓고 쌍곡선의 정의인 '두 초점으로 부터의 거리의 차가 일정한 점의 자취'를 이용하되, 두 초점으로부터의 거리의 차를 2a로 놓고 식을 세워 정리하세요. 10-나에 나오는 점과 점사이의 거리 공식을 이용해서 식을 세우면 됩니다. 그렇게 하면 쌍곡선의 식이 x²/a²-y²/(c²-a²)=1이 나올겁니다. 여기서 c²-a²=b²이라 하면 a²+b²=c²나옵니다.
아.. 그러면요 b^2이란것은 어떻게 보면,,,,, 그냥 치환환 수일뿐이네요????????????? c^2-a^2<<<----이것이 더 중요한것이지 b^2이거는 중요한게 아니네요????????
그렇다고 할 수 있죠
c²=a²+b²------------>아 이건 정의니까 그냥 외어야 되는부분이군요 이걸 외우고 들어가야 원과 점근선의 교점이 (a,b)납득할수있는거군요? 그러니까 c²=a²+b²<<<----------이거는 원으로 그려서 나온결과가 아니라 이걸 보고 원을 그리는거군요???????
c²=a²+b²-->이것은 쌍곡선의 성질이구요, 이 성질은"두 초점으로부터의 거리의 차가 일정한 점들의 모임"이라는 쌍곡선의 정의를 이용해서 이끌어낼 수 있습니다. 그러니까 c²=a²+b²<--이거는 원으로 그려서 나온결과가 아니라고 봐야겠죠.