<P> </P>
<P style="TEXT-ALIGN: center"><img src="https://t1.daumcdn.net/cfile/cafe/18190B534D7B5FC017" class="txc-image" style="FLOAT: none; CLEAR: none" actualwidth="1024" border="0" hspace="1" vspace="1" width="1024" id="A_18190B534D7B5FC0173FAB"/></P>
<P>통상, 아주아주 어려운 꼴의 함수식을 그래프로 그려낼때는, 심화미적을 사용합니다.</P>
<P> </P>
<P>심화미적이라해서 꼭 삼각함수의 미분이라고 보기는 좀 그렇고. 그냥 간단하게 말해서...</P>
<P> </P>
<P>해당 함수의 미분. 즉 기울기 함수. 곧, <FONT color=#0900ff><STRONG>도함수</STRONG></FONT>를 구한뒤에, 그 함수의 0되는 지점들이 곧 <STRONG>극값</STRONG>들(오목 혹은 볼록) 이거나, 혹은 중간골짜기위치. 뭐 그렇지 않습니까? 극값인지 중간골짜기인지는 <FONT color=#0900ff>도함수의 도함수</FONT>를 통해 알아보고요. <U>극값의 정확한 위치는 해당지점 x값을 <STRONG><FONT color=#0900ff>대입해서 y값</FONT></STRONG> 찾고요.</U></P>
<P> </P>
<P>함수가 x축과 만나는 지점이나 등등은 함수 자체의 <FONT color=#0900ff><STRONG>절편값</STRONG><FONT color=#000000>이나</FONT><STRONG> 근</STRONG></FONT>등을 구해서 찾고.</P>
<P> </P>
<P>양쪽. 즉, 가장 작은 근과 가장 큰쪽의 근 양 옆으로 <FONT color=#0900ff><STRONG>리미트</STRONG></FONT>를 해주어서 최종적으로 양쪽으로는 어디로 가는가? 를 찾아보고.</P>
<P> </P>
<P>하잖아요.</P>
<P> </P>
<P>헌데, 궁금한게 더 있습니다;;</P>
<P> </P>
<P> </P>
<P>분명 배웠던것 같은데..ㅡㅡ;; 까먹었는지..</P>
<P> </P>
<P> </P>
<P>이 외에 함수는 더 다양한 형태가 있을수 있잖습니까? </P>
<P> </P>
<P>1. 식=0 꼴에서 구한 근들. 즉, x축과 만나는 지점들 양 옆에서 극한으로 나가는것이 아니라, </P>
<P>위에보심 쭈~욱 위로 올라가서 절대 만나지 않는 지점 보심 아시겠듯.. 저렇게 '근' 들 바깥이 아니라, 사이에서 </P>
<P>'발산'이나 안만나는 경우. <- 가 있는경우도 있잖아요?</P>
<P>이경우야... 함수식이 '값'을 가지지 않는상태이니만큼, <FONT color=#0900ff>무연근</FONT>을 찾으면 될것이고.</P>
<P> </P>
<P>2. 문제는 저 <FONT color=#ff0000><STRONG>동그라미</STRONG></FONT> 같은 경우 입니다;;</P>
<P> </P>
<P>미분이 되지 않는 부분이고.... 대체 저런경우가 있는지는 어케 판별해서 찾아내 그려줄지 난감하네요;;;</P>
<P> </P>
<P>분명 저런경우도 있잖아요..</P>
<P> </P>
<P>절대값 식이라면야 단박에 눈에 들어오겠지만, 절대값식은 보통 그냥 직선적인. 즉 삼각형꼴인데;;</P>
<P> </P>
<P>저렇게 <STRONG><U>곡선적이면서 첨점인 부분은;;; 어떻게 함수식에서 찾아내 판별하곤 할까요??</U></STRONG></P>
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<P> </P>
<P> </P>
<P>예전에 '함수그래프 그리기' in 심화미적. 에서 배웠던것 같은데;; 까먹은것같다는..</P>
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<P> </P>
<P>판별이.. 안되는건 가요??</P>
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<P>저런거 판별은 대학과정인가요?</P>
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<P>답변좀 주세요.</P>
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제가 알기론 일단 일반적인 다항함수의 경우에는 그런 일이 절대 없습니다 또 다항식으로만 이루어진 유리함수나 무리함수의 경우 크게 어렵지 않게 미분 가능,불가능한 지점을 찾을수 있을것입니다 (근데 아닐 수도 있습니다 저도 초보라서;) 그럼 초월함수의 경우를 생각 해봐야 할 것입니다
결론부터 말하자면 사실 함수의 개형을 찾는 다는것은 프로수학자들 에게도 쉬운일이 아닙니다.예를 들어 보겠습니다 1/{(x^3)(sinx)^2} 은 단순히 x^3 곱하기 sinx의 제곱을 역수시킨 함수 일 뿐입니다 근데 이놈은 정말 무시무시 하게 생겼습니다... 이런 복잡하게 생긴 예는 얼마든지 만들수 있겠져 ㅎㅎ?
도함수를 구하면되죠. 도함수가 y'=[x^2]+x 이런식이면 x^2이 정수일떄마다 좌미분계수랑 우미분계수랑 다르겠죠. 아니면 y=|cosx|면 x=파이/2+n파이 일때마다 다르게나오겠죠. 아무 예도 없이 좌미분계수랑 우미분계수가 다를 때를 판단할수 있는 일반적인 방법을 알려주라고 하면 당연히 대답을 못하죠.
위에서 극값은 도함수=0일때 찾는다고 하셨는데 그럼 도함수=0인점은 어떻게 판별해서 그걸 구하냐고 물어보면 어떻게 답하실겁니까 ㄱ- y'=(3^logx)-2x에서 y'=0이 되는 점을 어떻게 구하실래요. x=0.1일때랑 x=10일때를 이용해서 중간값정리쓰면 분명 y'=0인점이 존재하는데요. 그 값은 어떻게 구할껀데요.
그럼 첨점에 초점을 맞춰서 예를 하나 더 들어 볼게용 cycloid라고 아시져? 그놈을 매개 방정식으로 쓰면 다음과 같습니다. x=a(Θ-sinΘ),y=a(1-cosΘ) 그럼 x,y에 관한 직교좌표로 쓰면 어떻게 나타내질까요? 다음과 같습니다. x=a*arccos{(a-y)/a}±Sqrt[2ay-y^2] 입니다.
그런데 이걸 보자마자 '아!! x=a*arccos{(a-y)/a}±Sqrt[2ay-y^2] 이놈은 2*Pi*a 지점에서 첨점을 가지겠군ㅋㅋ 넘쉽당 ㅋㅋ' 이라고 생각 할 수 있는 사람이 과연 몇명이나 될까요... 물론 공부양에 따라서 금방 구하시는 분들도 계시겠지만 아닌 분들이 더 많을 거라고 저는 생각해요.. 이런 관점에서 일반적으로 함수식만 보고 첨점을 알아내는 일은 많은 시간과 노력을 투자해야 한다고 말씀드린거에요 ^^& 도움이 되셨는지 모르겠네요
수학그게뭔데 님 말씀처럼, 일반적인 함수의 그래프 개형 찾는 건 쉬운일이 아닙니다. 그래서 컴퓨터 프로그램을 이용을 하는데, 이것의 원리는 적당히 많은 값을 실제로 계산해서 값을 구하는 식입니다. 함수가 최소한 연속성이라도 있으면 이런 방법도 의미가 있지만 일반적인 함수는 연속성도 깨지는 경우가 많기 때문에, 일반적인 방법이란 있을 수 없습니다.
곡선적이면서 첨점을 찾는다는 것은 '연속하고' 미분 불가능한 점이 '불연속' 적으로 있는 경우를 가정한 경우겠네요. 이 가정이라면, 일단 미분을 해서 미분값이 계산되지 않는 부분을 찾을 수 있습니다. 그리고 그 값을 제외한 부분을 토막토막 잘라내서 우리가 알고 있는 일반적인 방법으로 구해주는 식으로 구합니다.
도함수가 y값을 두개 갖는다기 보다는, 그냥 그 값에서 도함수 값이 존재하지 않는걸 찾는 겁니다. (정확히는 도함수가 존재하지 않는 점. 일명 미분 불가능한 점) 그냥 어렵게 생각하지 마시고, 뭔가 부자연 스러운 점들을 일단 다 고릅니다. 만약 실수에서 a, b, c, ..를 골랐다고 합시다. 그럼 그 구간을 (-무한, a) (a,b) (b,c) 이렇게 나눠준다음 각 구간에서 모양을 그리는 겁니다. (각 구간은 미분 가능할테니 이건 그릴 수 있겠죠) 보통은 그런식으로 함수의 개형을 잡습니다.
첫댓글 2번은 좌미분계수랑 우미분계수가 다르면 저렇게 나오죠. 저거는 좌미분계수가 양수고 우미분계수가 음수겠네요.
1번은 해당부분의 극한값을 구하면 무한대로 발산하겠죠. 그리고 만나지않는건 우극한이랑 좌극한이 다를때 안만나구요.
제 관점에서 보건대 님의 질문은 그래프내에 저런 첨점이 존재한다면 함수식에서 어떻게 찾아서 그려줄까 라는거 같습니다 (제가 잘못 판단 했을수도 있지만..)
제가 알기론 일단 일반적인 다항함수의 경우에는 그런 일이 절대 없습니다 또 다항식으로만 이루어진 유리함수나 무리함수의 경우 크게 어렵지 않게 미분 가능,불가능한 지점을 찾을수 있을것입니다 (근데 아닐 수도 있습니다 저도 초보라서;) 그럼 초월함수의 경우를 생각 해봐야 할 것입니다
결론부터 말하자면 사실 함수의 개형을 찾는 다는것은 프로수학자들 에게도 쉬운일이 아닙니다.예를 들어 보겠습니다
1/{(x^3)(sinx)^2} 은 단순히 x^3 곱하기 sinx의 제곱을 역수시킨 함수 일 뿐입니다 근데 이놈은 정말 무시무시 하게 생겼습니다... 이런 복잡하게 생긴 예는 얼마든지 만들수 있겠져 ㅎㅎ?
님 질문이랑 조금 동떨어져 버렸네요;;; 좋은예 였는지는 모르겠지만 여튼 함수식만 가지고 그래프 개형을쉽게 찾는 방법은 정말 쉽게 찾을수 있는 함수를 제외하고는 어느정도 시간과 노력을 투자해야 되는것 같습니다 ^^
궤뤠궤뤠궤뤠궤뤠님// 저 첨점인 지점이 어딘지 알고 x값을 대입해서 좌미분계수와 우미분계수가 다른지점을 찾나요;;?;;;
질문 다시봐주세요.ㅠㅠ.
수학그게뭔데님// 네. 님의 첫번째 댓글대로 제 질문이 바로 그거입니다.
첨점이 있는지도 판별해야 하는데, 그걸 어케해주어야 하느냐 입니다.
일단 '그거 무쟈게 어려워요!'라는식의 답변만 해주셨는데..ㅠㅠ.. 그 예라도 듣고자 여기와서 여쭤보는겁니다;;;
도함수를 구하면되죠. 도함수가 y'=[x^2]+x 이런식이면 x^2이 정수일떄마다 좌미분계수랑 우미분계수랑 다르겠죠.
아니면 y=|cosx|면 x=파이/2+n파이 일때마다 다르게나오겠죠. 아무 예도 없이 좌미분계수랑 우미분계수가 다를 때를 판단할수 있는 일반적인 방법을 알려주라고 하면 당연히 대답을 못하죠.
위에서 극값은 도함수=0일때 찾는다고 하셨는데 그럼 도함수=0인점은 어떻게 판별해서 그걸 구하냐고 물어보면 어떻게 답하실겁니까 ㄱ- y'=(3^logx)-2x에서 y'=0이 되는 점을 어떻게 구하실래요. x=0.1일때랑 x=10일때를 이용해서 중간값정리쓰면 분명 y'=0인점이 존재하는데요. 그 값은 어떻게 구할껀데요.
도함수 0인점은 도함수=0 꼴 만들어서 근 구하면 되요;;;; 헌데 좌미분계수 우미분계수 둘다 다른값을 한번에 같는 상황은... 음... 도함수의 y값이 양수음수 둘다 가지는 경우를 찾아야 하는데;;; 뭐랄까... 지금 제가 그린 그래프 보시면 그것도 양수쪽 기울기값과 음수적 기울기값이 좀 다르잖아요. 이경우는 제곱근 뭐 이런것도 안되는데;;;
에고..@..@;;
그럼 첨점에 초점을 맞춰서 예를 하나 더 들어 볼게용 cycloid라고 아시져? 그놈을 매개 방정식으로 쓰면 다음과 같습니다. x=a(Θ-sinΘ),y=a(1-cosΘ) 그럼 x,y에 관한 직교좌표로 쓰면 어떻게 나타내질까요? 다음과 같습니다. x=a*arccos{(a-y)/a}±Sqrt[2ay-y^2] 입니다.
cycloid? @..@;;;; 넘 어렵게 가시네요.. 고교과정만으로는 설명이 무리였던거군요... 물어본것 자체가 죄송하네요.ㅠㅠ..
어떻게 생긴넘인지 조차 상상이 안될만큼 어려워 보이는데 거기서 첨점을 찾기랑 더 어렵겠죠? 하지만 이놈은 생각보다 엄청 단순하게 생겼습니다. 덧붙여 모든 2*Pi*a지점에서는 다 첨점을 가집니다.
그런데 이걸 보자마자 '아!! x=a*arccos{(a-y)/a}±Sqrt[2ay-y^2] 이놈은 2*Pi*a 지점에서 첨점을 가지겠군ㅋㅋ 넘쉽당 ㅋㅋ' 이라고 생각 할 수 있는 사람이 과연 몇명이나 될까요... 물론 공부양에 따라서 금방 구하시는 분들도 계시겠지만 아닌 분들이 더 많을 거라고 저는 생각해요.. 이런 관점에서 일반적으로 함수식만 보고 첨점을 알아내는 일은 많은 시간과 노력을 투자해야 한다고 말씀드린거에요 ^^& 도움이 되셨는지 모르겠네요
이건 그냥 미분한번한뒤 음으로 발산하던 양으로 발산하던 발산하는지점이 곧 첨점이 됩니다만..
발산이요? 저 첨점 보심 아시겠지만, 양의 기울기도 딱 어느선이있고, 음의 기울기도 딱 어느선이 있는데요;;
수학그게뭔데 님 말씀처럼, 일반적인 함수의 그래프 개형 찾는 건 쉬운일이 아닙니다. 그래서 컴퓨터 프로그램을 이용을 하는데, 이것의 원리는 적당히 많은 값을 실제로 계산해서 값을 구하는 식입니다. 함수가 최소한 연속성이라도 있으면 이런 방법도 의미가 있지만 일반적인 함수는 연속성도 깨지는 경우가 많기 때문에, 일반적인 방법이란 있을 수 없습니다.
곡선적이면서 첨점을 찾는다는 것은 '연속하고' 미분 불가능한 점이 '불연속' 적으로 있는 경우를 가정한 경우겠네요. 이 가정이라면, 일단 미분을 해서 미분값이 계산되지 않는 부분을 찾을 수 있습니다. 그리고 그 값을 제외한 부분을 토막토막 잘라내서 우리가 알고 있는 일반적인 방법으로 구해주는 식으로 구합니다.
참.. 그게 뭐하네요.ㅠㅠ;; 지금 감이 안오는게, 도함수의 y값이 2개여야 하는거잖아요. 그것도 양 음 식으로...
문제는 그게 켤레근이란 보장도 없는거고... 여튼, 이 상황은 도무지 마딱드려본적이 없는지라;;
미분해서 안구해지는... 이라고 보면 되는걸까요?
y^2 = x^2 + x +...어쩌고.. 식으로 놓고 해야하는건가? 이럼 근이;;;
아..(_ㅠ_ㅠ)_... 단순히 함수의 극한값 찾기에서, '진짜 극한값적이게 '좌,우'가 서로 같은지점으로 오는가.' 라는 거 하나 알아보려고 고민하다가. 결국 밑의 질문글에서 "함수 그리면 되요. 다 그려져요." 라고 한거에 삘받아서 그려보다가...........
이래 첨점인 경우는 안그려져서 난감해하
다 이게 대체 뭥미..(_ㅠ_ㅠ)_.... 그냥 도함수에서 미분 불가능 지점이라 하시면... 도함수가 무연근을 갖는 지점이라고 하시는건데;;; 그게 그 x지점에서 y값이 존재치 않는것인데요. y값이 존재치 않는데 무슨 기울기가 2개가 존재한다고 말할수 있을까요?;;;
결국 도함수가 y값을 2개 갖는 x근. 을 찾는건데;; 이런 식이 가능한지;;;
도함수가 y값을 두개 갖는다기 보다는, 그냥 그 값에서 도함수 값이 존재하지 않는걸 찾는 겁니다. (정확히는 도함수가 존재하지 않는 점. 일명 미분 불가능한 점) 그냥 어렵게 생각하지 마시고, 뭔가 부자연 스러운 점들을 일단 다 고릅니다. 만약 실수에서 a, b, c, ..를 골랐다고 합시다. 그럼 그 구간을 (-무한, a) (a,b) (b,c) 이렇게 나눠준다음 각 구간에서 모양을 그리는 겁니다. (각 구간은 미분 가능할테니 이건 그릴 수 있겠죠) 보통은 그런식으로 함수의 개형을 잡습니다.
일단 다른방식으로 해결중입니다. 데넵님 진심으로 감사드렸어요.꾸벅.(_ _)
아 그렇군요~ 그래프그리는 방법중 하나는 등경사선과 선소를 이용해서 그리는방법이있는데 그래프개형에 큰 도움을 주는것 같습니다
등경사선, 선소... <- 전부 대학 수학과 과정인가요? @.@;;;;
그건 아니고 용어가 그런거지..그냥 초기조건이 주어지고나서 미분값들을 등고선처럼 그려서 각 지점마다 기울기값을
선소(짧은선)으로 표시해서 연결시켜서 그리는 대략적인 그래프그리기 방법을 말하는겁니다,
여튼 개념 안배운 입장에서는 어렵네요.^^;; 다그렇듯 말이죠..ㅎㅎ. 어쨋든.. 희소식 하나. 직접 그려서 푸는.. 방식 말고 다른방식을 찾아서 거의 해결보고 있습니다. 그동안 신경써주셔서 너무 감사드립니다. 꾸벅.(_ _)