오일러 급수

[alun]

분수 1/x를 x에 대해 적분하면 lnx가 되져, 여기서 ln은 자연대수(natural logarithm)랍니다. 그럼 자연대수가 무엇이냐?

자연상수(혹은 오일러 상수라고도 하져...) e를 밑으로 하는 로거리듬을 말하는 것입니다.

그렇담 또 이자연상수라는 넘의 정테는 뭐냐? 2.781828...이라는 것은 알겠는데 이 값은 어디서 튀어 나온 것이며 또 무엇에

쓰는

 물건인지 궁금하지 않을 수 없겠죠?

원주율 파이=3.141592654... 역시 상수의 대표선수이지만 우리들은 누구나 이 값이 직경에 대한 원의 주변둘레 길이 (원주이죠)

의 비가 3.14...라고 하는 것의 의미를 이미 알고 있지요.

자연로그와 관려되어서는 그레고리(Gregoty 1647)와 안톤(Anton 1649)은 1/x와 x축으로 둘러쌓인 면적을 로그(logarithm)

이라고 정의하였습니다. 그리고 양수 ㅁ에 대해 자연로그 ln(a)를 곡선 1/x와 구간 {1,a}로 둘러 싸인 면적으로 정의하게 된다.

그럼 한 번 생각해보죠. 자연상수 2.781828...의 의미가 무엇일지?

e는 오일러가 처음 정의하여 쓰게 되었습니다. 오일러는 이름만 보면 마치 주유소 알바를 했을 것 같지만 .. 천재적인

자연과학자였죠. 암튼 이 오박사가 1736년에 펴낸 Mechanica 라는 책의 60쪽에 나와 있는 e의 정의를 살펴보면 "e는

자연로그의 값이 1이 되는 수이다"라고 정의했어요.

정말인지 공학용 계산기로 ln e를 계산해보면 1이 나옵니다.

어떤 도시의 인구는 매년 1/30의 비율로 증가한다. 현재 인구가 100,000이면 100년 뒤에는 인구가 얼마나 늘겠는가? 어떤

사람이 4억원을 연리 5%로 빌렸다. 인국증가나 복리는 중분에 대한 증가유로 대단히 복잡해 질 수 밖셍 없죠. 이런 것들을

해결하기 위해 동비된 개념이 바로 자연상수 입니다.

암튼 ... 이 e값을 구하는 건 여러가지 방법이 있지만 주로 테일러 급수를 이용하는 것이 가장 편리합니다. 그중에서도 특히

매클로린 급수를 이용하여 계산하는데, 이 급수를 이용할 경우 수렴성이 대단히 좋기 때문이랍니다.

e^x=exp(x)의 테일러 급수

     exp(x)=sigma (x^n)/n!

에서 x=1을 대입하고 10차항까지 계산해보도록 하죠.

1차항까지 :  2

2차항까지 :  2.5

3차항까지 :  2.66666667

4차항까지 :  2.708333333

5차항까지 :  2.71666667

6차항까지 :  2.718055556

7차항까지 :  2.718253968

8차항까지 :  2.718278770

9차항까지 :  2.718281526

10차항까지 :  2.718281801

...

실제 근사값 : 2.718281828

암튼 1/x 을 적분하면 lnx가 되고 lnx=log e x =2.303 log 10 x 가 됩니다.

전자 계산기로 확인해 보세요. log e는 0.43429...이고, log 10=1입니다. 따라서 자연로그를 상용로그로 바꿔주려면 1나누기

0.4329...를 해 줘야 하므로 결국 2.3026...= 2.303을 앞에 붙여 주게 되는 것입니다.

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지난 오늘의 과학의 글(자연상수 e, 2010.03.23)에서 e의 출신에 대해서 설명하였다. 지난 글의 설명은 물리학자

 리처드 파인만(Richard Feynman)의 강의를 일부 참고했는데, 파인만이 물리학 강의 도중 e^t 1+t를 설명한 것은

 다음 오일러 공식을 설명하기 위해서였다.

물리의 대가가 따로 설명을 붙일 만큼 수학∙공학∙물리학 등에 중요한 공식이다. 그렇다면 오일러 공식은 어떻게 증명할까?

 미분이나, 멱급수 이론 등을 쓰면 오일러 공식을 쉽게 증명할 수 있고, 수많은 교재와 웹사이트에서는 그렇게 설명하고 있다.

하지만, 복소수 함수의 미적분학을 알아야 한다거나, 멱급수나 미분방정식을 알아야 한다면 어쩐지 너무 먼 세상의 얘기가

 돼 버린다. 더구나 왜 그런 공식이 나오는지 선뜻 와 닿지는 않는다는 단점도 있다. 필자는 오일러 공식을 어떻게 설명해야

할지 궁리하다가 미적분학을 쓰지 않고도 이해할 방법을 발견하였기에 이 자리를 빌려 공개하고자 한다.

복소수 지수는 무엇일까?

e의 출신의 글에서 제곱근 계산을 몇 번 반복하여, 지수함수의 다른 표현을 얻은 바 있다.

왜 이식을 다시 꺼내 든 걸까? 예를 들어 e³⁺²ⁱ와 같은 복소수 지수를 어떻게 정의해야 잘했다고 동네방네 소문이

날까 궁리해 본 사람이라면, 눈이 번쩍 뜨일만하다. 위의 식에서 오른쪽 변에는 t 대신 복소수를 대입할 수 있기 때문이다!

예를 들어 e³⁺²ⁱ의 경우, n=2, 3, 4, 5, … 키워나가면서 다음을 생각하고, 이 수들이 접근해 가는 값으로 정의하자는 생각이

들면 성공이다.

실제로 항상 수렴한다는 것을 증명할 수 있기 때문에 (아래 설명을 보면 어떻게 증명하는지 짐작할 수 있다) 복소수

지수를 정의하는 데 성공했다!

마음 급한 사람은 e³⁺²ⁱ를 실제로 계산해보기 시작했을지도 모른다. 적극 추천한다. 계산을 열심히 해봐야 감이 생기고,

조금 뒤에 설명할 방법이 얼마나 고마운 방법인지 실감할 수 있기 때문이다. 한편으로는 복소수 지수를 극한으로 정의해야

한다는 데 대해 석연치 않은 느낌이 드는 사람도 있을 것 같다. 이제 무턱대고 계산하지 않고도 복소수의 곱과 거듭제곱을

조금 쉽게(?) 구하는 방법을 소개하려고 한다.

복소수의 극형식

복소수 a+bi를 복소 평면에 나타낸 뒤, 원점과의 거리를 r이라 하고, x축의 양의 방향으로부터 잰 각을 θ라 하면 (세타, theta라고 읽는다), 다음처럼 쓸 수 있다. 복소수를 이런 식으로 표현한 것을 ‘극형식’으로 표현했다고 말한다. 복소수를 쉽게 곱하는 방법을 가르쳐 준다고 해놓고, 보기만 해도 어려운 삼각함수를 들이대는 배신을 했다며 떨떠름해할 사람도 있겠다. 조금만 기다리면 광명이 찾아온다.

복소수 a+bi와 c+di를 곱하면 (ac-bd)+(ad+bc)i이다. 실제 복소수를 곱하려면, ac, bd, ad, bc를 계산하며 곱셈을

 네 번 해야 하고, ac - bd를 계산하며 뺄셈을 한 번, ad + bc를 계산하며 덧셈을 한 번 모두 여섯 번의 연산을 해야 한다. 

이제 극형식으로 표현한 복소수 r(cosα+isinα)와 s(cosβ+isinβ)를 곱해보면 다음과 같다.

위의 식에 삼각함수의 덧셈 정리를 적용해보자. 예전에 호도법을 설명할 때 설명한 바 있는데, 여기서 사용할

삼각함수의 덧셈정리는 아래와 같다.

이제 덧셈정리를 적용한 후 간단하게 정리하면 아래 식을 얻는다!

극형식을 쓰면 rs를 곱할 때 곱하기 한 번, α+β를 더할 때 더하기 한 번만 하면, 복소수를 곱할 수 있다는 얘기다. 연산

여섯 번에 비하면 훨씬 효율적이니, 복소수를 거듭해서 곱할수록 노동력을 대단히 줄여줄 거라는 것을 짐작할 수 있을

것이다.

위 식을 오일러-드므아브르(Euler-De Moivre)의 공식이라 부르는데, 특히 r(cosα+isinα)를 n 제곱하면,

 rⁿ(cos(nα)+isin(nα))임을 알 수 있다.

미적분을 쓰지 않고 오일러의 공식을 유도하자

복소수의 곱셈에 삼각함수가 등장했으니, 곱셈의 일반화라 할 수 있는 지수에도 삼각함수가 등장하리라는 어렴풋한 감은 들 것이다. 이제 만반의 준비를 했으니, ebi를 계산해보자. ebi를 계산하기로 했으니 다음 식의 t에 bi를 대입하면 될 것이다. 복소수 z=1+bi/n과 원점과의 거리를 rn이라 하고, z가  x축의 양의 방향과 이룬 각을 θn이라 하면, 다음과 같다.

 

이 값은 n이 커질수록 e⁰=1에 가까워진다. 한편 n이 큰 수이면 θ_n은 작은 수이다. 작은 값에 대해 사인

극한 정리를 쓰면 다음을 얻는다.

                

따라서, nθ_n은 b/r_n에 가까우므로 n이 커질수록 b에 가까워진다. 이 결과를 정리하면 다음의 식을

얻는다!

        

박사가 사랑한 수식 = 오일러의 등식

오일러의 공식 ebi=cosb+isinb는, 복소수를 사용하면 지수함수와 삼각함수가 본질적으로 한가족이라는 사실을 말해준다. 어려운 삼각함수가 쉬운 지수함수라는 얘기다. 아래처럼 지수법칙을 오일러 공식을 써서 다시 표현해 보면, 오일러-드므아브르의 정리를 다시 얻는다. 즉, 삼각함수의 덧셈정리라는 것도 알고 보면 지수법칙이었던 것이다. 삼각함수에 대한 많은 식을 복소수 지수를 이용하면 쉽게 증명할 수 있는 경우가 많고, 미분방정식, 푸리에 해석 이론 등에 오일러 공식을 쓰면 많은 사실을 체계적으로 파악할 수 있다. 파인먼이 오일러의 공식을 ‘수학자들이 내놓은 보석’으로 불렀다는 점으로 미루어 짐작할 수 있었으면 한다. 오일러의 공식 ebi=cosb+isinb에서 b 대신 원주율 π를 대입하면 다음 식이 나온다.

이식은 ‘수학자들이 뽑은 가장 아름다운 식’으로 뽑혔던바 있는데, 오가와 요코의 소설 [박사가 사랑한 수식

(博士の愛した数式)]의 주인공 박사가 사랑한 수식이기도 하다. 필자 역시 수업을 할 때 저 식을 보여주면서

아름다움을 강조하는 박사 중 한 명이다. 그런데 뭐가 아름답고, 사랑스러운 식이라는 걸까?

아름답길래 아름답다고 했는데, 왜 아름다운지 물어보면 뭐라고 대답해야 할 지… 

아름다운 걸 왜 아름다운지 설명하면 오히려 아름다움을 해치기 마련이다. 모든 것을 분석해야 하는 수업인

경우라면야, 설명해도 무방할 것이다. 하지만, 필자의 몇 마디 말로 아름다움을 설명하기보다는 독자 여러분이

충분히 감상할 시간을 주는 것이 바람직할 것 같아, 군더더기를 붙이지는 않기로 한다.