흥미돋 가만히 있으면 더 빨리 늙는 이유를 상대성이론이 밝혀냄

[반박충]

출처: 여성시대 반박충

이 세상에 빨리 갈 수록 느려지는 것이 있다면?
넌센스 퀴즈같지만, 답은 시간이다.

정지해있는 사람에게는 움직이는 사람의 시간이 느리게 흐르기 때문이다.

1905년 아인슈타인이 정립한 특수상대성이론에 기반한 
1) 빛은 진공속에서 일정한 속력으로 움직인다
2) 모든 가속도의 영향을 받지 않는 프레임(관성계)에서의 물리법칙은 동등하다
이 두 가지 가정에 의하면, 어떤 관찰자에게든 진공에서의 빛의 속력이 동일해야 한다는 결론이 도출된다.  

이를 잘 염두에 두고 시간의 흐름이 나, 너, 우리 모두에게 동일해야 한다는 암묵적 상식이 어떻게 깨지게 되는 건지 살펴보자.

1. '관점'의 차이

- 우리는 4차원의 시공간spacetime에 살고있다 -

인간에게 가장 익숙한 차원은 3차원이다. 
우리의 두뇌는 사물의 스케일을 거리와 각도에 따라 변환해서 인식하는 공간지각력이 매우 탁월한 편이다.

여기 목도리가 있다.
이 목도리를 정면에서 봤을때와

image credit: Sketchfab

목도리를 비스듬한 각도에서 봤을때

image credit: Sketchfab

정면에서 측정한 목도리의 길이는 짧아졌지만, 이는 목도리를 바라보는 시점이 바뀌었기 때문이지 목도리의 고유한 길이는 변하지 않는다는 점을 우리는 본능적으로 알고 있다.

다시 말해 우리의 눈에 보이는 그대로 측정한 목도리의 너비, 길이, 높이는 목도리를 관측하는 각도에 따라 제각각 달라지겠지만, 이 목도리의 '고유 길이'는 어떤 각도에서 보건 변하지 않는다는 것이다.

이렇듯 목도리를 옆에서 보고 뒤에서 보고 이러저리 다각도로 회전을 시켜도 바뀌지 않는

이 '고유 길이'를 회전에 대해 보존되는 물리량이라 부른다.

x² + y² = r² 원의 방정식 - 2차원

2차원에서 반지름의 크기가 원점으로부터 r인 원의 둘레를 따라 아무 (너비 x,길이 y) 이나 선택해도 원점에서의 거리는 언제나 r로 일정하듯이,

구의 방정식 -3차원

3차원에서는 구표면에서의 (너비 x, 길이 y, 높이 z)인 아무 지점이나 택해 원점에서 그 지점까지의 거리를 재면 항상 √(너비)² + (길이)² + (높이)² = (반지름)으로 동일한 것이다.
이를 3차원 피타고라스의 정리라고 생각하면 된다. 

여기서 반지름, 혹은 고유 길이는 3차원의 물체를 그 어느 각도로 회전시킨다 한들 변하지 않는 본질인 것이다.

하지만 이 세상에서 일어나는 모든 사건은 3차원 만으로는 기술할 수 없다.
사건이 발생한 장소를 아는 것 만으로는 그 사건에 대해 절반만 아는 것과 다름없기 때문이다. 
예를 들어 나와 500m 떨어진 곳에 좀비가 출몰했다는 정보를 접한다면, 필연적으로 그 좀비가 출몰한 시각이 언제인지를 묻기 마련이다.

우주에서 일어나는 만사를 제대로 기록하기 위해서는 3차원 공간에 '언제'를 추가한 4차원의 시공간이 필요하단 말이다.

3차원 공간에서의 (x 너비, y 길이, z 높이) 축에 시간축을 추가해서
(t 시간, x 너비, y 길이, z 높이)라는 시공간상의 좌표로 특정한 사건이 언제 (t), 그리고 어디서(공간 - x 너비, y 길이, z 높이) 일어났는지에 대한 좌표를 특정할 수 있다.
만일 좀비가 2시간 전에 지금 내 위치로부터 500m (동쪽으로 300, 북쪽으로 400m) 떨어진 곳에 출몰했다 치면 내가 본 그 사건의 좌표는 (-2시간,  300m, 400m, 0m) 이런 식이 될 것이다.
(이하 첫 번째 축은 시간, 두 번째 축은 동서, 세 번째 축은 남북, 네번째 축은 위아래를 의미한다고 상정)

그렇다면 이런 질문을 던져볼 수 있겠다.

4차원 시공간에서도 3차원에서와 같이 '회전'이란 것이 존재할까? 
또 시공간의 '회전'에 대해 '고유 길이' 처럼 보존되는 값이 존재할까?
또 만일 그러한 값이 존재한다면 3차원에서와 마찬가지로 4차원에서의 피타고라스 공식
√(시간)² + (너비)² + (길이)² + (높이)² = (고유 길이) 이 그 답이 될까?
3차원 사물의 본질을 다각도에서 쉽게 파악할 수 있는 우리의 본능도 이런 시간축을 포함한 '회전'에 관해서는 무용지물이 된다.


일단 이 수식 √(시간)^2 + (너비)^2  + (길이)^2 + (높이)^2 = (총 길이) 에는 몇 가지 문제점이 있는데, 그 중 첫 번째는, 시간은 거리를 측정한 값이 아니란 것이다.
100km는 몇 분일까? 10m와 3초를 더하면? 
이런 질문들은 더해지는 대상들의 단위가 다르기 때문에 묻는 의미가 전혀 없는 것이다.

그러나 100km를 평균시속 100km로 이동한다면 가는 데 몇 시간이 걸릴까? 이런 질문에는 비로소 의미가 생긴다.
여기엔 거리와 시간을 매개해주는 속력이라는 개념이 포함되었기 때문이다.

그렇다면 속력 × 시간 = 거리 라는 공식을 이용해서 시간에 어떤 속력을 곱한 (어떤 속력 × 시간) 을 구한다면 거리를 측정한 공간축의 (너비,길이,높이) 들과 비로소 단위가 같아져서 비견할 수 있는 대상이 될 것이다.
하지만 과연 시간축에 아무 속력이나 곱해도 되는 걸까? 
지면에 가만히 앉아서 100km 고속도로를 달리는 자동차를 볼 때와 400km로 질주하는 고속열차에서 고속도로를 달리는 자동차를 봤을 때의 속도가 다르듯, 시간축에 곱하는 속력이 관찰자의 속도에 따라 변하는 값이라면 머리가 아파질 것이다.

과연 우주상엔 관찰자와 무관한 속력이 존재할까,

해답은 서문에 있다.
아인슈타인에 의하면 빛은 모든 관찰자들에게 속력이 일정해야 하므로 빛의 속력 × 시간 이라면 관찰자와 무관하게 (너비,길이,높이)와 비교할 수 있는 개념을 구할 수 있게 되는 것이다.

뿐만 아니라 이는 앞서 4차원의 회전에 대해 불변하는 값은 √(빛의 속력 × 시간)² + (너비)² + (길이)² + (높이)² 일까?에 대한 해답을 주기도 한다.

그에 대한 답은 '아니오'다.

만일 4차원이 '시간축'이 아닌, 공간축으로의 확장이었다면 4차원에서의 피타고라스 공식인 (너비)² + (길이)² + (높이)² + (4차원으로 공간축)² = (고유 길이)² 가 그대로 회전에 대한 불변량으로 성립하였을 것이다.
그러나 3차원에 추가된 것이 공간축이 아닌 빛으로 매개되는 시간축이기에, 모든 관찰자에게 있어서 빛의 속력이 일정해야 한다는 제약이 붙는다.

다시 말해 빛의 출발점과 도착점이라는 두 사건 사이에는
(빛의 속력 × 출발-도착 시간차)  = (빛이 이동한 거리) 

라는 조건이 우주 상의 모든 관찰자에게 성립해야 하는 것이다.

여기서 우변의 '빛의 이동 거리'는 빛의 출발점과 도착점 사이에 흐른 시간동안 빛이 이동한 공간상 좌표차의 크기를 측정한 값이 될 것이다.
이는 간단하게 3차원에서의 피타고라스 정리에 출발점과 도착점 사이의 너비와 길이, 높이 차이를 대입해서 구할 수 있다.
(빛의 속력 × 출발-도착 시간차) = √(너비 차이)² + (길이 차이)² + (높이 차이)² 
여기서 양 변을 제곱 후 (너비 차이)² + (길이 차이)² + (높이 차이)²를 좌변으로 넘겨주면
(빛의 속력 × 시간차)² - (너비 차이)² - (길이 차이)² - (높이 차이)² = 0 라는 등식이 나온다. 

이 좌변 (빛의 속력 × 시간차)² - (너비 차이)² - (길이 차이)² - (높이 차이)² 에 해당하는 값을 

'간격' 혹은 4차원 시공간의 두 좌표값 사이의 '인터벌' (interval)이라고 부른다.

이는 3차원에서 회전에 대해 보존되었던 '고유 길이'에 대응하는 개념으로서, 4차원 "관성계"의 시공간에서의 회전에 대한 불변량이기 때문이다.

비단 빛의 좌표 뿐 아니라 이 세상에서 일어나는 모든 사건에 좌표를 매긴다면 두 사건의 좌표차를 구해 인터벌을 측량할 수 있다. 
인터벌에 제곱 루트√를 씌운 값은 두 사건 사이에 흐른 '고유 시간'을 정의하며 이는 서로 다른 속도로 이동하는 두 관찰자 사이의 시공간의 불일치 정도를 가늠하는 척도가 된다.
어느 두 사건의 인터벌이 정확히 0이 되는 경우는 해당 시간차 동안의 거리 차이가 정확히 빛의 속력 × 시간만큼인 빛의 경로에 한해서이다.  

바꿔 말하면 빛의 고유 시간은 언제나 0이라는 소리다.
빛의 경로를 제외한 이 세상만사의 인터벌 값은 0보다 작거나 클 수 밖엔 없다.

어떤 두 사건의 인터벌을 구하는 방법은 간단하다.
예를 들어서 나에 대해 동쪽(x축)으로 시속 10m/s(36km/h)로 움직이는 자동차가 있다고 해보자. 
스탑워치를 꺼내 시작을 누른 0초에 자동차가 나와 북쪽(y축)으로 3m 떨어진 거리에서 동쪽으로 1m 앞을 지나갔다면 그 순간 자동차의 나에 대한 좌표는 ( 빛의 속력 * 0초, 1m, 3m, 0m)고, 자동차의 1초 후 좌표는 ( 빛의 속력 * 1초, 11m, 3m, 0m)가 될 것이다.
이 두 좌표 중 나중에 일어난 사건에서 먼저 일어난 사건의 좌표차를 인터벌 공식에 대입한
(빛의 속력 * (1초-0초))² - (11m- 1m)² - (3m-3m)² - (0m-0m)² 를 계산한 값이 바로 두 사건 사이의 인터벌(간격, interval)이다.

(*주: 공간적 좌표와 단위가 대등해지기 위해선 시간에 빛의 속력을 곱한 빛의 속력*시간이 시긴축의 좌표여야 한다. (빛의 속력*시간, 너비, 길이, 높이))

그러나 이 인터벌이라는 값이 4차원에서 시간축에 대한 '회전'에 불변하지 않으면 이런 걸 기껏 계산하는 의미가 전혀 없을 것이다. 
그 전에 4차원에서의 시간축에 대한 회전은 무얼 의미할까? 3차원의 공간축에 대해서라면 어린아이라도 답할 수 있는 이 질문도 시간과 공간을 아우른 4차원으로 넘어가면 일반적인 상식선에서는 답변하기 어려워진다.

우선 시간축으로부터의 '각도'부터 정의해보자.
나와 시간축에서의 '각도'가 다른 사람들은 나에 대해 10m/s, 400km/h, 400000km/day 등의 속도를 내며 직진하고있는 사람들이다.
다시 말해 어떤 사람이 크기나 방향에 상관 없이 나에 대해 속도를 내며 움직이기만 한다면 그 사람의 시간축은 내 시간축과 다른 각도를 지녔다고 볼 수 있다.

이렇게 시간축의 각도가 제각기 다른 관찰자들에게 어떤 두 사건의 인터벌이 동일하게 측정되기 위해서는 관찰자들이 두 사건을 관측하는 동안 그들의 처음 속도를 계속 유지한 채여야 한다는 조건이 필요하다.
즉 관찰자들이 관성(가속도를 받지 않는) 상태를 유지해야 한다는 뜻이다.
만일 어떤 사람이 두 사건이 벌어지는 사이에 가속도를 받아 시간축이 다른 '각도'(속도)로 진입했다면, 그 사람이 측정한 두 사건의 '인터벌'은 보존되지 않는다.

따라서 4차원에서의 '인터벌'이 보존되는 '회전'은 속도('각도')가 제각기 다른 관성 관찰자들의 시점으로 변환하는 것이라고 볼 수 있을 것이다.
이를 물리학적 용어로 '로렌츠 변환' Lorentz Transformation이라 일컫고, 이러한 변환을 거쳐도 보존되는 고유한 불변량을 '인터벌'이라 하는 것이다.

시간축에 대한 회전은 우리에게 익숙한 3차원에서의 회전과는 여러모로 다른 양상을 띤다.
360°, 720°, 101070° 등 각도의 제약 없이 회전이 가능했던 3차원과는 달리, 4차원 시공간의 시간축의 각도엔 상한선이 있는데 
그 각도가 바로 299,792,458 m/s, 즉 빛의 속이다.

시공간의 도식 image credit: A First Course in General Relativity, B. Schutz

위의 그래프가 다소 생소해 보일수 있겠다. 하지만 자세히 보면 상기의 그래프는 x축이 수평, t축이 x축과 직교하는 1차 함수의 도식과 크게 다르지 않다는 걸 알 수 있다.

t축이 나의 시간축이라면, 나에 대해 시간에 따른 x축 변위가 증가하는 방향으로 관성 운동을 하는 사람의 시간축은 내 t축에서 시계 방향으로 각도 φ 만큼 기울어진 t̄축, 공간축은 반시계방향으로 같은 각도 φ 만큼 기울어진 x̄축으로 표현된다.

관성 운동의 주체가 빛일 경우, 나의 시간축 t과 공간축 x에 대한 기울기가 동일하게 45°로, 시공간의 축이 합쳐지는 유일한 케이스가 된다. 

그러므로 빛이 아닌, 나에 대해 관성운동을 하는 여타 관찰자의 시간축은 내 시간축을 기점으로 -45° ~ 45° 까지 회전할 수 있는 것이다.

image credit: Brilliant.org

2. 시간 지연


4차원 시공간에서 상대방의 시간축이 내 시간축에 대해 기울어진 정도에 따라 재미있는 현상을 여럿 발견할 수 있다.

1) 회전 각도가 매우 작은 경우, φ<<1°

이는 따로 설명이 필요 없을 정도로 우리에게 아주 익숙한 세상이다.
빛의 속력 299,792,458 m/s 에 비해 매우 저속으로 움직이는 경우가 되겠다. 

위에서 예시로 들었던 자동차가 시속 10m/s(36km/h)로 동쪽(x)을 향해 이동하는 경우, 자동차의 시간축은 내 시간축에 대해 arctan(10/299,792,458)= 0.00000000058° 기울어진 시공간이다.

이 자동차가 1초간 이동한 사건들의 인터벌은 (빛의 속력 * (1초-0초))² - (11m- 1m)² - (3m-3m)² - (0m-0m)²  였다.
헌데 빛의 속력 299,792,458 m/s를 첫 번째 항에 대입하면 두 번째 항 (11m- 1m)²  = 100m² 과 첫 번째 항 (빛의 속력 * (1초-0초))²=89,875,518,000,000,000 m² 사이에 압도적 크기 차가 나는 것을 확인할 수 있다.
말인즉슨, 자동차가 시속 0m/s로 정지해 있을 때와 시속 10m/s로 이동할 때의 인터벌에 차이가 전혀 없는 것이나 마찬가지라는 것이다.

이렇듯 첫번째, 시간에 대한 항이 나머지 공간에 대한 항보다 크기가 압도적으로 큰 경우, 혹은 우리가 실생활에서 경험하는 자동차, 비행기, 기차, 전철 등의 속력으로 이동하는 경우에는

정지한 관찰자와 움직이는 행위자 사이의 시공간의 차이가 '전혀 없다'고 봐도 무방하다.
비행기를 타고 일상에서 겪을 수 있는 가장 빠른 속력인 2000km/h로 이동해봤자 비행기 내에서 측정하는 1초와 1미터는 지상에 정지한 관찰자가 측정한 1초, 1미터와 전혀 차이가 나지 않는 것이다.
*(물론 고저차에 의한 일반상대론 효과는 무시한다.)

하지만 차이가 200,000km/h가 돼도 같은 결과가 나올까? 속 차이가 200,000,000(2억)km/h 까지 벌어지는 경우에는 어떨까?


2) 회전각도가 큰 경우, φ>1°

내 앞으로 3m 떨어진 거리에 있던 자동차가 한 순간에 빛의 속력의 60%, 또는 초속 179,875,474 m/s (~18만 km/s)로 급발진을 했다고 치자.
(이는 1 시간이면 지구에서 목성까지 주파할 수 있는 속력이다.)
위에서 소개한 그래프로 따지면 자동차의 시간축이 나의 시간축에 대해 tan⁻¹(3/5) = 30.96° 만큼 회전하는 경우에 해당한다.
이 때의 시공간에서는 우리에게 익숙한 세상과 뚜렷한 차이가 생길까?

우선 자동차가 1초 동안 이동한 사건의 인터벌을 가만히 있던 나의 관점에서 측정해보자.
내 입장에서는 자동차가 ( 빛의 속력 * 0초, 1m, 3m, 0m) 에서 ( 빛의 속력 *  1초, 179,875,475 m, 3m, 0m) 까지 이동했으므로,

이에 대한 인터벌은 (빛의 속력 * (1초-0초))² - ( 179,876,475m - 1m)² - (3m-3m)² - (0m-0m)² = 5.75 × 10¹⁶ m² 이다.

그렇다면 자동차에 타고있는 사람은 내가 ( 빛의 속력 *  0초, 1m, 3m, 0m) 에서 ( 빛의 속력 *  1초, 179,875,475 m, 3m, 0m)라고 좌표를 매긴 사건들의 인터벌을 어떻게 측정할까?

들어가기에 앞서서 분명하게 해둘 점은, 어떤 속도로 이동하는 관찰자든 본인은 본인에 대해 언제나 공간적으로 정지한 상태(0m/s)이고 본인의 공간상 위치는 본인에 대해 항상 원점(0m,0m,0m)이란 것이다.
다시 말해 나는 나 자신보다 느리거나 빠르게 가는 것이 불가능하고, 또한 나와 나 사이의 거리는 언제나 0이라는 말이다.
따라서 차에 탄 당사자가 자동차에 매기는 공간상 좌표는 언제나 본인으로부터 (0m, 0m, 0m) 인 것이다.

시간의 경우는 어떨까?
밖에서 1초가 흐르는 동안 자동차 안의 관찰자에게도 동일하게 1초가 흘렀을까?

만일 안과 밖의 두 관찰자가 사건들의 시간의 흐름을 동일하게 관측했다고 가정하면, 차에 탄 관찰자 입장에서 ( 빛의 속력 *  0초,0m,0m,0m)에서 ( 빛의 속력 *  1초,0m,0m,0m) 까지 이동한 두 사건 사이의 인터벌은 
(빛의 속력 * (1초-0초))² - (0m - 0m)² - (0m - 0m)² - (0m - 0m)² = 8.98 × 10¹⁶ m² 가 된다.
하지만 이는 앞서 구한 5.75 × 10¹⁶ m² 50% 이상 차이나는 값이다.

어디서 계산이 잘못된 걸까? 
인터벌은 누구에게나 불변이라는 처음의 전제가 잘못된 걸까?

그렇지 않다. 
정답은 차 밖의 정지한 관찰자가 1초 동안 관측한 차 속의 시간이 1초가 아니라는 것이다.
자동차 속의 관찰자에게 흐른 시간을 t초라 가정하면 인터벌에 대한 수식은 
(빛의 속력 * (t-0))² - (0m - 0m)² - (0m - 0m)² - (0m - 0m)² 
라는 t에 대한 방정식이 되는데, t의 해는 이 인터벌이 자동차 밖의 관찰자가 측정한 인터벌 5.75 × 10¹⁶ m² 과 같아지는 값이다.
(299,792,458 m/s × t) ² = 5.75 × 10¹⁶ m², 또는 t² = 0.64초² 를 만족하는 양의 해는 t = 0.8초라는 값이 도출된다.
밖에서 정지한 관찰자에게 1초가 흐르는 동안 자동차 속 관찰자에게는 0.8초가 흐른다는 의미이다. 

이처럼 나에 대해 상대적으로 운동하고 있는 상대방의 시간이 느리게 측정되는 현상을 시간 지연 효과라고 한다. 

시간 지연 효과의 크기는 다음과 같이 측정된다.

상대방이 속도가 어떻게 되든 상대방이 나에 있어 등속 운동을 하고 있다면, 내가 측정한 그의 시간은 내 시간의 γ배 만큼 느리게 간다.

예의 급발진했던 자동차의 속력은 빛의 속력의 60%였으므로 1.25의 γ값을 가진다.

내가 보는 자동차의 시간은 나의 시간 ÷ 1.25, 즉 내 시간의 80%의 속도로 흘러간다는 뜻이다. 

이 γ는 상대의 속력이 빛의 속력에 비해 0으로 근사되는 정도로 느린 경우엔 1에 가깝고, 상대의 속력이 빛의 속력에 가까워질수록 무한대에 수렴하며, 이 γ가 1보다 작아지는 경우는 존재하지 않는다.

이는 나에 대해 움직이는 모든 대상들의 시간이 내 시간보다 느리게 흘러간다는 의미이기도 하다.
또한 유한한 시간을 무한한 γ 로 나누면 0이 되므로, 이 세상 만물에 대해 빛의 속력으로 움직이는 빛에게는 시간 지연이 무한대로 일어난다.
빛은 언제나 시간이 멈춰있는 상태라는 뜻이다.

여기서 중요한 포인트 하나, 자동차 속 사람은 본인의 시간이 1.25배 느리게 간다고 전혀 인지하지 않는다. 
이는 단순히 두뇌가 시간의 변속을 미처 인지하지 못한다는 뜻이 아니다.
누구든지 본인의 본인 자신에 대한 속력은 언제나 0m/s라는 말을 기억하는가? 
바꿔말하면 자기 자신에게는 시간지연이 결코 일어나지 않는다는 말이다.
만일 내가 광속에 매우 근접한 속도로 이동한다고 가정해보자. 

광속이 아닌 다른 외부의 관찰자에게는 나의 시간이 거의 정지한 것 처럼 보여도, 이동하는 나 자신에게는 1초, 2초, 3초...가 평소와 같은 일정한 속도로 흘러간다는 말이다.

그렇다면 자동차 속의 사람이 관측하는 나의 시간은 어떻게 흘러갈까?

내가 그의 시간을 1.25배 느리다고 관측한다면, 그에게는 내 시간이 1.25배 빨리 가는 셈이 되는 걸까?
자동차 속 관찰자 입장에서는 지구에 있는 내가 초속 18만 km/s로 반대 방향을 향해 멀어지는 것이 된다. 
γ는 v가 아닌 v²에 대한 식이므로, γ값은 -18만 km/s에게나 +18만 km/s에게나 차등을 두지 않고 1.25로 동일하게 나온다.

자동차 속의 관찰자에겐 본인의 시간은 멀쩡히 흐르는데 오히려 지구 위에 서서 반대 방향으로 멀어지는 내 시간이 1.25배로 느리게 간다는 말이다. 

네 시간이 내게 느리게 가는 것 만큼, 내 시간도 네게 느리게 간다.

시간 지연은 환상이 아니다. 겉으로만 느리게 가는 것 처럼 '보이는' 게 아니다.

실제로 서로의 시간이 느리게 흘러간다는 말이다.

납득하기 어려울지 몰라도 이것이 진리이다.

3. 쌍둥이 '역설' Twin Paradox 


그렇다곤 해도 너도 나도 서로 상대방의 시간이 느리게 간다고 주장하는 기이한 상황이 빚어졌다. 
과연 둘 중 '옳은' 쪽은 어느 쪽일까?
불만족스러운 답변이겠지만 이 경우엔 둘 다 옳다는게 지론이다. 양측 모두 본인에 대해서 상대적으로 움직이는 상대방의 시간이 느리게 가는 건 실제 물리 현상이기 때문이다.

하지만 이는 어디까지나 서로가 서로에 대해 등속 운동을 지속하는 경우의 이야기이고, 둘 중 어느 한 쪽이라도 '가속도'를 내서 시간축을 틀어 버린다면 (=속도를 바꾼다면) 상황이 변할 수가 있다. 

이를 설명하기 위해 일례로 든 급발진한 자동차의 예시에 몇 가지 가정을 덧붙여보자.

1. 자동차 속에 타고 있던 사람은 실은 나와 한 날 한 시에 태어난 쌍둥이 언니였다.
2. 언니의 자동차는 광속의 60%에 달하는 속도로 지구 궤도를 벗어나 4년 동안 그 속도를 유지하며 우주를 활주한다.
3. 언니의 자동차는 만 4년 째가 되는 날, 갑자기 방향을 지구 쪽으로 180도 틀어 같은 속력(광속의 60%)으로 지구를 향해 접근한다.
4. 언니는 그 후로 4년, 총 만 8년 동안의 장거리 비행 끝에 지구로 (무사히) 귀환한다.

Q. 언니가 우주에서 8년을 보내는 동안 지구에서 가만히 언니를 기다리던 내게 흐른 시간은 몇 년일까?
이것이 바로 그 유명한 쌍둥이 역설이다.

이에 대한 답변으로 가능한 세 가지 대표적 케이스를 살펴보자.

1. 지구의 시간이 8년보다 더 적게 흘렀다(언니의 시점)
   => 지구를 떠날 때나 지구로 복귀할 때나 언니의 나에 대한 속력은 항상 (0.6×빛의 속력)으로 일정했으므로, 언니는 지구에서의 시간이 언니에 대해 8년 내내 1.25배 느리게 흘러갔다고 관측한다. 때문에 내가 언니를 기다리는 동안 지구에서 흐른 시간은 언니의 8년을 1.25로 나눈 값인 8년 × 0.8 = 6.4년이다.
2. 지구의 시간이 8년보다 더 많이 흘렀다(나의 시점)
   => 언니의 시간은 지구에 있는 내가 관측하기로는 8년 내내 1.25배 느리게 흘렀으므로, 언니가 우주에서 8년을 보내는 동안 지구에서 흐른 시간은 8년보다 1.25배 큰 10년이다.
3. 지구의 시간은 언니와 마찬가지로 정확히 8년 흘렀다
   =>시간이 느려 보이는 건 단지 상대적인 효과일 뿐이고, 언니와 내가 만나는 순간 그 동안 흐른 시간은 결국 둘 다에게 똑같은 8년으로 맞춰질 것이다.

이 중 옳은 답은 단 1가지이다.

정답은 2번,

우주 여행을 하고 온 언니의 시간이 8년이 흐르는 동안 지구에서는 10년이 흐른 것이 정답이다.

혹시 언니와 내 시간이 '나란히' '동등하게' 흘러갈 것이라 예상했는가? 
그렇다면 아마 그것이 우리에게 익숙한 세계에서의 상식이기 때문일 것이다. 
하지만 그 상식은 틀렸다.

b)가 정답임에 대해 혹자는 이렇게 반문할 수도 있겠다.
내가 앞으로 가는 만큼 상대는 뒤로 가기 때문에 서로가 서로에 대해 같은 속력으로 움직이므로 시간 지연 효과가 동등하게 일어난다고 했던 일전의 주장은 거짓인가?
언니와 나, 둘 중 절대적으로 기준이 되는 쪽이 따로 존재한다는 말인가?
이 또한 오해이다.

이렇게 생각해 보자.
언니와 나, 둘 중에 실제로 다른 속도('각도')로 가속을 한 쪽은 누구인가?
만 4년째가 되는 순간 +0.6c에서 -0.6c로, 상상할 수 없을 정도의 가속력을 받고 진행 방향을 180도 틀어버린 당사자는 내가 아닌 언니이다.
나는 언니가 우주로 나가있는 동안 지구에 대해 정지한 관성계에서 편안하게 일상을 보냈을 뿐이다.

둘 중 가속한 쪽이 누구인지 여부가 왜 중요한가?
내가 관측하는 언니의 시간대는 지구 시간의 80%로 내내 일정하게 흘러가는 반면,
언니의 차가 방향을 180도 바꾸는, 또는 언니의 시간축이 지구의 시간축에 대해 다른 각도로 진입하는 바로 그 순간에 언니가 관측하는 지구의 시간대도 달라지기 때문이다.
다시 말해 두 관성계가 있을 때 어느 한 관성계의 시간 축을 기준으로 다른 관성계가 가속을 받아 속도를 변경하면, 가속을 받은 쪽만 상대방의 다른 시간대로 옮겨간다는 말이다.

이 말의 뜻을 명확히 하기 위해 언니의 입장에서 언니와 지구(나)의 타임라인을 정리해보겠다.

만 4년째가 되는 당일, 자동차가 방향을 바꾸기 바로 직전.
언니는 본인에게 4년이 흐르는 동안 지구에서의 시간이 3.2년 흘렀다고 관측한다. 
이때까지만 하더라도 언니가 자신의 관성계에서 실시간으로 관측하는 지구의 시간대는 본인의 시간대보다 1.25배 느린 출발로부터 3.2년이 흐른 시간대이다. 여기까지는 이해하는 데 문제 없으리라 믿는다.

하지만 언니가 반대 방향으로 속도를 바꾸는 순간, 언니는 더 이상 지구에 대해서 이전의 시간대(지구 3.2년)와 같은 시간대에 있지 않게 된다.
지구의 시간축에 대해 언니의 시간축이 다른 각도로 진입한 뒤에 언니가 관측하는 지구는 이젠 더 이상 3.2년차가 아닌, 그로부터 +3.6년이 더 흐른 출발로부터 6.8년 차의 지구이다.
언니가 4년을 보낸 차 속의 시공간이 지구에서의 3.2년과 동시를 관측하는 세계에서 이제는 지구에서의 6.8년차를 동시라고 관측하는 세계로 바뀐 것이다.
이후 언니는 본인에겐 4년, 언니가 관측하는 지구 입장에선 3.2년 간 지구를 향해 여행을 한 끝에 언니에겐 만 8년 차, 지구에게는 6.8년+3.2년=만 10년 차가 되는 날에 지구로 귀환한다.

이 +3.6년은 어디서, 어떻게 나온 값일까?
이 질문에 답하기 전에 먼저 지구에서 언니를 기다린 나의 입장에서,나(지구)와 언니의 타임라인을 정리해보겠다.
언니는 처음 지구에서 5년이 흐르는 동안 광속의 60%에 해당하는 속력으로 지구에서 멀어진다.
그 5년간 내가 측정한 언니의 시간차는 5년보다 1.25배 느린 4년이다.
그리고 언니가 떠난지 만 5년 째가 되는 바로 날, 언니는 방향을 틀어서 이번엔 지구를 향해 광속의 60%로 직진해온다.
만 5년 째가 되는 날부터 지구에서의 만 10년 째가 되는 날까지의 5년 동안 나는 이번에도 언니에게 흐른 시간을 지구의 시간보다 1.25배 느린 4년이라 관측한다.
다시 말해 내가 지구에서 10년을 보내는 동안 언니는 차 속에서 8년을 보냈다고 관측하는 것이다.

이제 잃어버린 +3.6년의 비밀을 밝힐 차례이다.
앞서 소개한 인터벌이라는 개념을 이용한다면 언니가 지구를 떠나는 사건과 지구로 귀환하는 사건, 

이 두 사건을 관측하는 언니와 나의 차이가 어디에서 발생하는지 분명해 질 것이다.

1) 언니가 측정한 두 사건에 대한 인터벌

먼저 두 사건에 대해 언니가 측정한 인터벌을 언니의 관점과 나의 관점에서 분석해보자.

a) 언니의 관점

나에 대한 언니의 속도가 변하든 말든, 언니 자신의 스스로에 대한 공간상의 속력과 변위는 항상 0m/s, (0m, 0m,0m)이다.
누차 말하지만 언니는 본인 자신에 대해서는 언제나 정지해 있는 관성 관찰자란 소리다. 
즉 언니가 지구를 떠난 날부터 지구로 귀환하는 날까지 언니가 스스로에 대해 겪은 공간상의 간격 (너비 차이)²  + (길이 차이)² + (높이 차이)² 은 정확히 0 m² 이고, 두 사건에 대한 언니의 인터벌은 시간상의 간격 (8년 * 빛의 속력)² 로 축약된다.

이렇게 (너비 차이)²  + (길이 차이)² + (높이 차이)²  가 0인 사건들 사이에 흐른 시간을 고유 시간 (proper time)이라 하며 

이는 인터벌에 제곱 루트를 씌운 후 빛의 속력으로 나눈 값이다. 
두 사건 사이에 흐른 언니의 표준 시간은 8년인 것이다.

b) 나의 관점

지구에 있던 내 입장에선 언니가 관측한 사건에 대한 인터벌은 언니가 나에 대해 멀어졌다가 가까워지는 관성 운동을 하는 사이에만 보존되는 값이다.
언니의 출발로부터 언니의 관성 운동이 끊긴 시점까지, 또 그 시점로부터 언니가 지구에 도달하는 사건까지의 인터벌을 나누어서 언니가 관성 운동을 하는 구간의 인터벌을 각각 계산 후 합산해보자.

내 입장에서 처음 5년 동안 언니가 이동한 공간적 거리는 빛의 속력의 60%에 5년을 곱한 3광년이다.
(5년 * 빛의 속력)² - (3년 * 빛의 속력)², 이를 계산하면 (25-9) (년 * 빛의 속력)² = (4년 * 빛의 속력)² 가 나온다.
언니가 방향을 틀어 지구로 향하는 5년 동안의 인터벌도 마찬가지로 (5년 * 빛의 속력)² - (3년 * 빛의 속력)² = (4년 * 빛의 속력)² 이다.
(4년 * 빛의 속력)² 와  (4년 * 빛의 속력)² 을 합산하면 (8년 * 빛의 속력)² 로, 언니 관점에서 언니가 계산한 인터벌과 동일한 값이나온다.

2) 내가 측정한 두 사건에 대한 인터벌

a) 나의 관점 

누차 말했듯이 나의 스스로에 대한 공간상 속력과 변위는 항상 0m/s, (0m, 0m,0m)이다.
따라서 언니가 우주로 떠나 있는 동안 지구에 대해 정지한 내게 흐른 시간은 고유 시간인 10년이며, 이를 인터벌로 표현하면 (10년 * 빛의 속력)² 가 된다.
(*주: 설사 내가 그간 해외로 여행을 여러번 다녔다 해도 나의 지구에서의 이동속도는 워낙 느리기 때문에, 지구 상에서의 내 이동거리가 인터벌에 기여한 정도는 0과 다를 바 없다.)

b) 언니의 관점

위에서 인터벌은 관찰자들이 관성 운동을 하는 동안에만 보존되는 값이라고 주장했다.
이를 염두에 두고 언니가 관성 운동을 했던 구간 별로 내가 측정한 인터벌을 계산해보자.

언니가 관측한 지구는 처음 4년 간 빛의 60%의 속력으로 언니에게서 멀어졌다. 

이 때 지구의 이동 거리는 0.6*4광년 = 2.4광년이다. 
이 4년과 2.4광년을 인터벌의 공식에 대입하면 (4년 * 빛의 속력)² - (2.4년 * 빛의 속력)² 이고, 이를 계산하면 10.24 (년 * 빛의 속력)² 이 나온다.
10.24에 제곱 루트를 씌우면 3.2가 나온다. 이는 정확히 4년의 80%에 해당하는 값이다.

언니가 가속을 겪고 난 뒤에 관측한 지구는 4년 동안 언니에게 광속의 60%로 다가온다.
이 때의 인터벌도 마찬가지로 (4년 * 빛의 속력)² - (2.4년 * 빛의 속력)² = (3.2년 * 빛의 속력)² 이다.

이 두 값을 더하면, (3.2년 * 빛의 속력)²  + (3.2년 * 빛의 속력)² = (6.4년 * 빛의 속력)²가 나온다.

내가 관측한 지구에서의 고유 시간이 10년인 것과 달리, 언니의 인터벌을 합산하면 고작 고유 시간 6.4년에 해당하는 값 밖에 나오지 않는다는 것이다.
바로 여기에 언니가 가속한 순간 지구의 시간대가 +3.6년 점프한 비밀이 숨어있다.
내가 측정한 언니의 인터벌이 언니가 구한 값과 (8년 * 빛의 속력)² 으로 정확히 일치했던 반면, 언니가 측정한 나의 인터벌은 내가 측정한 나의 인터벌과 (3.6년 * 빛의 속력)² 만큼의 차이가 났다.
이 차이는 언니와 나, 둘 중에 실제로 가속도를 겪은 쪽이 언니이기 때문에 발생하는 것이다.

지구에서의 나는 언니의 시간축에 대해 가속을 겪지 않았으므로 나는 속도가 일정한 하나의 관성계(지구)에서 언니를 관측했지만, 가속을 겪고 속도가 다른 관성계로 진입한 언니가 관측한 지구는 가속 전후 3.2년에서 6.8년대로, 시간대에 3.6년의 차이가 생긴 것이다.

이 결과를 어떻게 받아들여야 할까?
언니가 지구쪽으로 방향을 트는 바로 그 순간, 지구에서는 언니의 급발진 사건 이후 3.2년, 5년, 그리고 6.8년대의 시간대가 동시에 공존한다는 말일까?
여기까지 읽은 후에도 당신은 당신과 타인의 시간대가 동시가 될 수 있을 거란 확신을 가질 수 있겠는가?
이제는 내가 경험하는 시간을 타인도 똑같이 겪고 있을 것이라는 동시성에 대한 환상을 부술 시간이다.
애초에 내가 겪는 시간이 상대방의 시간과 같을 것이라고 확신할 수 있는 경우는 상대방과 나의 속도차가 빛의 속력에 비해 매우 느린 경우 밖에 없다.

나 자신에 대해서는 정지해 있는 내가 관측하는 나의 시간대와 나와 다른 속도로 움직이는(시간축의 '각도'가 다른!) 타인들이 보는 내 시간대는 서로 다른 것이라는 사실을 받아들여야 한다는 말이다.

4. 로렌츠 변환과 빛의 고깔light cone로 보는 과거, 현재, 미래

내가 관측하는 나의 시간대와 나와 시간축의 '각도'가 다른 타인들이 보는 내 시간대는 다르다는 것이 바로 이전 장에서의 결론이었다. 동일한 사건이라도 관찰자에 따라 사건이 발생한 시간과 장소에 매기는 좌표가 달라질 수 있다는 말이다.
하지만 두 사건에 매기는 관성 운동을 하는 관찰자들의 좌표값이 속도에 따라 제각각 달라질지라도, 그 두 사건 사이의 인터벌만큼은 변하지 않는다.

이렇게 서로 다른 내 관점과 상대방의 관점을 매개해 주는 지표가 이제까지 살펴본 인터벌과 고유 시간이며, 이를 매개하는 방식이 1장에서 잠깐 언급한 로렌츠 변환이다.

(ct,x,y,z)를 내가 어떤 사건에 매긴 시공간 좌표, (ct',x',y',z')를 상대방이 매긴 시공간 좌표라 하자.

상대방의 나에 대한 속도가 x축으로 +v이고 빛의 속력이 c라면(빛의 속력은 언제나 상수 c로 표현한다), 내가 사건에 매긴 좌표값(ct,x,y,z)은 다음과 같은 방식을 통해 상대방의 (ct',x',y',z')로 변환될 수 있다.

그렇다면 상대방의 좌표값을 내 시점으로 변환하는 것도 속도의 부호만 뒤바꾼다면 같은 방식으로 가능할 것이다.

기억해 둬야 할 점은 이 두 변환 공식은 상대방과 나의 둘 다에게 (0,0,0,0) 원점이 되는 시점에서 나와 상대방이 교차했다는 전제가 없으면 성립하지 않는다는 것이다.

그럼 여기서 3장에서의 사건을 로렌츠 변환을 통해 재분석해보자.

지구를 떠난 출발로부터 고유 시간 4년이 흐른 언니가 지구로 방향을 트는 전환점에 매기는 좌표는 ct',x',y',z'= ( 빛의 속력 *  4년, 0,0,0)이고, 고유시간 5년이 흐른 내가 동일한 사건에 매기는 좌표는 ct,x,y,z = ( 빛의 속력 *  5년, 3 빛의 속력 *  년, 0,0)이다. 

내가 사건에 매긴 좌표를 로렌츠 변환을 적용해 언니의 좌표와 비교해보자.

여기서 γ는 앞서 구한 바와 같이 1.25 이고, 앞서의 공식에 내 좌표를 대입한다면

즉 ( 빛의 속력 *  4년, 0,0,0) 이라는, 언니가 사건에 독립적으로 매긴 좌표값과 일치함을 확인할 수 있다.

이번에는 언니가 측정한 지구의 좌표값을 언니와 내 시점에서 각각 고려해보자. 언니의 지구에 대한 속도가 x축으로 +0.6c에서 -0.6c로 변하므로, 속도가 바뀌기 전과 후, 언니가 지구에 매기는 좌표도 달라지게 되는 것이다.

속도가 바뀌기 이전, 언니의 시점으로 만 4년이 흐르는 동안 지구는 언니에게서 x축으로 -0.6c의 속력으로 멀어졌다.

그러므로 언니가 지구에 매기는 좌표값은 ct',x',y',z' = ( 빛의 속력 *  4년, -2.4 빛의 속력 *  년, 0,0)이다.

이를 위의 공식을 이용해 지구 위의 내 시점으로 변환하면

ct = 1.25 * (4년 - 1.44년) = 3.2 빛의 속력 * 년,

x = 1.25 * (2.4 빛의 속력 *  년 - 2.4 빛의 속력 * 년) = 0,

y=0,

z=0,

으로, 언니가 관측하는 지구의 시간대는 원점, 즉 언니가 내가 헤어진 날로부터 3.2년이 지난 후 임을 알 수 있다.

언니가 가속도를 받아 지구에 대해 x축으로 -0.6c의 속도로 전환한 직후의 시점을 살펴보면 어떨까.

여기서 중요한 건 언니가 가속을 함으로써 언니의 시간축이 틀어짐과 동시에 언니는 새로운 관성계로 진입한다는 것이고,

이 새로운 관성계에서는 언니와 내(지구)가 아직 교차한 적이 없다는 점이다.

다시 말해 두 관성계가 교차하는 원점은 해당 시점으로부터 과거가 아닌 미래에 존재한다는 뜻이고,

두 관성계가 교차하는 사건은 언니가 가속한 직후로부터 4년 후, 지구 시점으로는 언니가 지구를 떠난 지 10년이 되는 당일에 발생한다.

언니의 시점에서 지구는 +0.6c로 언니에게 다가오므로, 4년 후에 두 관성계의 좌표가 (0,0,0,0)으로 일치하기 위해선 언니가 4년 전의 지구에 매기는 좌표값이  ct',x',y',z' = (-4 빛의 속력 *  년, -2.4 빛의 속력 *  년, 0,0) 이어야만 한다.

이를 로렌츠 변환을 통해 지구의 시점으로 전환하면

언니가 방향을 튼 이 날은 지구 시간으로는 언니와의 해후 3.2년 전, 또는 언니와 헤어진 지 정확히 6.8년 차가 되는 날이다.

이와 같이 3장에서의 사건들을 로렌츠 변환만을 통해 분석해 본 결과 내가 언니에게 매기는 시간과 언니가 나에게 매기는 시간은 일치하지 않는다는 같은 결론에 이르렀다.

이는 상대적인 속도에 따라 서로가 관측하는 시간과 공간이 변화한다는 사실에 대한 강력한 입증이다.

로렌츠 수축(Length contraction)

여기까지 온 이상 로렌츠 수축에 대해 언급하지 않고 넘어갈 수는 없다.

일반적으로 물체의 길이를 측정할 때는 물체의 양 끝의 좌표를 동일한 시간에 측정하여 그 차이를 계산한다. 

제정신인 사람이라면 그 아무도 움직이는 차의 길이를 측정할 때 0초에 차의 뒷부분을 측정하고 1초에 차의 앞부분을 측정한 그 차이를 계산하지 않을 것이다. 그렇게 하면 물체의 길이가 실제 길이보다 더 길게 측정될 것이기 때문이다.

하지만 이제까지의 토의 끝에 다다른 결론은, 내 관점에서는 동시에 측정한 양 끝 좌표가 다른 관찰자에게는 동시에 측정한 것이 아닐 수도 있다는 것이었다.

이 경우 과연 물체는 어떻게 보일까?

길이가 L인 기차가 나에 대해 +v의 속도로 x축을 따라 움직이고 있다고 하자. 

여기서 기차의 뒷부분은 우리의 나와 기차에게 있어 원점(0,0,0,0)에 위치하고, 앞부분은 기차의 프레임에서 (0,L,0,0)에 위치한다고 가정한다.

로렌츠 변환을 통해 이 좌표들을 나의 관성계에서의 (0,0,0,0)과 (γvL/c, γL, 0,0)로 변환할 수 있다.

말인즉슨 기차의 시점으로는 동시였던 사건들이 내 관점에서는 기차의 뒷부분을 시간 0에 먼저 측정 후 앞부분을 γvL/c² 만큼의 시간이 흐른 뒤에야 측정한 셈이라는 것이다.

내 관성계에서 기차의 길이를 올바른 방법으로 측정하기 위해선 내가 기차 양 끝의 좌표값을 매기는 순간이 '동시'여야 한다.

편의를 위해 내 관성계에서 원점으로부터 흐른 시간이 γvL/c² 일 때 '동시'에 기차의 후미와 선두에 좌표를 매겨 보자.

기차의 전신은 나로부터 x축으로 +v의 등속 운동을 하고 있으므로 γvL/c² 시간이 흐른 후의 후미의 좌표는 (γvL/c, v*γvL/c²,0,0)이다.

후미 (γvL/c, γLv²/c²,0,0)과 선두 (γvL/c, γL, 0,0)의 차이는 정확히 x축으로 L/γ이다.

1장에서 γ는 1보다 크거나 같은 수라고 했으니, 이의 역수를 기차의 차체에 곱한 L/γ는 기차의 실제 길이보다 짧아지는 것이다.

반대로 기차의 속도가 나에 대해 x축으로 -v인 경우도 고려해보자.

기차의 입장에서 0초에 후미와 선두에 매긴 좌표가 동일하게 (0,0,0,0)와 (0,L,0,0)라면, 그 두 좌표는 내 관성계에서 (0,0,0,0), (-γvL/c, γL, 0,0)로 변환된다.

이는 (0,L,0,0)가 되는 지점이 일전의 상황과는 정반대로 내 입장에서 원점보다 γvL/c² 만큼 빠른 시각에 측정되었다는 말이다.

하지만 이전과 동일한 논리로 내 관성계에서 시간 -γvL/c²에 동시에 측정한 후미와 선두의 좌표는 (-γvL/c, γLv²/c²,0,0)과 (-γvL/c, γL, 0,0)으로, 이의 차이를 구하면 L/γ라는 동일한 값이 도출된다.

기차의 방향과 무관하게 속력이 같다면 내 프레임에서 측정하는 차체의 총 길이가 변하지 않는다는 뜻이다.

이를 로렌츠 수축이라 부르며, 이는 나에 대해 움직이는 상대방의 프레임이 상대방의 이동축을 따라 길이가 γ배 만큼 짧아지는 현상을 일컫는다.

이 수축 현상 자체는 보다시피 방향을 가리지 않고 발생하지만, 상대방의 속도가 정반대로 바뀐 결과, 내게는 좌표들의 시간적 관계도 정반대로 뒤바뀌었다.

상대방이 동일하게 (0,L,0,0)로 매긴 좌표가 나에게는 상대방이 +로 움직일 때에는 미래에, -방향으로 움직일 때에는 과거에 일어난 일이라는 차이가 발생한 것이다. 

이와 같은 예시는 동일한 사건의 서순이 움직이는 관찰자의 속도에 따라 각각 달라질 수 있음을 시사한다. 

이는 인과 관계의 붕괴를 의미하는 걸까?

"알맞은" 속도로 이동하기만 한다면, 우리는 어머니가 아이보다 먼저 태어나는 것을 관측할 수 있게 될까?

혹은 세상의 종말을 시작도 전에 목도하는 게 가능해지는 걸까?

그에 대한 해답은 물론 그렇지 않다이다.

이 우주에서 빛보다 빠른 정보 교환은 불가능하기 때문이다.

따라서 한 사건이 다른 사건에게 영향을 미치기 위해서는, 두 사건 사이의 공간적 거리가 두 사건의 시차 동안 빛이 주파할 수 있는 거리 이내여야 한다는 조건을 만족해야 한다.

다시 말해 인터벌 (빛의 속력 × 시간차)² - (너비 차이)² - (길이 차이)² - (높이 차이)² 이 양수라는 조건을 만족해야 한다는 뜻이다.

이러한 사건들에는 명확한 순서가 새겨져 있어서, 설령 빛의 속력으로 이동하더라도 사건들의 고유한 순서를 뒤바꾸는 건 불가능하다.

반면에 로렌츠 수축에서와 같이 어떤 사건들은 인터벌이 음수, 또는 공간적 거리가 시간적 거리보다 크기 때문에 관찰자의 속도에 따라 사건의 순서가 뒤죽박죽이 되기도 하는 것이다.

(*주: 여기서 식견이 있는 독자들은 양자얽힘 quantum entanglement을 떠올릴 지도 모른다. 얼핏 생각하면 양자얽힘을 이용하면 초광속superluminal의 정보 전달이 가능해 보일지 몰라도 이것이 가능하기 위해선 두 스핀 중 어느 쪽이 먼저 측정되었는지 초광속으로 감지할 수 있는 방법이 필요한데, 이는 우리가 사는 세상에서는 불가능하다. 즉 양자얽힘은 사건의 인과성을 위배하지 않는다는 말이다.)

1장에서 소개한 그래프에 공간축을 한 차원 늘려서 사건의 좌표를 (시간, x축, y축)으로 대표되는 공간 위에 찍어보자.

 (그래프에 4차원을 담아내기는 불가능하므로 애석하게도 z축을 표현할 수 있는 방법은 없다.)

어떤 사건 A가 일어난 지점을 그래프상으로 원점(0,0,0,0)이라 하면, 그 지점으로부터 시간축과 각 공간축에 대해 45도 기울기를 유지하는 경로의 집합, 그것이 빛의 고깔(light cone)이다.

image credit: Wiktionary

사건 A의 원인 또는 결과가 될 수 있는 사건들은 모두 빛의 고깔의 안쪽에 있다는 공통점이 있다. 

해당 사건들을 선으로 이어보면(이를 세계선(world line)이라 한다) 선들의 기울기가 시간축에 대해 모두 45° 이내로, 빛의 기울기보다 경사가 완만하다는 공통점을 발견할 수 있다.

이런 사건들을 일컬어 시간적으로 분리된 (timelike separated) 사건이라 통칭한다.

로렌츠 수축에서처럼 어떤 관성계에서는 '동시에' 벌어지는 사건들은 공간적으로 분리된 (spacelike separated) 사건들이라 부른다. 이 경우 빛이 두 사건 사이를 주파하기에 충분한 시간이 없으므로, 한 사건이 다른 사건에 인과적 영향을 미칠 수 없으며. 이들의 좌표는 모두 빛의 고깔 너머에 존재하며 이들을 잇는 세계선을 도식화화면 시간축에 대한 기울기가 모두 45°보다 크다는 사실을 확인할 수 있다.

한편 빛의 속력으로만 연결 될 수 있는 사건들은 빛적 사건이라 명명한다 (lightlike separated).

빛이 한 사건에서 다른 사건까지 도달하는 시간적 거리와 공간적 거리가 정확히 일치하는 경우로,

이러한 두 사건 사이의 '세계선'은 기울기가 빛의 속력과 동일하며, 사건들의 인터벌과 고유시간 또한 0이다.

정리하자면 누군가 나의 과거를 미래로, 나의 미래를 과거로 관측하는 일이 있다한들, 인과 관계의 붕괴는 일어나지 않는다는 것이 이번 장의 결론인 것이다.

다시 말해 내가 나 자신의 미래를 과거에 관측하는 일은 불가능하다는 말이다. 

이는 과연 다행일까, 불행일까?

보너스. 질량과 에너지의 등가성, E = mc²

서로에 대해 관성 운동을 하는 관찰자들에게 물리 법칙은 동일하다는 것은 특수상대성이론의 근간이 되는 가정 중 하나였다. 

이는 나에 대한 속도가 무엇이든 간에, 모든 관찰자에게는 물리 법칙이 동일하게 적용된다는 것을 의미한다. 

지금까지 4차원 시공간에서는 서로에 대한 속도가 무엇이든 관찰자 모두에게 불변해야 되는 공통된 성질이 있다는 것을 시공간 좌표의 로렌츠 변환을 통해 변환한 좌표값들 사이에 보존되는 인터벌이라는 개념으로 확인할 수 있었다. 

3차원의 세계에서도 그러했듯이, 4차원의 세계에서도 물리 법칙은 보는 각도를 달리한다고 해서 변하는 것이 아니라는 사실 또한 불변인 것이다.

그렇다면 이런 질문을 던질 수 있겠다: 4차원의 위치 좌표뿐만 아니라 4차원 속도 자체에도 인터벌과 같은 시공간에서의 회전에 대한 불변량을 찾아낼 수 있지 않을까?

여러 번 반복해서 말한 것처럼, 어떤 관찰자가 다른 관찰자에 대해 0이 아닌 속도로 이동할지라도 당사자 본인에 대한 속도는 항상 (0m/s, 0m/s, 0m/s)이다. 

하지만 빛의 경로를 관측하는 경우를 제외하면 그 어떤 경우라도 관성 관찰자의 시간적 속도가 0이 되는 경우는 없다. 관찰자 모두에게 본인의 시간은 항상 일정한 속도로 흘러가기 때문이다. 

시공간의 좌표 (ct',x',y',z') 에서 시간의 흐름을 나타내는 첫 번째 항은 빛이 특정한 시간 동안에 이동한 거리를 뜻한다.

그렇다면 어떤 정지해있는 관찰자의 시공간의 좌표를 (ct',x',y',z') 를 그의 시간 단위로 나눈 (c, 0, 0, 0)를 시공간의 이동 속도라고 할 수 있을까? 

만일 (c, 0, 0, 0) 이 값이 로렌츠 변환을 통해 다른 관성계의 값으로 변환이 가능하며 회전에 대해 보존되는 이 값에 대한 모종의 불변량이 존재한다면, 이를 시공간에서의 속도로 정의 내려도 좋을 것이다.

인터벌은 시간 항의 제곱에서 나머지 공간 항의 제곱의 합산을 뺀 (빛의 속력 × 시간차)² - (너비 차이)² - (길이 차이)² - (높이 차이)² 였다. 

그렇다면 마찬가지로 시공간 속도의 4차원 회전에 대한 불변량의 경우도 인터벌과 같은 방식으로 구하면 될까?

(c, 0, 0, 0)의 시간항과 공간항의 제곱차는 c²이란 사실을 염두에 두고 이 값이 (c, 0, 0, 0) 를 로렌츠 변환한 후에도 같은 값으로 나오는지 알아보자.

시공간의 기준이 되는 관찰자가 나에 대해 x축으로 v 속도로 이동하는 상황일 때, 관찰자의 시공간의 속도(?) (c, 0, 0, 0)에 상대방의 시점 (ct', x', y', z') 에서 내 시점 (ct, x, y, z)으로의 로렌츠 변환을 그대로 적용시킨다면 (γc, γv, 0, 0) 라는 값이 나온다.

이 첫 번째 항과 나머지 항의 합과의 제곱 차를 계산해보면 (γc)² - (γv)² = c²으로, 이는 바로 위에서 (c, 0, 0, 0)으로 구한 값 c²과 일치함을 확인할 수 있다.

즉 (c, 0, 0, 0) 이를 어떤 관성계에서든 관찰자 본인의 시공간의 속도라 정의할 수 있으며, 이는 c² 이라는 불변량을 가질 수 있다는 뜻이다.

(γc, γv, 0, 0)의 공통된 팩터, γ에 주목해 이 시공간의 속도에 대한 물리학적 해석을 조금 더 추가해보겠다.

앞서 시간 지연 파트에서 상대방의 시간은 내가 관측하는 상대방의 시간을 γ로 나눈 값이라고 했다. 고유 시간은 정지한 관찰자에게 흐르는 시간이다. 즉, 상대방에게 실제로 흐른 시간은 고유 시간 개념과 일치한다는 뜻이다. 또한 앞서 속도는 변위를 시간으로 나눈 값이라고 했다.

그렇다면 이를 토대로 나에 대해 x축으로 v의 속도로 움직이고 있는 상대방의 시공간의 속도란, 내가 측정한 상대방의 사건의 변위를 사건에 소요된 고유 시간으로 나눈 값이라는 결론에 이르게 된다.

이렇게 구해진 시공간의 속도는 로렌츠 변환후에도 관찰자의 프레임에서 일관되게 정의할 수 있는 물리량인 것이다.

이런 방식을 통해 아인슈타인 이전의 물리학 개념들을 전부 4차원 시공간으로 확장시킬 수 있겠다. 그 중 특히 중요한 개념으로 에너지와 운동량이 있다.

기억이 잘 안 날 수는 있어도 물리학에는 운동량이라는 개념이 있다. 우리에게 비교적 익숙한 힘이라는 개념은 이 운동량이 단위 시간당 변화한 값이다.

물체의 질량이 클수록, 그리고 물체의 속도가 빠를수록 물체가 단위 시간에 전달하는 힘의 크기도 커지며, 운동량은 질량과 속도의 곱, 즉 p = mv라는 간단한 수식으로 표현할 수 있다.

운동량은 어떠한 경우에도 보존되는 물리학의 가장 기초적인 개념 중 하나인 것이다.

4차원에서의 속도를 구했으니 이제 4차원에서의 운동량을 정의하기 위해서 남은 건 4차원의 질량이다. 

일전과 마찬가지로 가장 이해하기 쉬운 정지한 관성계의 관찰자가 측정한 질량을 토대로 이를 살펴보자.

정지한 관찰자의 경우 시공간의 속도가 (c, 0, 0, 0)이었다.

직관적으로 이 속도에 물체에 대해 정지한 관찰자가 측정한 물체의 질량 m₀를 곱한 (m₀c, 0, 0, 0)이 4차원 시공간 운동량의 유력한 후보임을 유추할 수 있다.

이를 확인하기 위해 우선 회전에 대한 불변량으로 추정되는 값부터 구해보자.

(m₀c, 0, 0, 0)의 시간과 공간의 제곱차는 간단하게 m₀²c²이다, 

여기서 바로 로렌츠 변환을 통해 (m₀c, 0, 0, 0)를 x축으로 v속도로 이동하는 관찰자의 시점으로 변환해주면 (γm₀c, γm₀v,0,0)가 나온다. 이는 사실 로렌츠 변환을 할 것도 없이 시공간의 속도 (γc, γv, 0, 0)에 m₀를 곱한 값이다.

그렇다면 답은 뻔해진다. 시공간에 대한 운동량 (γm₀c, γm₀v, 0, 0)의 회전에 대한 불변량은 (γm₀c)² - (γm₀v)²으로, 이를 계산하면 m₀²c²와 정확하게 일치한다는 결론이다.

이를 3차원에서의 에너지 E와 운동량 p에 대한 개념과 간단히 연결짓는 방법이 있다. 에너지 E를 γm₀c², 운동량 p를 γm₀v라 정의한 뒤 (γm₀c)² - (γm₀v)² = m₀²c²에 대입하면,
(E/c)² - p² = m₀²c²
∴ E² = p²c² + m₀²c⁴ 이 나오고,
p = 0인 관성계에서는 해당 식이 E = m₀c²라는 널리 사랑받는 공식이 되는 것이다.

[PnZZz]

그래서 나 자취안하고 통학하잔아

[울루랑아]

아씨 ㅋㅋㅋㅋ머라는지 하나도모르겠어 ㅠㅠㅠㅠㅠㅠ흐

[바라라라라라라라랄]

너무 좋은 글이다 뭐라는지 하나도 모르겠지만 잘 읽었어:)♥

[누구나맛있으면이렇게쿠우]

인터스텔라에서 우주여행한 아빠가 지구에 왔는데 딸이 할머니가 된거랑, 한 행성에 일행2명이 내렸다 다시 우주선 탔는데 우주선에서 기다리던 나머지 일행이 늙어버린거랑 다 그런 맥락인건가?

[반박충]

음 그건 우주선이 광속에 근접한 속도 여행한 효과도 일부 있겠지만 행성이나 블랙홀의 중력장은 시공간을 왜곡시키거든 중력장의 크기가 클 수록 이런 일반상대론적 효과도 커지기 때문에..자세한 건 다음 포스팅에 적을 예정이야!

[밀레시안]

네 하나도 이해못했지만 엄청나군요

+)나도이런글좋아!

[세로배꼽]

여시 정체가 뭐야

[김녕]

아침에 읽을게!

[고무나목]

헉 천천히 읽어봐야겠다!!

[뜨아후후]

^^… 일단 북맠

[평단돌려줘]

아 글치글치 개쉽내

[일레븐진핑핑이]

와 그럼 5억년버튼은.....

[kylar]

아..........

[팏씨]

역시 그럴줄 알았다

[스까탄신일]

내말이 그말이라 이거야

[맛있구마]

[일본혐오자]

로렌츠변환까지읽었는데.. 좀 더 잠이 깨면 다시 읽어야겠어. 바보들도 읽는 물리학책 읽은 느낌이야 하나하나 설명해줘서 고마워😘

[반박충]

재밌게 읽어줘서 고마워 😊

[지니야부를때만대답을해]

어어 다시 날잡고 읽어볼게...

[굽시늬우스의 띠]

보부상이 손해

[본투비하마]

일단..북마크 해둔다...나중에 읽어봐야즤..

[특출한미필]

미치도록 이해하고싶다

[작은]

진짜진짜 너무해

[행운천땅]

어라 장기백수보고는 젊어보인다더니!

[한녀팀플성공기원정권찌르기]

재밌다 글 올려줘서 고마워!!

[끌어당김의 법칙]

너무 이해하고싶어

[정도윤]

와 여시야 정성글 써줘서 고마워 컴공인데 이런 순수학문 이해하고 싶어ㅠㅠㅠ 넘 흥미롭고 좋은 글이다 진짜…

[hlllo]

여시가 직접 쓴 글이지? 이런 양질의 글 정말 오랜만에 봐 잘보고 가 고마워 (이해는 못함ㅠㅠ)

[blanche]

확인문제를 맞춰서 기뻤어!

[치호]

귀성길에 다 읽지는 못하고 40%정도 읽었는데 진짜 존잼이다 ㅠㅠㅠ
이거 여시가 직접쓴거야? 진짜 멋있고 공유해줘서 너무 고마워
좋은 하루 보내❤️