부채꼴 최대넓이문제..

[꺄웅]

문제는요

둘레의 길이가 일정한 삼각형 중 그 넓이가 가장 큰 것은 정삼각형이다. 또, 둘레의 길이가 일정한 사각형 중 그 넓이가 가장 큰 것은 정사각형이다. 그렇다면 부채꼴에서는 어떤 모양일 때 그 넓이가 최대가 되는지 서로 이야기해보자.

저는

반지름을 r이라 놓고 각은 세타, 호의 길이는 r세타 로 해서요.

2r+r세타 = k(일정) ㅡ> r(2+세타) = k 이라 놓고 부채꼴의 넓이가 이분의 일 알 제곱 세타 이니까

세타 자리에 위에식 정리한거 대입해서 최대최소 구하려하는데 못구하겠네요.

[31레벨마법사]

최대 넓이를 구하시려면
반지름을 r. 호의 길이를 l로 놓시면 rl/2지요.

부채꼴이니 반드시 중심각을 놓아야 한다는 것은

고정관념이 낳은 우입니다.

[꺄웅]

음 제 방식대로 풀면 세타/(2+세타)^2의 최대값을 구하면 되는데요. 여기서 미분을 쓰면 세타값이 2가 나와요 답이구요. 근데 고1 수학과정에 있기 때문에 미분을 모르는 사람들은 어떻게 풀지 궁금합니다만.

[김개똥]

d=2r+l이라고 놓으면 s=rl/2이고 이걸 r에 관해 정리하면, s=(d-2r)r/2 니깐 이건 r에 관한 2차방정식이니까 r=d/4 일때 최대값이 나오잖아요. 이걸 d=2r+l에 대입하면 d/2=l이 되고, 세타=l/r=2일때 최대값이요.

[꺄웅]

아 두분다 감사드립니다.

[오대감]

2r + l = 일정.
S= rl/2 = (2r)l/4

S가 최소가 되려면 2r×l 이 최소가 되어야 함.
합이 일정할 때 곱의 최소는 산술기하부등식으로 해결 가능. 2r=l 일 때 곱이 최소.
따라서, 부채꼴의 중심각은 2 rad이 됨.

[31레벨마법사]

여담이지만 요즘도 활동하고 계신 거였군요...

[오대감]

헛...
저를 아시는 분이신가요?
닉넴은 낯익지가 않은데... -_-;

[이은성]

방정식 없이 기하적으로 푸는 것도 괜찮겠네요. 부채꼴을 무수히 잘게 쪼개어 그 반을 역방향으로 쌓으면 직사각형으로 수렴되어지게 됩니다. 이 때 둘레와 넓이는 보존되므로 r세타/2=r 고로 세타는 2라디안.

[꺄웅]

오 감사합니다