함수의 bais와 고유값문제 그리고 미방의 해....

고유값(eigen value)문제는 아마 선형대수시간에 배우셧을 겁니다.. 선형대수에 다루어지는 행렬은 벡터공간을 표현할때 사용되죠... 사실,벡터나 함수(신호)는 비슷하거던요..... 정규직교좌표계에서 "임의의 벡터 A = A1*e1+A1*e2+A3*e3" 로 표현가능하죠.. 여기서 e1,e2,e3를 x,y,z축방향으로 크기가 1인 단위벡터이죠. 이 단위벡터들을 basis(기저)라고 부르죠..... 기저의 성질은 자신과 내적은 1이고 다른기저와의 내적은 0이죠.. 따라서 "A1=A와 e1의 내적,A2=A와 e2의 내적,... "등으로 나타내죠 그렇다면 함수들도 위와같이 생각해봅시다..... "임의의 함수 f(x)=A1*p1(x)+A2*p2(x)+......"으로 표현할수있죠.. 위의 정리를 발견한 사람이 푸리에입니다.... 즉,일바화된 푸리에급수라고 하죠...(물론,정규화되야하겟죠) (보통,푸리에급수에서 기저함수 pn(x)는 sin(nωt),cos(nωt), exp(jnωt)=e^(jnωt)으로 잡죠...... j:허수) 결국,함수도 basis들의 선형결합으로 나타나죠,, 미분방정식을 고유치문제로 푸는 것은 양자역학에서 사용되더군요.... 특히, 조화진동자해석은 디랙의 연산자개념을 도입해서 행렬로 푸는과정이 있습니다..(정말, 멋지죠..) 하지만 공학에서는 고유치문제로 풀기보다 보통 라플라스변환으로 풀죠... 그런데 저는 이것저것 공부하다 보니 미분방정식까지 저렇게 생각하게 되엇는데요.. 내용이 이해안가시면 나중에 푸리에급수까지 공부하시고 대충 이해해보세요.. 저도 이것저것 공부해서 연관지어서 생각했는건데 별루 자신이 없네요.... ^^;; 저도 예전에 공수배울때 2계미분방정식의 해법의 원리가 무지 궁급했었거든여. --------------------- [원본 메세지] --------------------- 제가 쫌 원어에 약해서 그런데요...^^; (허접해서리..) eigen value ; "고유값" 이죠? 흠.... -.-; 고유값이 왜 있는지 잘 몰랐는데... 선형대수책에서는 Ax=λx 이라고 하길래.. 뭔말인지... (행렬이 고유값인줄 알았죠.. 이땐..-_-;)(크헉.. 고수님들 돌던지지 마세염ㅜㅜ) 미분방정식을 풀 때, 이걸 쓰는 군요...;; (미분도 잘 못하긴 하는데..-.-;; 이런 말 해도 되는지..ㅎ_ㅎ;) >>미분operator의 eigen function을 찾아보면 exp(λx)이죠... >>Dx=dx/dt=λx이므로 이 방정식의 해는 exp(λx)이고 여기서 >>λ는 eigen value가 되죠..... -이 부분이 조금 어려운 것 같아요^^; exp 가 뭐죠? exp(x)가 변하지 않는다는 걸로 봐선 혹시 exp(λx) 가 e^λx 인가요? -_-; 아 글구 basis 는 모에여? (^^;) (.. 어렵당..^^;) 감사하구요... 답변 좀 해주세염....^^: --------------------- [원본 메세지] --------------------- 오일러가 자연대수(e)를 좋아한건 너무나 당연하죠.. 저도 공부를 하면서 느낀건 수학에서 가장 중요하고 멋진넘은 아마 e입니다...... ax``(t) + bx`(t) + cx(t) = 0 하고.. ax²+ bx + c = 0 의 연관성은 단지 항이 같은 것보다... eigen value 문제인것 같네요... 연산자 A와 eigen value λ와의 관계는 Ax = λx 위의 식을 만족시키는 x를 eigen function 및 eigen vactor라고 부르죠,,,,, 미분operator의 eigen function을 찾아보면 exp(λx)이죠... Dx=dx/dt=λx이므로 이 방정식의 해는 exp(λx)이고 여기서 λ는 eigen value가 되죠..... 그리고 n계 미분의 eigen value는 λ^n 이죠... 따라서 ax``(t) + bx`(t) + cx(t) = 0 의 eigen value를 찾아보면 aλ²+ bλ + c = 0의 해가되겟죠.... 결국 미분방정식의 일반해는 eigen value에 해당하는 eigen funtion이 exp(λx)인데 λ의 값이 2개이므로 이둘의 선형결합으로 나타내야하죠.. (왜냐면 exp(λx)이 해공간에서 basis가 되므로 당연히 선형결합으로 나타나겟죠...) 결국 미분방정식을 풀려면 eigen value에 해당하는 eigen funtion 을 찾으면 끝나죠.... 이것을 쉽게 해주는것이 라플라스변환과 푸리에변환이죠.... 결국,exp(x)가 미적분해도 변하지않는것은 이들 연산자의 eigen funtion이기 때문이죠..... --------------------- [원본 메세지] --------------------- 네이피어 로그....^^;; e가 오일러의 수죠..? 왠지 깔끔해 보이는 식이.. 맘이 들었는디.. ^^; e = lim[x->0 ] (1+x)^1/x (또는 같은 뜻으로) e = lim[x->∞] (1+1/x)^x 수학자들은 이런 깔끔한 수(^^;)를 좋아하나 봅니다.. 이 수를 만든 오일러가 이 수를 사랑했다나..? (수학자들... 참 별나죠^^) e^x ...불사의 함수^^; 쫌 서문이 길었구요... 질문..^^; 여기서 ax``(t) + bx`(t) + cx(t) = 0 하고.. ax²+ bx + c = 0 에서 항의 계수가 같기 때문에 연관이 있는 거죠?^^; 첨에는 x하고 t가 다른 수라서 좀 얼떨떨했는데..-.-;