Re:Re: 아! 식(4)는 등가속좌표변환식이 맞습니다.

[해탈]

>수식에서 (4) 에서
>좌표계 간의 관계식에 의문이 생기네여...
>ct' = ct
>x' = x
>y' = y
>z' = z + ½gt²..........................(4)
>에서여 무중력공간의 좌표계는 x,y,z,t 이고
>g로 등가속운동하는 좌표계는 x',y',z',t'이자나여?
>근데... 등가속좌표계의 속도가 증가하니깐 ct' ≠ ct 일것 같은데여?

지금 확실히 확인했는데,
위의 관계식은 등가속좌표계에 대해 옳습니다.(물론 짧은 시간에 대해서만.)

특수상대론에선 속도가 정해지면 변환식이 하나뿐이지만, 일반상대론에선 굉장히 많이 있을 수 있습니다. 그 이유를 말씀드리기 전에 우선 x,y 좌표축은 생략하도록 하겠습니다. 이 축들로는 변하는게 하나도 없으니까.
그럼, 좌표계는 (ct, z)의 이차원 좌표계가 됩니다.
다시말하면, 관성좌표계는 (ct,z)이고 등가속좌표계는 (ct',z')입니다.

잠깐, 이쯤에서 Cartesian 좌표계와 polar 좌표계에 대해 생각해 보도록 하죠. (이거 중요합니다. 어렵지도 않습니다. Cartesian과 polar를 우리말로 뭐라고 부르는지 모르는데 아시면 리플에 써주세요)
벡터 v가 있는데 Cartesian 좌표계로 v의 성분이 (x,y)라고 합시다.
그럼 이 성분을 polar 좌표계로 표현하면 다음과 같이 됩니다.
x = r cos(a)
y = r sin(a)
역으로
r=(x^2+y^2)^(0.5)
a=arctan(y/x)
그럼 벡터 v의 크기를 각 좌표계의 성분으로 표현하면 어떻게 될까요?
Cartesian좌표계 특히 행렬로 표현하면 다음과 같이 됩니다.
|v|^2 = x^2 + y^2 = (x y) (1 0) (x)
......................................(0 1) (y)
이때, 행렬 (1 0) 을 metric 행렬이라고 부릅시다.
................(0 1)
이 메트릭 행렬은 Cartesian 좌표계에서 위와 같은 특정한 형태가 됩니다.

자, 이번엔 polar좌표계에서 벡터 v의 크기를 표현해보죠.
|v|^2 = r^2 = (r a) (1 0) (r)
............................(0 0) (a)
마찬가지로 (1 0) 을 metric 행렬이라고 부릅시다.
.................(0 0)

금방 알 수 있다시피 polar 좌표계에서의 메트릭 행렬과 Cartesian 좌표계에서의 메트릭 행렬의 형태가 다릅니다.

어쨌거나 둘다 같은 벡터 v의 크기를 줍니다.
(이쯤되면 눈치채셨을지도 모르지만 계속하겠습니다.)

즉, 같은 벡터의 크기를 주지만, 좌표계를 어떻게 설정하느냐에 따라 좌표성분이 다르고 메트릭행렬이 다릅니다.

여기서 만약 메트릭행렬을 정해 버려 봅시다.
예를 들어 (1 0) 이라고 정합시다.
................(0 1)
그럼 같은 벡터의 크기를 주기 위해 가능한 좌표계는 어떤 것들이 있을까요?
첫번째, 분명히 Cartesian 좌표계가 하나 있겠죠. 왜냐면 위에서 봤으니까..
두번째, Cartesian 좌표계를 평행이동한 좌표계가 가능합니다.
세번째, Cartesian 좌표계를 원점을 중심으로 회전한 좌표계가 가능합니다.
그이외에도 여러가지가 있지만 이쯤하겠습니다.
중요한 것은 polar좌표계는 불가능하다는 겁니다.
이유는 당연히 polar좌표계의 메트릭행렬은 정해진 메트릭행렬과 다르기 때문입니다.

상대론에서 이와 비숫한 것을 본적이 있으십니까?
네 있습니다.
특수상대론에서 메트릭 텐서는 Lorentz tensor로 정해져 있습니다.
왜냐면? 특수상대론에선 관성좌표계만 다루기 때문입니다.
즉, 관성좌표계에서 메트릭텐서는 항상 Lorentz tensor입니다.
만약 좀더 일반적인 (비관성)좌표계를 다루면 polar좌표계의 경우처럼 메트릭텐서가 달라질까요?
아.. 아닙니다. 메트릭텐서는 변하지 않습니다.
하지만 실망하지 마세요. 메트릭텐서의 성분은 달라집니다.

다시 원래로 돌아가서 관성좌표계는 (ct,z)이고 등가속좌표계는 (ct',z')였습니다.
만약 둘다 관성좌표계였다면 잘아는 Lorentz 변환식으로 연결되어야 합니다.
하지만 다른 하나가 등가속좌표계니까 그럴필요가 없습니다.

한편, 관성좌표계에서 메트릭텐서는 로렌츠텐서입니다만, 비관성좌표계에서의 메트릭텐서는 아직 결정되지 않았습니다.
제가 결정할 겁니다. (하지만 제 맘대로 결정하는게 아니라 4벡터의 크기가 변하지 않도록 결정할 겁니다.)
제가 메트릭텐서를 어떻게 결정하느냐에 따라 좌표사이의 변환식도 달라집니다.
또는 반대로 좌표사이의 변환식이 결정되면 등가속좌표계의 메트릭텐서가 결정됩니다.

따라서 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

우리는 다음과 같은 변수들이 있습니다.
1. 등가속좌표계의 메트릭 텐서의 성분. 현재 우리는 (ct,z)이렇게 2차원만 다루고 있다는 것을 명심하세요. 2차원행렬의 변수는 4개입니다. 그런데 메트릭텐서는 대칭입니다. 하나 줄어서 3개의 변수가 있습니다.
2. 좌표변화식에서도 2차원에서 2차원으로 변하므로 변환행렬의 성분은 4개있습니다.
따라서 우리가 갖고 있는 변수는 모두 7개 있습니다.

우리가 만족시켜야하는 조건들이 있습니다.
1. 변환전이나 변환후나 4벡터의 크기는 같아야 한다. 조건 3개.
2. 등가속좌표계는 z축방향으로 등가속되고 있다. 조건 1개.
그래서 우리가 갖고 있는 조건은 모두 4개 있습니다.

변수들 중 3개가 결정되지 않고 남습니다. (혹시 남은 3개의 변수가 모두 메트릭텐서의 성분일거라 생각하지 마십시요. 제발... 이것과 관련되 질문을 받지 않길 비옵니다.)
이것은 같은 물리적 의미를 갖지만 다르게 보이는 좌표변화식이 굉장히 많이 있다는 것을 의미합니다.

참고로 관성좌표변환인 경우를 생각해 보겠습니다.
우선 조건은 달라질 것 없이 4개입니다.
반면에 메트릭텐서는 결정되어 있으니 변수가 될 수 없고 따라서 4개의 변수만 있습니다.
변수와 조건이 같은 수이므로 변환식은 한가지로 정해져 있습니다.