절대부등식(부등식 2~ 푸는데 도움될꺼에여)

[좋았어]

다음 두개의 멋진 절대부등식을 소개합니다

a^n +b^n >= a^(n-r)*b^r +a^r*b^(n-r) (n>r, a,b는 실수, n,r은 자연수) ----------------------식1


a^n +b^n =< a^(n-r)*b^r +a^r*b^(n-r) (n



식1 (증명)

준식을 변형하여 항등식을 얻은 후 그 항등식으로부터 역으로 준식을 얻는 방식을 쓰겠습니다


이 때 n-r >= r 이라해도 일반성을 잃지 않는다

준식에서 모두 좌변으로 옮겨 정리하면

a^(n-r)*(a^r-b^r) +b^(n-r)*{a^r-b^r} >= 0

(a^r-b^r){a^(n-r) +b^(n-r)} >= 0 ------------식@


이제 식@가 사실임을 밝히자

a >= b , a < b 일 때 식@는 모두 0 보다 같거나크다.
왜냐면 a^r-b^r 와 {a^(n-r) +b^(n-r)} 는 같은 부호이기 때문이다

그러므로 식@ 가 사실이고,
준식에서 식@ 까지 필요충분조건이므로
준식또한 사실이다

Q.E.D


식2 (증명)

a^n +b^n =< a^(n-r)*b^r +a^r*b^(n-r) (n

여기서 n-r<0 이므로 정부등식 형태로 바꾸면

a^n+b^n =< (b^r)/a^(r-n) + (a^r)/b^(r-n)

a^r*b^(r-n) + a^(r-n)*b^r =< a^(2r-n) +b^(2r-n) --식&

이것은 식1에 n=2r-n ,r=r-n 로 대입하면
얻어지는 식과 같다

그런데 식1 은 증명되었으므로 식& 가 사실이고,
준식에서 식& 까지 필요충분조건이므로
준식또한 사실이다

Q.E.D

(부등식 2~ 를 풀 때 a^3 +b^3 >= a^2*b +a*b^2 (a,b는 실수)를 써써 증명해 보세여)