시공간의 현대적인 관점

[유토피아]

 누턴의 근대물리학에서는  공간과 시간이 서로 아무런 관련도 없다고 믿어왔다.

물리공간은 평평한 3차원 연속체로 점을 움직여 배열할 수 있는 모든 모양인데 이 공간에는 유클리드 기하학을 적용할 수 있다.

시간은 공간과 별개의 것으로 간주되며 1차원 연속체로서 무한대까지 완전히 균일하다고 본다. 시간에서 '지금'이라는 것은 어떤 다른 순간 사이에 과거와 미래를 결정짓는 기준으로 받아들여진다.

공간과 시간을 따로 생각하는 한 운동하는 물체에서 움직임이 완전히 멎은 절대정지 상태를 상상할 수 없다. 균일하게 움직이는 공간 좌표계에 균일한 시간연속체를 덧붙이면 가속되지 않는 모든 운동을 표현할 수 있으며, 이러한 계를 관성기준계라 하고 이러한 우주를 뉴턴 우주라고 부른다.

시공간의 또다른 의미는 우주론과 통일장이론에서 중요하다.

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시공간

누턴적인 관점에서는  공간과 시간이 서로 아무런 관련도 없다고 믿어왔다.

물리공간은 평평한 3차원 연속체로 점을 움직여 배열할 수 있는 모든 모양인데 이 공간에는 유클리드 기하학을 적용할 수 있다. 그 3차원 공간은 데카르트 좌표를 써서 가장 자연스럽게 나타낼 수 있으며 직선도 손쉽게 나타낼 수 있다. 시간은 공간과 별개의 것으로 간주되며 1차원 연속체로서 무한대까지 완전히 균일하다고 본다. 시간에서 '지금'이라는 것은 어떤 다른 순간 사이에 과거와 미래를 결정짓는 기준으로 받아들여진다.

공간과 시간을 따로 생각하는 한 운동하는 물체에서 움직임이 완전히 멎은 절대정지 상태를 상상할 수 없다. 균일하게 움직이는 공간 좌표계에 균일한 시간연속체를 덧붙이면 가속되지 않는 모든 운동을 표현할 수 있으며, 이러한 계를 관성기준계라 하고 이러한 우주를 뉴턴 우주(Newtonian universe)라고 부른다.

또한 4차원 시공간 연속체를 쓰면 헤르만 민코프스키의 이름에서 따온 민코프스키 우주(Minkowski universe)라 부르는 또다른 잘 정의된 평평한 기하학 토대를 마련할 수 있다.

그 우주에서 한 좌표계의 시간 좌표는 아인슈타인이 제안한 특수상대성이론의 변환식에 따라 상대 속도로 움직이는 다른 좌표계의 공간 및 시간으로 나타낼 수 있다.

 민코프스키 우주도 다른 우주와 마찬가지로 독특한 관성기준계가 있어서 그 좌표계 안에서는 물질이 있어도 영향을 받지 않는다. 이 우주에서 모든 좌표계나 특별한 시공간 사건은 세계점(世界點)으로 기술된다.

사건과 사건 사이의 명백한 공간 및 시간 간격도 관찰자의 속도에 의존하게 되는데 이 경우 속도는 절대로 빛의 속력보다 빠르게 움직일 수 없다. 모든 물리법칙은 모든 관성기준계에서 바뀌지 않고 동일한 형태를 유지한다.

나아가 이런 기하학을 변형시킨 형태로 부분적으로 민코프스키 우주를 닮은 기하학도 질점(質點)을 가진 4차원 연속체를 써서 유도할 수 있다. 이런 연속체는 물론 비(非)유클리드 기하학이지만 역학적인 힘으로써 중력을 없앨 수 있으며, 1915년 아인슈타인이 제안한 일반상대성이론에도 쓰인다.

이 일반상대성이론에서 연속체는 비록 유일한 것은 아니지만 좌표로 나타낼 수 있는 세계점으로 이루어진다. 세계점 각각은 그 점이 속한 작고 국부적인 부분 안에서 특수상대성이론의 시간을 근사할 수 있는 좌표계에 대응한다.

이 세계점을 이은 선은 입자의 궤도나 빛의 경로를 나타내며 세계선(世界線)·측지선(測地線)이라 부른다. 관측자에 대한 최대속도는 변함없이 일정한 빛의 속력을 가진 광선의 세계선으로 정의한다.

질점이 가속되지 않는 민코프스키 연속체의 측지선이 직선인 반면, 부분적으로 질량이 집중되어 있는 일반상대성 우주나 리만 우주(Riemannian universe)의 측지선은 휘어져 있기 때문에 중력장(重力場)을 시공간 곡률(曲率)의 증거로 해석할 수 있다.

그러나 국부적으로는 중력장이 전혀 없는 좌표계를 항상 만들 수 있다. 적당한 세계점을 골라 붙인 그런 기준계는 자연히 질량이 집중되어 있는 질점 가까이에서 자유낙하 가속도를 갖는다.

 단지 세계점 가까이에 제한된 공간과 제한된 시간 안에서 이 개념이 잘 들어맞는다. 기준계가 질점 쪽을 향해 자유낙하하는 것은 밖에서 중력장이 주어지거나 관성기준계가 갖는 고유한 성질 때문이다.

수학적으로 어떤 특정물질의 분포에 따라서 텐서 분석법을 써서 리만 공간(Riemannian space)에서 중력 퍼텐셜 값을 구할 수 있으며, 질점 바깥에서 아인슈타인의 중력장 방정식의 해(解)를 얻을 수 있다.

1916년 구(球) 모양을 띤 단 1개의 질점에 대한 첫번째 엄밀한 해를 독일의 천문학자 카를 슈바르트 실트

왜성(dwarf star)에 대한 천문학적 관찰을 바탕으로 1939년 미국의 천문학자 줄리어스 R. 오펜하이머와 H. 스나이더는 마침내 물질의 밀도가 매우 큰 상태를 가정하게 되었다.

 뒷날 펄서(pulsar)와 중성자별을 발견함으로써 중력붕괴가 일어나기 위한 여러 가지 다른 가설적 조건이 생겨났다. 그런 조건들은 성간 검은구멍이 존재하는 것과도 관련이 있다.

시공간의 또다른 의미는 우주론(宇宙論)과 통일장 이론에서 중요하다.

시공간(Spacetime) (1) 갈릴레오 변환

0. 나와 너의 시공간

시공간(Spacetime)은 공간의 3차원에 시간의 1차원을 더한 개념이다. 우리 모두는 같은 세계에서 살고 있고, 따라서 같은 시공간에 있다.

사실 이 개념은 매우 높은 차원의 사고, 통찰력을 필요로 한다. 시공간이 우리가 보기에 그리 자연스러운 개념이라고는 할 수 없다. 시간은 시간이고, 공간은 공간이니. (물론, 우리가 시공간을 도입한 이유는 그것이 그리 간단한 문제가 아니기 때문이다.) 그래서 시공간을 나타내보면 처음엔 생각 이상으로 혼란스럽다. 시공간은 '이해한다'기보다는 '적응한다'고 하는 게 더 맞는 말인 것 같다.

시공간을 우리가 인지하기 위해서는, 먼저 스스로 '관찰자(Observer)'가 되어 시공간의 한 점에 서야 한다. 그런 다음, '좌표계'란 것을 이용해서 이 시공간을 표현해낸다. 좌표계를 만드는 데는 '자'와 '시계'가 필요하며, 이 둘을 이용해 공간과 시간을 측정한다. (이 둘의 구체적인 형태에 대해선 생각하지 않는 것이 좋다. 여기서 말하는 '자'와 '시계'는 굉장히 추상화된 개념이다.) 자신이 처음 섰던 곳은 좌표계의 원점 역할을 한다.

그런데, 여기서 불편한 일이 벌어진다. '관찰자마다 좌표계 모양이 다르다.'

이 말은 조심히 받아들일 필요가 있다. 관찰자 각자는 동일한 모양의 좌표계를 쓰도록 하며, 본인은 자신이 그러한 모양의 좌표계를 갖고있다고 생각한다. 어느 한 관찰자가 보면 남과 자신의 좌표계가 서로 다르단 것이다.

우리는 '좌표계'의 틀에 맞춰서 시공간을 이해하는 것이기 때문에, 좌표계가 다르면 당연히 시공간이 다르게 보일 수밖에 없다.

좌표계를 통해 본 시공간이 제각기 다르게 보인다. 

그러니 남이 보는 시공간이 나에게 어떻게 보이는지를 구체적으로(수학적으로) 탐구해보기로 하자. 이것이 글 전반에 걸쳐 주로 할 일이다.

1. 나의 시공간을 그리는 방법

일단 각 관찰자가 시공간을 구체적으로 어떻게 이해하고 도시하게 되는지 알아야 한다.

이제 우리가 직접 관찰자가 되어 나만의 시공간을 그려보자! 는 말이다.

먼저, 우리는 3차원 공간에서 살고 있기 때문에 총 4개의 축을 그려야 한다. 그러나 우리는 4차원을 인식하지 못하며, 어거지로 그려봤자 난잡하기만 하다. 우선 가장 간단하게 공간축을 하나만 그려넣고, 또 그 축만 고려하기로 한다. 이를  축이라 하자.

또 시간축을 고려해야 하는데, 시간은 사실 공간적 개념이 아니라서 축으로 나타낸다는 것이 어설프긴 하다. 하지만 우리의 막강한 사고능력을 동원하여, 시간축을 공간축( 축)에 수직하게 놓아  축이라 이름 붙인다.

이로써 우리는 이차원 좌표계를 얻게되었다.

(왜  축을 세로로 두느냐는 질문은 당연히 나온다. 비슷한 예로는 경제학에서 왜 가격을 세로로 두느냐는 질문이 있다. 뭐 최선의 대답은 '전통임. 불만?' 밖에 없다. 우리가 직접 이유를 들어본다면,  축은 하나뿐이고 그래서 특별하기 때문이다-라고 하는 수밖에.)

이것이 바로 우리의 시공간을 나타낸 한 '좌표계'이다. 모든 관찰자에게 좌표계의 형태는 위와 같이 인식된다.

자, 이렇게 하면 우리는, 어떤 사건이 어느 위치에, 어느 시각에 일어났는지를 전부 순서쌍 에 (차원을 높이든지 해서) 기록할 수 있다. 이로부터 모든 물리를 할 수 있게 된다.

워밍업도 할 겸 가장 쉬운 예제를 풀어보자. 여기서 나는 어디에 있을까? 시간이 흘러도 난 제자리에 있기 때문에, 일단 모든 에 대해서 시공간 위에 놓여있다는 것은 알 수 있다. (더 정확히 말하면 늙어죽기 전까지겠지만...) 그렇다면 는 얼마일까? 즉, 공간 상에서 나의 위치는 어디일까? 당연히 이라 두는 것이 현명하다. 따라서 시공간에서 나의 위치는 다음과 같다.

(위치가 직선이라는 것에 대해 어색하게 느껴도 어쩔 수 없다. 그래도 앞으로 익숙해질테니 괜찮다.)

​2. 남의 시공간을 그리는 방법 _ 갈릴레오의 방법

이제 아까 얘기로 되돌아오자. 상대성이론에서 우리가 문제삼는 것은,

'다른 관찰자의 좌표계가 우리에게 어떻게 보이는가?'

는 질문이다.

물론, 우리 모두는 동일한 시공간에 살고 있으므로 모든 관찰자가 똑같은 시공간을 보고 있다는 것은 두말할 여지가 없다. 하지만 아까 말했듯이 똑같은 시공간을 보고도, 그 구체적 모양은 다르게 인식하게 된다. 따라서 '다른 관찰자가 보는 시공간이 나에겐 어떤 모습인가?'에 대한 문제는 전체 물리학을 통틀어서 가장 근본적이고도 중요한 주제 중 하나가 되는 것이다. 우리가 세상을 보는 '물리적인' 프레임에 관한 얘기니까.

우선, 상대의 좌표계를 나의 좌표계로 표현하는 것을 변환(Transformation)이라고 한다. 이것은 곧 상대의 좌표계를 나의 눈으로 바라보는 행위라고 할 수 있다.

상대와 나의 좌표계가 다르게 만드는 요인에는 여러가지가 있는데, 여기서 특히 주목하려는 것은 '속도'이다. 즉, 상대 관찰자의 속도에 대한 변환을 알아보자는 것이다. 상대적인 속도에 의해 상대방과 나의 좌표계가 달라지며, 속도가 클수록 변형정도는 커진다. 나 자신의 속도는 물론 이다. 즉 없다.

우리는 ① 갈릴레오 변환과 ② 로렌츠 변환을 배우게 된다. ('아인슈타인 변환은 어딨느냐'란 질문에 답하자면, 로렌츠 변환이 아인슈타인 변환이다. 상대론에서 사용하는 변환은 로렌츠가 벌써 유도했기 때문에, 로렌츠 변환이라 불린다.)

이렇듯 변환의 방식에는 여러가지가 있다. 방식의 차이는, 무엇을 전제로 하느냐가 만들게 된다. 전제 하나가 매우 큰 차이를 만들기 때문에 각별히 주의해서 봐야 한다.

두 변환은 상대의 속도가 일정한 경우만 다룬다. 즉 일정한 방향으로, 빠르기의 변화 없이 이동해야 한다는 것이다. 이것 또한 하나의 전제인데, 둘은 스스로를 정당화하기 위해 '상대성원리(Principle of Relativity)', 즉 '등속도로 움직이는 모든 관찰자(좌표계)에게는 동일한 물리법칙이 성립한다'는 가정을 도입한다. 논의가 편하니까. 그리고 경험적으로도 훌륭히 잘 맞는다.

자, 먼저 '우리의 직관에 잘 들어맞는' 갈릴레오표 변환법을 공부해보자.

우리의 직관에 잘 맞는단 것은 무슨 뜻일까? 우리가 '경험한 내용 내에서' 충분히 이해 가능하단 것이다. 그러므로 직관은 우리가 노련하다는 증명이 되기도 하지만, 언제나 한계가 있음을 염두에 둬야 한다. 직관이 승리할지, 예외가 승리할지는 두고봐야 아는 거다. (승리엔 여러가지 뜻이 있지만 넘어가자. 대충 '진실로 받아들여진다'라고 이해하면 될까나...)

두 관찰자를 생각한다. 나는  좌표를 쓰고, 너는  좌표를 쓴다. 누차 강조하지만 둘이 쓰게되는 좌표계는 특별한 경우가 아닌 이상 완전히 다르다!

먼저 시간에 대해 생각해보자.

뭘 어떻게 생각하냐고? '전제'를 이용하는 거다.

그럼 '전제'는 무엇이냐? 힌트를 주자면, 갈릴레오의 방식은 매우 경험에 충실했다.

나의 시간과 너의 시간이 같을까? 아니면 다를까? 지금 우리는 최대한 상식적으로 생각해야 한다. (그리고 틀려야 한다.) 어디서 주워들은 걸로 답하면 안 된다.

당연히 같다고 생각할 수밖에 없다. 시간의 흐름이 달라지는 걸 느낀 경우는 있어봤자 거의 착각들이다. 배고플 때나, 졸릴 때 같은 경우.

그러므로, 을 일치시켜 두었다면, 모든 시점에서 이 되어야 한다.

이번엔 공간에 대해 생각해볼 차례다. 똑같이 생각하면 된다.

내가 너를 볼 때, 오른쪽으로 속력 로 움직이고 있다고 해보자.  너의 위치는 너가 볼 때 이지만, 내가 볼 때는 이다. (으로 맞춰놨다고 가정하면.) 이것이 무엇을 뜻하는가? 이란 거다.

하나 더 생각해보자. 너가 빠르게 달리면 공간이 늘어지거나 쭈그러드는가? 우리가 경험한 속력 내에선 결코 있을 수 없는 일이다. 따라서 와  앞의 계수는 서로 같다. 자의 눈금의 간격이 일정하기 때문이다. 이로부터 다음을 얻는다.

따라서, 나의 좌표계로 너의 좌표계를 표현하면

가 된다. 이것이 갈릴레오 변환(Galilean Transformation)이다.

이제 내가 보는 시공간 위에 너의 좌표계를 그려보자. 시각적인 표현이 직관적인 이해에 있어서 무엇보다 중요하니까.

잘 안 보이지만, 갈색 격자가 네 것, 검은색 격자가 내 것이다. (명심할 것은 너에겐 무조건 직사각형 격자만 보인단 거다.)

이것으로 나의 좌표를 이용해 너의 좌표를 표현할 수 있게 되었다. 나의 좌표, 그리고 상대의 좌표만 그릴 수 있으면 이론적으론 다 배운 거다.

하지만 조금 더 구체적인 이해를 위해선 몇 가지 문제를 풀어볼 필요가 있다.

1) 내가 볼 때 너의 위치는 어디일까? - , 즉 이므로 바로 나에게 보이는 너의  축이다.

2) 우주에 우리 둘만 있는 양 너와 나만 보지 말고, 이번엔 조금 새롭게 주변을 살펴보자.

너가 주위를 둘러보다가 나무 한 그루가 인 위치에서 가만히 서 있는 걸 보았다고 치자. 이것을 그림으로 표현하면 다음과 같다.

(너의 그리드로 본 시공간.)

(나의 좌표계로 본 시공간. 나무의 위치는 이다. 동일한 사건이 서로 다르게 관찰되는 것을 알 수 있다.)

좌표계의 모양이 바뀐다는 것은 바로 이런 의미다.

너가 볼 땐 나무가 가만히 서 있으니, 당연히 나무가 서있는 위치는 위 그림과 같이  축에 수직한 방향으로 나열될 것이나, 내가 볼 때는 시간에 따라서 위치가 변화하므로 아래 그림과 같이 기울어진다. (나무도 자세히 보면 속력 로 움직이고 있다.) 이걸 동영상으로 보여주는 게 정말 도움이 많이 되지만, 글쓴이가 기술이 없는 관계로 이 정도로 만족하자. (ㅠㅠ)

결국 이를 통해 우리가 알 수 있는 건 '시간과 공간은 독립적이며, 절대적'이란 것이다. 이것이 갈릴레오의 결론이다. 정확히 말하면 갈릴레오가 시/공간을 절대적인 것으로 전제했기 때문에 이런 결과가 나온 것이다. 그림에서 확인해보자.

시간은 전혀 변하지 않으며, 격자들이 완전히 겹쳐진다. 공간의 경우 옆으로 쓸리게 되긴 하지만, 격자의 간격은 불변이다. 즉 공간은 변형되지 않는다.

또한 시간과 공간 사이는 독립적이기 때문에 혼동이 없다. x축이 고정되기 때문에, 같은 시간에 일어나는 사건은 누구에게나 동시에 일어나는 것으로 관측되는 것이다. (같은 시간대에 어떤 사건들이 일어나는지 알려면, 나의 경우  축에 평행한 직선, 를 그어보면 된다. 너의 경우도 여전히  축에 평행한 직선인 을 그어보면 된다. 갈릴레오 변환에서는 두 직선이 언제나 나란하기 때문에, 같은 시간에 볼 수 있는 사건이 동일하다.) 이를 동시성이라고 한다. 이 당연한 얘기를 왜 하냐면 당연한데 거짓이기 때문이다. 상대론은 이렇게 주장하고 있다.

​이 해괴망측한 주장을 지껄이는 상대성이론에 대해 다음 회차부터 본격적으로 알아보기로 한다.

시공간 2. 로렌츠 변환 (1)

갈릴레오 변환은 이제 더 볼 게 없다. 현재 참으로 여겨지는 이론도 아니다. (참이 아니라는 거지 쓰지 않는단 것은 아니다. 특수상대론은 다소 복잡한데다 일상 상황과 거리가 멀기 때문에 여전히 갈릴레오 변환은 많이 쓰인다.)

로렌츠 변환은 갈릴레오 변환에서 전제 하나만을 살짝 바꾼 것에 불과하다.

갈릴레오 변환 : 시간/공간은 불변이다.

로렌츠 변환 : 광속(빛의 속력)은 불변이다. 즉, 어느 좌표계에서도 광속은 동일하게 관찰된다.

?웬 광속? 역사적인 맥락이 있지만 그걸 설명하고 있으면 사람 다 빠져나갈 거 같아 자제한다. 최소한만 얘기하자면, '광속이 보존된다는' 일부 분야에서의 학문적 추론 결과/실험결과가 있었다.

잘 보면 둘 다 '불변량'에 대해 말하고 있다. 우리는 변하는 것보다, 변하지 않는 것을 얘기하는 것이 훨씬 쉽고 편하기 때문이다.

그리고 이 전제 하나 때문에 이론이 완전히 뒤바뀐다.

광속이 불변이란 가정은 사실 우리의 직관, 즉 갈릴레오 변환에 맞지 않는다. 간단한 상황을 만들어 갈릴레오 변환을 이용해 문제를 풀어보자.

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빛은 광원에서 쏘아진다.

우리가  좌표계를, 광원이  좌표계를, 빛이  좌표계를 사용한다고 하자.

광원이  방향으로 속력 로 움직이고 있다고 하자. 그렇다면 우리는 바로 갈릴레오 변환을 사용해서

임을 얻게 된다. 이제 광원에 얹혀져서 쏘아진 빛의 운동을 생각해보자. 광원의 좌표계에서 바라볼 때 빛의 속력이 라고 한다면, 다시 갈릴레오 변환을 사용하여

를 얻는다. 이로부터 우리의 좌표계와 빛의 좌표계의 관계를 얻는다. 따라서, 우리가 보는 빛의 속력은

임을 알게 된다. (을 대입하면 된다. 빛의  좌표는 항상 이다. 의 관찰자(주인)니까!)

더 정확히 하자면, 빛의 속력은

와 같이 구할 수 있다.

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이렇듯, 광원이 움직일 경우, 그 광원에서 뿜어져 나온 빛은 우리가 볼 때 속력이 달라지게 되어 있다.

하지만 광속이 불변이라니? 그럼 '시간/공간이 불변한다'는 건 어떻게 유지하나? 정확히 찔렀다. 전제가 달라서 생긴 결과니, 기존 전제를 부정해야 한다. 시간과 공간은 절대적이지 않다.

이 결론은 아인슈타인이 내렸다. 로렌츠가 변환식을 유도해냈지만, 로렌츠는 가정에 따른 결과를 얻어냈을 뿐이지 그것에 대한 어떤 해석을 가하지는 않았다.

이제, 로렌츠 변환식을 공부할 차례다. 이제부턴 경험과도 어긋나는 새로운 이론을 공부하게 되니, 부디 길안내를 잘 따라오길 바란다. (길안내가 서투를 수 있다는 건 ㅇㅈ)

3. 로렌츠 변환 (1) 축 표현

​이번에도 우리가 할 일은, 상대의 좌표계를 우리의 좌표계를 이용해 표현하는 것이다. 따라서 우리는 다시 두 관찰자를 준비한다.

나는  좌표계를, 너는  좌표계를 사용한다. (우린 아직도 1차원 공간에서의 일만을 생각하고 있는 것이다.)

이것이 나와 너가 갖고 있는 좌표계이다.

이번엔 시공간에 관한 몇 가지 용어를 소개하려고 한다. 1편에선 대충 넘겼지만 이해에 도움이 되기 때문에 그렇다.

(1) 시공간 위의 한 점을 사건(event)이라고 한다. 이 사건은 어느 좌표계에서나 나타나지만, 좌표계는 관찰자마다 다르기 때문에 관찰자마다 좌표는 다르다. 예를 들어서 내가 볼 때 사건 A의 좌표가 라고 하자. 그러면 이 A는 시각 에, 란 위치에서 어떤 일이 일어났는지 그 정보를 담게 된다.

(2) 일정 시간동안 존재하는 한 입자는 각 순간에 하나의 위치를 점하므로 시공간 위에 어떤 곡선을 그리게 되는데, 이 각각의 곡선을 세계선(world line)이라고 한다. 뭐 이 입자가 시공간에 남긴 어떤 자취라고 생각하면 된다. 세계선 또한 모든 좌표계에서 나타나지만 좌표계에 따라 그 모양은 다르다.

이제 내가 너의 좌표계를 어떻게 보게 되는지 알아보자.

이번엔 시간과 공간에 대한 어떤 전제도 하지 않았기 때문에, (이러한 '경험의 백지화'는 아인슈타인의 현명한 통찰력이었다.) 무턱대고 시간이 어떻고 공간이 어떻고에 대한 얘기를 함부로 할 수 없다. 그래서 이번엔 일의 순서를 조금 비틀려고 한다.

먼저, 좌표계를 표현하는 데 가장 간단한 일은 축의 위치를 표시하는 것이다. 그러면 일단 격자가 어떤 모양으로 날지 파악할 수 있다. 그러고 나면 단위길이가 얼마나 되는지를 알아야 하는데, 그건 조금 있다 해도 늦지 않다.

0) 시간의 동기화

먼저, 두 관찰자의 원점은 일치한다고 가정하자. 즉, 둘이 만나는 순간의 시각을 이라고 동기화하는 것이다.

1) 시간축​

우선 시간축인  축부터 알아보자. 이것은 직선 과도 같은데, 이는 곧 '너의 위치'가 어디냐는 말과도 같다. 

이것은 그리 어렵지 않다. 나는 너의 위치가 ''라고 생각한다. 너는 나에 대해 속력 로 움직이고 있으며, 이에 대한 수학적 기술이 달라지지는 않는다.

그러므로 원점을 지나고 기울기가 인 직선을 그어주면, 그것이 곧  축이 된다.

( 축은 바로 너가 그리는 세계선이다.)

2) 공간축

공간축은 상당히 까다롭다. 세 가지 방법이 있는데, 세 가지 모두 중요하다고 생각한다. 그런데 그러면 너무 글이 길어지니 한 가지만 보자. 이들 방법의 공통점은, 물론 전제 '광속은 일정하다'를 활용하는 것이다.

'격자 맞춤' 방법

이건 글쓴이가 생각한 방법인데, 가장 평범하게 떠올릴 수 있다고 생각하는 발상이다.

그림을 보면, 사실 단위 길이가 얼만지 몰라서 그렇지 공간축의 눈금( 형태)이 어떻게 생기는지는 알 수 있다. 바로 다음과 같이 생길 것이다.

광속이란 빛의 속력이다. 속력이 불변한다가 무슨 뜻일까? 빛이 그리는 모든 세계선의 기울기는 항상 보존된다는 것이다. 자, 먼저 내가 볼 때 빛이 그리는 세계선을 생각해보자.

물론, 이 세계선은 기울기가 인 직선이다. 광속을 라고 부르자.  값은 매우 크기 때문에, 의 단위를 미터로 유지한다면 기울기가 거의 0에 가깝게 보일 것이다. 가장 중요한 기울기인데  축에 겹쳐서 보이지도 않으면 어쩌자는 건가? (싸우자는 거지 뭐) 따라서 단위를 적당히 조절하여, 가 1이 되도록 만들자. 그러면 그래프 상에서 빛들의 세계선은 다음과 같이 그려진다.

(기울기가 1인 세계선()은  방향으로 진행하는 빛들을, 기울기가 -1인 세계선()은  방향으로 진행하는 빛들을 나타낸다.)

이제 우리의 가장 중요한 전제, '광속은 절대적이다'를 이용할 시간이 왔다. 광속이 절대적이라는 말은, 너의 좌표계에서도 빛줄기가 그리는 세계선의 기울기는 전부 이란 얘기다.

따라서, 우리는 공간축 및 시간눈금을 다음과 같이 끼워넣을 수 있게 된다.

​이 상황을 너의 좌표계로 보면 다음과 같다.

​이제 글쓴이가 어떤 방법을 썼는지 파악할 수 있을 것이다. 빛의 세계선이 각 단위격자의 두 대각선을 이룬다는 것을 이용한 것이다.

​나의 좌표계에서 바라보면 너의 좌표계는 평행사변형 모양이 되는데, 이 관점에서도 빛의 세계선은 한 단위격자의 두 대각선을 이루어 한다.

​이렇게 해서 공간축이 대강 어떻게 있는지는 알 수 있다.

​하지만 우리가 알아내야 하는 것은 축의 정확한 기울기이기 때문에, 아직 끝마무리가 되지 않았다. 다행히도 그리 어렵지는 않다.

기울기가 인 두 직선이 평행사변형의 대각선을 이루려면, 평행사변형의 두 변의 기울기는 서로 역수관계가 되어야 한다. 즉, 평행사변형은 두 대각선에 대해 각각 선대칭이다.

따라서, 내가 본 축 즉 은 가 된다.

(갈릴레오 변환과 로렌츠 변환(미완성).) 

갈릴레오 변환과 달리 로렌츠 변환은 공간축이 기울어져 있다. (물론 빛의 기울기 을 보존하기 위함이다.) 이는 시간 격자가 기울어져 있다는 말과 같은데, 실로 엄청난 결과를 만들게 된다. 어떤 일이 생길지는 차차 알게 될 것이다.