<P>아, 물론 지금까지 1부터 자연수라고 잘 배워온 고등학생입니다만.. </P>
<P>예전에 블로그 같은데를 돌아다니다 중국에서는 0도 자연수에 포함한다고 하고 들은것 같아서 질문합니다.</P>
<P>제목이랑 좀 다르지만 자연수의 국제적인 정의 같은게 명확하지 않은건가요?</P>
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무슨 근거로 분명히 0은 자연수가 아니라고 단언할 수 있는지 모르겠네요. wikipedia에서 자연수를 찾아봐도 There is no universal agreement about whether to include zero in the set of natural numbers 라고 나옵니다. 제가 알기로도 그렇고 정수론 전공이 아님에도 제가 본 많은(다수라고는 할 수 없겠지만) 정수론 책에서도 0을 포함해서 자연수라고 하기도 합니다. 이 둘사이에 상호 모순이 없고 어느 한쪽이 다른 한쪽보다 나은 정의라고 할만한 이론적 근거도 없지요.
0을 빼는 이유는 오히려 0이 최근에 발견되었기 때문입니다. 페아노 공리를 들먹이는데 자세히 들여다보면 최소자연수를 굳이 1이라고 정의할 필요가 없어요. 0에서 시작하든 1에서 시작하든 논리적으로는 마찬가지 입니다. 오히려 0에서 시작한다고 생각하는게 더 자연스럽고 (공집합에서 시작하니까) 굳이 0을 빼가면서 정의해야만 하는 이유가 있나 하는 것부터 생각해보는게 바른 논리적 추론이겠죠. 다시 한 번 말하지만 자연수에 0을 넣어야 할 이유도 없지만 굳이 0을 빼야할 이유가 없고 많은 현대 수학자들이 0을 포함한 자연수 체계를 인정하고 있다는 것이 사실입니다.
페아노 공리에는 0을 최소인 원소로 하라는게 없어요. 다만 어떻게 자연수 체계를 construct하느냐 하는 원칙만 주어져있고 이것의 실제적인 model이 우리가 사용하는 자연수에요. 이 model을 만들때 0을 넣어야되냐 말아야되냐는 공리에 대한 개별 모델이기 때문에 이 모델이 공리랑 모순을 일으키지 않는다면 이것이 참이냐 거짓이냐 를 따지기 보다는 어느쪽이 더 널리 사용되느냐를 따져야하는데 0을 포함하거나 하지않는 모델 어느쪽이라도 dominant하지 않다는게 지금 현대 수학이라고 보면 됩니다. 고등학생들이 이해하기는 어려우니 자연수란것은 0을 포함하기도 하고 포함하지 않기도 하니까 책에 따르면 된다. 정도로 하는게 맞겠네요.
또 한 번 오해하는 것 같아서 다시 쓰는데 최소한의 원소를 무얼로 보는 게 많은 이들의 관점인지가 수학적 논쟁의 대상입니다. 현대 수학이란 것은 결국 공리계라고 말하는 일종의 명제들이고 이것을 나타내주는 모델이 무엇이냐는 수학적으로 아주 중요하니까요. 우리가 공리만 가지고 뭐 하는거 아니잖아요? 공리계를 나타내주는 모델 언어를 이용하는거지? 당연하게 어떤 모델이 합당한 모델이냐에 대한 논의는 타당하고 공리가 시대에 따라 달라져왔듯이 우리가 합당하다고 하는 모델들도 시대에 따라 바뀌어왔고 이에 대한 논의는 아주 정당하고 중요한 것입니다.
첫댓글 0은 그냥 0입니다....중, 고등학교 과정에서 정수를 양의 정수, 음의정수, 0 세가지로 구분을 합니다....여기에서 양의 정수는 자연수이고요....
저는 중국에서 0이 자연수에 포함된다는 걸 아직 들어보진 못했네요^^;
국제적인 정의가 아니라 책 쓰는 사람마다 조금씩 다른 겁니다. 중국학자들이 그런 경향성을 가지는 지는 모르겠고.... 일반적으로 받아들여지는 정의는 0이 안들어가지만 학자마다 조금씩 다릅니다. 그래서 책을 잘 읽어야되는거죠.
일부수학분야에선nonnegative를posotive보다선호하는경향이있으나분명히0은자연수가아닙니다..^^대수에서자연수집합을곱은되어도덧셈에대한monoid로간주하지않는걸로압니다.항등원1은있지만항등원0은없기때문이지요.
무슨 근거로 분명히 0은 자연수가 아니라고 단언할 수 있는지 모르겠네요. wikipedia에서 자연수를 찾아봐도 There is no universal agreement about whether to include zero in the set of natural numbers 라고 나옵니다. 제가 알기로도 그렇고 정수론 전공이 아님에도 제가 본 많은(다수라고는 할 수 없겠지만) 정수론 책에서도 0을 포함해서 자연수라고 하기도 합니다. 이 둘사이에 상호 모순이 없고 어느 한쪽이 다른 한쪽보다 나은 정의라고 할만한 이론적 근거도 없지요.
Positive,입니다.폰은오타가잦네요..;;
모노이드라함은결합법칙은주어진연산에대해성립하고그연산에대한항등원까지갖는경우를말합니다.
제가근거로삼는건peano공리다섯가지입니다.공리이니혹자에따라받아들이지않아도문제될건없겠네요..;;이공리계에선1을최소한의원소로받아들이고일보다작은건없다고간주하는걸로알고있습니다.그리고자연수를연산을줘서construction하구요.
다만제가인터넷찾다가보있던자료는0을최소의원소로받아들이고자연수를구축한후에0을빼고정의하는걸본적이있네요.제생각에standard하다고여기는근거는이러합니다.^^
0을 빼는 이유는 오히려 0이 최근에 발견되었기 때문입니다. 페아노 공리를 들먹이는데 자세히 들여다보면 최소자연수를 굳이 1이라고 정의할 필요가 없어요. 0에서 시작하든 1에서 시작하든 논리적으로는 마찬가지 입니다. 오히려 0에서 시작한다고 생각하는게 더 자연스럽고 (공집합에서 시작하니까) 굳이 0을 빼가면서 정의해야만 하는 이유가 있나 하는 것부터 생각해보는게 바른 논리적 추론이겠죠. 다시 한 번 말하지만 자연수에 0을 넣어야 할 이유도 없지만 굳이 0을 빼야할 이유가 없고 많은 현대 수학자들이 0을 포함한 자연수 체계를 인정하고 있다는 것이 사실입니다.
페아노 공리에는 0을 최소인 원소로 하라는게 없어요. 다만 어떻게 자연수 체계를 construct하느냐 하는 원칙만 주어져있고 이것의 실제적인 model이 우리가 사용하는 자연수에요. 이 model을 만들때 0을 넣어야되냐 말아야되냐는 공리에 대한 개별 모델이기 때문에 이 모델이 공리랑 모순을 일으키지 않는다면 이것이 참이냐 거짓이냐 를 따지기 보다는 어느쪽이 더 널리 사용되느냐를 따져야하는데 0을 포함하거나 하지않는 모델 어느쪽이라도 dominant하지 않다는게 지금 현대 수학이라고 보면 됩니다. 고등학생들이 이해하기는 어려우니 자연수란것은 0을 포함하기도 하고 포함하지 않기도 하니까 책에 따르면 된다. 정도로 하는게 맞겠네요.
한편으로는 그렇기 때문에 공리입니다. 최소한의 원소를 무얼로 보는 게 많은 이들의 관점인지는 수학적 논쟁의 대상은 아닌 것 같네요. 제 의견이 잘못되었다면 수정합니다.
또 한 번 오해하는 것 같아서 다시 쓰는데 최소한의 원소를 무얼로 보는 게 많은 이들의 관점인지가 수학적 논쟁의 대상입니다. 현대 수학이란 것은 결국 공리계라고 말하는 일종의 명제들이고 이것을 나타내주는 모델이 무엇이냐는 수학적으로 아주 중요하니까요. 우리가 공리만 가지고 뭐 하는거 아니잖아요? 공리계를 나타내주는 모델 언어를 이용하는거지? 당연하게 어떤 모델이 합당한 모델이냐에 대한 논의는 타당하고 공리가 시대에 따라 달라져왔듯이 우리가 합당하다고 하는 모델들도 시대에 따라 바뀌어왔고 이에 대한 논의는 아주 정당하고 중요한 것입니다.
별 생각없이 편하게 댓글을 달았는데 배우는 게 많네요. ^^
허걱~님 말씀 틀린 것은 아니지만, 지금 여기는 고등 게시판인데
정수론 같은 대학 교육 과정의 내용을 이야기 하는 것은 조금 아니라고 봅니다.
고등 게시판의 답변은 고등교육 내에서 답변하는 것이 질문 하는 사람에게
혼란을 가져오지 않을 것이라 생각합니다..