스크랩 요일 맞히기 - 수학으로 본 달력

[미리내]

프린스턴 대학의 수학과 교수이자, 수많은 수학적 게임의 창시자이기도 한 콘웨이(John Horton Conway) 교수의 연구실 부근에는 아무나 쓸 수 있는 컴퓨터가 한 대 놓여 있다고 한다. 이 컴퓨터를 사용하려면 화면에 뜨는 질문에 대한 정답을 10초 안에 입력해야 하는데, 그 질문은 무작위로 제시되는 날짜의 요일이 무엇이냐는 것이라고 한다. 컴퓨터 없이 날짜만으로 요일을 알아내려면 어떻게 해야 할까? 이번 글에서는 요일을 알아맞히는 방법에 대해 알아보자.

요일의 기원은?

현재 우리가 사용하는 7요일의 기원은 분명하지 않다. 고대인들이 천문 현상을 관측하여 만든 것은 분명해 보이지만, 최초의 기원을 명확히 밝히기는 어렵다. 고대인들은 하늘을 관찰하다가 보통의 별과는 다른 다섯 개의 천체를 발견하였다. 그것은 수성, 금성, 화성, 목성, 토성의 다섯 행성이었다. 참고로 중국과 우리나라에서는 행성(行星)이라는 용어를, 일본에서는 혹성(惑星)이라는 용어를 사용한다. 이 다섯 행성에 태양과 달을 더한 일곱 개의 천체가 고대에는 가장 중요한 관측 대상이었다. 고대인들은 이 일곱 천체가 번갈아 가며 하루를 지배한다고 생각하여 일주일이라는 기간을 생각해내었다. 요일(曜日)의 曜가 “빛날 요”이므로, 일요일(日曜日)은 태양이 빛나는 날, 월요일(月曜日)은 달이 빛나는 날, 화요일(火曜日)은 화성이 빛나는 날, 이런 뜻이 된다. 이는 후세에 영향을 미쳐, 이 착상은 전 세계에 퍼져 나갔다.

요일이 불규칙한 것은 현재 사용하는 그레고리력의 큰 단점이다.

불규칙한 요일이 문제

지난 글에서 율리우스력에 대해 살펴보았는데, 이 역법은 정밀하기는 하지만 한 달의 날수가 제각각이어서 요일이 너무 불규칙하게 변한다. 여기에 그레고리력의 윤년 계산까지 더해지면 날짜만 보고 요일을 알아내는 것은 더욱 힘든 일이 된다. 이 때문에 날짜와 요일을 고정하는 새로운 역법을 고안하기도 하였지만, 실제로 사용하기는 어렵다. 어차피 이제 와서 바꾸기도 어렵고. 이런 이유로 사람들은 날짜로부터 요일을 계산해 내는 공식을 만들기 위해 각양각색의 아이디어를 내었다.

가장 알기 쉬운 방법은 주어진 날짜가 오늘로부터 며칠 뒤인지를 일일이 세는 것이다. 예를 들어, 2012년 12월19일이 무슨 요일인지 알아보자. 오늘이 2010년 2월 16일 화요일이니, 일단 2012년 2월 16일까지는 꼭 2×365=730일이 걸린다. 다시 한 달 뒤인 3월 16일까지는 28일을 더해야 하는데, 2012년 2월이 윤달이므로, 다시 하루를 더하여 730+29=759일. 12월까지는 아홉 달이 더 지나야 하므로, 759+31+30+31+30+31+31+30+31+30=1034일이 지나면 12월 16일이 된다. 여기서 사흘이 더 지나면 되니까, 2012년 12월 19일은 오늘로부터 1037일이 지난 날짜이다. 요일은 7일마다 반복되고 1006을 7로 나누면 1가 남으니까, 화요일로부터 하루가 지나면 수요일이 된다. 네이버의 달력 사이트를 이용하면 수요일임을 확인할 수 있다.

물론 이런 계산을 정말로 일일이 다 할 필요는 없고, 중간마다 7로 나눈 나머지를 사용하는 것이 훨씬 경제적이다. 예를 들어, 1년의 날수 365는 7로 나누어 1이 남으니까, 윤달이 끼지 않는 한 1년 후 같은 날짜의 요일은 항상 하루 뒤가 된다.

요일을 계산하는 첼러의 공식 

원리적으로는 분명히 앞서 설명한 대로 계산하면 되지만, 아무래도 너무 불편하다. 게다가 불규칙하게 나타나는 30과 31을 반복해서 더하기도 쉽지 않다. 이런 사람들을 위하여 독일의 수학자 첼러(Julius Christian Johannes Zeller, 1822-1899)는 년, 월, 일을 대입하면 그 날짜의 요일을 바로 알 수 있는 다음과 같은 공식을 만들었다.

이 공식에서 q는 일, m은 월, K는 연도의 마지막 두 자리 수, J는 연도의 앞 두 자리 수이다. 또, 기호 [ ]는 그 수를 넘지 않는 최대의 정수를 뜻한다. 마지막의 mod 7은 7로 나눈 나머지를 구하라는 뜻이다. 이 계산 결과, h=1이면 일요일, h=2이면 월요일, …, h=6이면 금요일, h=0이면 토요일이 된다.

이 공식을 사용할 때는 주의할 점이 있다. 요일 계산에서 언제나 문제가 되는 것은 윤달인 2월로, 한 해의 첫 달도 아니고 마지막 달도 아닌 이상한 위치에 있기 때문이다. 이런 이유로, 위의 공식에서 1월과 2월은 그 앞 해의 13월과 14월로 생각한다. 앞서 살펴보았던 2012년 12월 19일을 다시 계산해 보면, q=19, m=12, K=12, J=20이므로 다음과 같이 되고,

이 값을 7로 나누면 4가 남는다. 따라서 일월화수목금토의 네 번째 요일인 수요일이 된다. 앞서 일일이 세는 방법보다 크게 나아 보이지 않지만, 그래도 꽤 쓸모가 있는 공식이다. 특히, 지금과 연도의 차이가 큰 경우는 아무래도 이런 공식을 쓰는 쪽이 오류가 생길 가능성이 작다. 그리고 무엇보다 컴퓨터 프로그램으로 구현하기가 쉽다는 점이 큰 장점이다. 그렇지만 이 방법으로는 도저히 콘웨이 교수의 컴퓨터를 사용할 수가 없다. 더 빠른 방법은 없을까?

요일을 구하는 컴퓨터 프로그램을 만들 때 첼러의 공식이 유용하다.

둠스데이 알고리즘 – 10초 내에 암산으로 요일 맞추기

날짜를 일일이 세는 첫 번째 방법이나 첼러 공식을 이용하는 두 번째 방법 모두 계산이 많아 문제라면, 적당한 부분을 외워서 처리하는 것으로 계산을 줄이는 것이 도움될 것이다. 우선 달마다 요일이 같은 날짜들을 알고 있다면 날짜를 셀 때 훨씬 효율적이다. 콘웨이는 이런 날짜들을 둠스데이(운명의 날)라 불렀다. 콘웨이가 제시한 둠스데이는 다음과 같다.

 

                4월 4일, 6월 6일, 8월 8일, 10월 10일, 12월 12일 (월과 일이 같다)
                5월 9일, 7월 11일, 9월 5일, 11월 7일 (“7-11에서 9-5로 일했다”로 외운다.)
                1월 31일 (윤년인 경우는 1월 32일, 즉 2월 1일)
                2월 마지막 날 (평년인 경우는 2월 28일, 윤년인 경우는 2월 29일)
                3월 0일 (즉, 2월과 같은 날짜를 사용한다.)

한국에서라면 3월의 둠스데이로 3월 14일을 선정하여 “원주율 3.14”로 외우는 것도 나쁘지 않을 것 같다. 이제 남은 일은 둠스데이의 요일을 알아내는 것이다. 우선 콘웨이는 요일의 이름을 숫자와 연결하여 다음과 같이 외우기 쉽도록 정하였다.

                    

일요일부터 차례대로 0, 1, …, 6이니까 별로 어려울 것 없다. 2000년부터 2099까지는 둠스데이를 계산하는 기점이 화요일(Twosday)이 된다. 콘웨이는 2000이 Y2K라는 데 착안하여, Y-Tue-K로 외우도록 하였다. 예를 들어 2012년의 둠스데이가 무슨 요일일지 알아보자.

 

                1. 연도의 마지막 두 자리를 12로 나눈 몫을 구한다. 이 경우 [12/12]=1
                2. 연도의 마지막 두 자리를 12로 나눈 나머지를 구한다. 이 경우 12 mod 12 = 0
                3. 앞서 구한 나머지를 4로 나눈 몫을 구한다. 이 경우 [0/4]=0
                4. 세 수를 모두 더한다. 이 경우 1+0+0=1
                5. 기점일로부터 위에서 구한 수만큼 센다. 이 경우 Twosday+1 = Treblesday

계산 결과, 2012년의 둠스데이는 모두 수요일(Treblesday)이 된다. 조금 복잡해 보이기도 하지만, 둠스데이의 요일만 알고 나면 그다음은 아주 쉽다. 앞서 계산해 보았던 2012년 12월 19일의 요일을 다시 구하여 보면, 이 날은 둠스데이인 12월 12일로부터 꼭 7일 뒤니까, 2012년 12월 19일의 요일 또한 수요일이다.

둠스데이를 계산하는 기점은 100년마다 바뀌게 된다. 1800년부터 1899년까지는 금요일(Fiveday), 1900년부터 1999년까지는 수요일(Treblesday), 2100년부터 2199년까지는 일요일(Noneday)이고, 그레고리력이 400년마다 달력이 같아지므로, 2200년부터는 100년마다 금요일, 수요일, 화요일, 일요일 순서로 반복된다.

1945년 광복절은 수요일

예를 하나 들어보자. 과거로 거슬러 올라가, 1945년 8월 15일 광복절이 무슨 요일이었을지 계산하여 보자. 기점이 되는 요일은 수요일이다.      1. 연도의 마지막 두 자리 45를 12로 나눈 몫은 3    2. 연도의 마지막 두 자리 45를 12로 나눈 나머지는 9    3. 나머지 9를 4로 나눈 몫은 2    4. 세 수를 모두 더한 다음 7로 나눈 나머지를 구하면 0    5. 기점일인 수요일(Treblesday)로부터 세면 둠스데이는        수요일이다. 8월의 둠스데이는 8월 8일이므로, 7일을 더해야 한다. 따라서 1945년 8월 15일은 수요일이었다. 날짜를 보자마자 단번에 요일을 알 수 있을 정도로 간단한 방법은 아니지만, 이 정도라면 조금 더 연습하면 10초 정도에 요일을 알아내는 것이 불가능하지는 않다. 혹시 프린스턴 대학에 갈 일이 있는 분은 콘웨이 교수의 컴퓨터를 한번 써 보시길.

1945년8월15일 광복절, 그날은 수요일이었다. <출처 : 도깨비뉴스>