케일리-해밀턴 정리는 왜 만들었죠?

[무무]

왜 만들었을까요. 그리고 행렬 A가 단위행렬의 실수배가 아닐때 A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=0의 식이 A의 행렬을 무조건 만족한다(혹은 필요충분 조건이다)는 풍문이 떠도는데요. 틀리지 않았나요? 제시된 이차식이 A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=0로 표현되어 있다고 해서 행렬 A가 a, b, c, d를 원소로 갖지는 않잖아요

그리고 추가로, A가 단위행렬의 실수배가 아닐때, 행렬 A는 케일리 해밀턴정리만을 만족하는 이차식 하나밖에 만들지 못하나요?

[Allen]

케일리해밀턴 정리는 저게 아니라요 훨씬더 일반적입니다. 행렬의 n차곱을 훨씬더 일반화해서 나타낼 수 있으며 계산에 용이하기 때문에 만들었습니다. 선형대수책이나 공업수학책에 보면 일반화된 케일리해밀턴정리가 나오니 찾아보도록하세요 ㅎ

[세원군]

이차식이 추가로 생기지 않는가는, 간단하게 증명이 가능합니다. A^2+lA+kE=0와 A^2+mA+nI=O가 성립하면 (l-m)A+(k-n)I=O가 성립하고, 따라서 A가 영행렬이 아닌이상은 A는 단위행렬의 실수배가 되므로, 가정의 모순이 생기죠. 만약 실수배라면 그 형태는 다양할 수 있겠지만요.(특정 값을 근으로 갖는 이차식은 무한..)