Magic Numbers-대구중등교육연구회

[왕규식]

 

제 Ⅱ 부 : Magic Numbers

활동 목표		수와 관련된 여러 가지 활동을 통해 수를 흥미롭게 바라볼 수 있다.
활동 주제	Ⅱ-1	동?식물과 관련된 수(Fibonacci Number)
	Ⅱ-2	달력 속의 숫자 알아맞히기 게임
	Ⅱ-3	숫자 지우기 게임(Digital Delections)
	Ⅱ-4	바코드 만들기
	Ⅱ-5	암호 계산식
수학적 힘		수학적 탐구능력, 수학적 예측, 논리적 추론, 정보처리 및 교환, 문제  해결력, 창의력, 수학적 사고경향, 사고의 유연성, 수학적 자신감

1. 동?식물과 관련된 수(Fibonacci Number)

피보나찌 수를 찾아보자	토끼와 관련된 문제로서 피보나찌 수를 정의하고, 자연에서 일어나는 현상들이 마치 계산을 하듯이 어떤 규칙에 따라 일어나는 것이 있음을 보여줌으로써 수에 대한 흥미와 관심을 높이고 수학의 원리가 항상    우리 생활주변에 있음을 일깨워 준다.
	피보나찌 수(나선)의 발견
	(1)나뭇가지와 피보나찌 수	(4)꿀벌의 가계도(Family Trees)
	(2)나뭇잎의 배열과 피보나찌 수	(5)앵무조개 나선과 피보나찌나선
	(3)황금비와 피보나찌 수	(6)솔방울의 나선과 피보나찌나선
탐구 과제	(1)Dudeney's cow	(2)벽돌담 쌓기
	(3)꿀벌의 이동로	(4)계단오르기

2. 달력 속의 숫자 알아맞히기 게임

달력 속의 숫자 알아맞히기	달력에서 일정한 위치에 있는 숫자들을 더했을 때, 그 수들을 찾아내는 패턴이 항상 결정됨을 알게 하여, 일상생활에서 접하는 달력을 이용해 수학적 원리를 발견할 수 있도록 함과 동시에 그 패턴을 직접 구성하고 발표하게 한다.
탐구 과제	다양한 패턴을 직접 구성하여 달력 게임을 하게 하자.
	자신이 정한 규칙에 대해 서로 설명해 보도록 하자.

3. 숫자 지우기 게임(Digital Delections)

			숫자 지우기(Digital Deletions)
	게임의 규  칙	1. 0 에서 9 까지의 숫자 중에서 일부를(또는 전부) 임의대로 일렬로 나열한다.    (배열된 숫자의 길이와 중복여부에는 제한이 없다.) 2. 각 경기자는 다음 규칙에 따라 순서대로 숫자를 지우거나 변경한다.    ① 0 과 0 오른 쪽의 숫자는 동시에 지울 수 있다.    ② 어떤 숫자를 변경할 때는 그 수보다 작은 수로만 변경할 수 있다.       (예 : 5 를 변경할 때 ⇒ 0, 1, 2, 3, 4 중 어느 하나로 변경가능) 3. 맨 마지막에 숫자를 지우는 경기자가 승리한다.
	준비물	종이, 연필

4. 바코드 만들기

? 바코드의 종류

표준형	?13자리 숫자로 구성      1  2   3   4   5   6   7    8  9  10  11  12   13                      국가       상품 메이커             상품 종류       체크      코드          코드                   코드          디지트
단축형	?8자리 숫자로 구성      1  2        3   4   5   6        8        13                                국가           상품 메이커      상품 종류     체크      코드              코드             코드       디지트

? 바코드에 포함된 내용 (표준형 바코드 기준)

국가 코드	우리나라 : 88
3～7번째 자리 숫자	상품을 만든 회사의 고유번호
8～12번째 자리 숫자	상품의 종류를 나타내는 고유번호
체크 디지트 (Check Digit)	코드를 잘못 읽는 것을 방지하는 숫자
	사용 방법	① 짝수자리 수의 합×3 = A ② 끝자리를 제외한 홀수자리 수의 합 = B ③ 10 -(A+B의 일의 자리 수) = 체크 디지트

? 바코드의 구성

바코드의 경계 구분	? 바코드의 맨 왼쪽, 중앙, 맨 오른쪽에 한 쌍의 긴 바로 바코드        의 시작과 중앙, 끝 부분을 구분    ⇒ 왼쪽 경계 바, 중앙 바, 오른쪽 경계 바로 부른다. ? 바코드 중앙 바의 왼쪽에 7자리, 오른쪽에 6자리의 숫자가 있다.
바코드의 숫자 구성	? 0에서 9까지의 각 숫자는 아래그림과 같이 7개의 칸에 흑?백의 바     를 적절히 배열하여 만든다.

       그림1) 2, 5, 8의 바코드 구성        그림2) 0에서 9까지 숫자의 바코드 구성

5. 암호 계산식

암  호 계산식	숫자가 아닌 문자로 된 계산식에서 숨겨져 있는 수를 찾아내는 과정을 통해 주어진 식을 분해하고, 수학적으로 유추할 수 있는 능력을 길러 앞으로의 문제해결에 도움이 되도록 한다.
탐구과제	사칙연산에 대해 다양한 암호 계산식을 직접 구성하여 서로 게임을 해보자.
	자신의 풀이에 활용된 계산식의 분해와 유추과정에 대해 서로 설명해보도록 하자.

학습활동지 Ⅱ-1

동?식물과 관련된 수(Fibonacci Number) ( 1 )

                                      학년  반   번호  이름 :

1. 피보나찌 수란?

  ? 다음 문제를 풀이해 보자.

   정원에 한 쌍의 새끼토끼가 있다. 이 토끼들은 한 달이 지나면 성숙하게 되고, 그     다음 한 달이 지나면 한 쌍의 토끼를 낳을 수 있으며, 계속 한 달마다 한 쌍의        토끼를 낳는다. 한편, 새로 태어난 한 쌍의 토끼도 두달 째 부터는 매달 한 쌍의      토끼를 낳을 수 있다. 그렇다면, 1년 뒤 그 정원 안에는 몇 쌍의 토끼들이 있게 되     는가? (단, 토끼들은 죽지 않는다고 가정하자)

    답) 매월 차례대로, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144쌍

         ∴ 1 년 뒤 : 144쌍

  

  한편, 위에서 나타난 수들의 열을 피보나찌 수열이라 하고, 피보나찌 수열을 이루고    있는 수들을 피보나찌 수라고 한다.

            피보나찌

2. 생활주변에서 발견할 수 있는 피보나찌 수(피보나찌 나선)

? 다음 그림들에서 피보나찌 수를 찾아보자.

  (1)생장점에서 뻗어나간 나뭇가지(Achillea ptarmica)와 피보나찌 수

   

다섯 번째 생장점
네 번째 생장점
세 번째 생장점
두 번째 생장점
첫 번째 생장점	2
밑줄기	1
생장점의 순서	나뭇가지의 개수

  (2)나뭇잎의 배열과 피보나찌 수

◎오른쪽 그림에서 1번 잎을 같은 방향의 잎과 만날 때까지 회전시켜보자.

구     분	위( 잎의 개수 : 5개 )	아래( 잎의 개수 : 8개 )
같은 방향의 잎	1번 잎과 5번 위의 잎	1번 잎과 8번 위의 잎
시계방향 회전 수	3회전	5회전
반시계방향 회전 수	2회전	3회전
피보나찌 수	2, 3, 5.	3, 5, 8.

◎왼쪽 그림에서도 1번 잎을 같은 방향의 잎과 만날 때까지 회전시켜보고 피보나찌      수를 찾아보자.

구     분	위( 잎의 개수 :   개 )	아래( 잎의 개수 :  개 )
같은 방향의 잎
시계방향 회전 수
반시계방향 회전 수
피보나찌 수

  (3)황금비와 피보나찌 수

   ◎피보나찌 수열 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ………에서

   ◎연속한 두 수의 비 : , , , , , , , ………

      ⇒ 1, 2, 1.5, 1.6666…, 1.6, 1.625, 1.61538……, … ⇒ 황금비(1.61804)

  (4)꿀벌의 가계도(Family Trees)

   ◎꿀벌왕국의 구성

    ?꿀벌의 왕국에는 한 마리의 여왕벌이 있다.

    ?꿀벌의 왕국에는 많은 수의 일벌(암벌)이 있다.

    ?꿀벌의 왕국에는 일을 하지 않는 약간의 수벌이 있는데, 이들은 여왕벌의 무수        정란에서 태어난다.

    ?모든 암벌은 여왕벌과 수벌의 짝짓기에 의한 수정란에서 태어나며, 일부는 다시        여왕벌이 되고 대부분의 나머지는 일벌이 된다.

      ⇒ 모든 암벌은 아버지(수벌)벌, 어머니(여왕벌)벌이 있고, 수벌은 오직 어머니           벌(여왕벌)만 있다.

   ◎ 아래 꿀벌의 가계도(Family Trees)를 보고, 다음 표를 완성하여라.

 

구  분	Parent(s)	Grand Parents	Great Grand Parents	Great, Great Grand Parents
한 마리의 수벌에 대해	1
한 마리의 암벌에 대해	2

  (5)앵무조개와 피보나찌 나선

    ① 크기가 1인 정사각형에서 시작하여 아래 그림 1과 같이 그려나가 보자.

    ② 이 사각형의 배열(피보나찌 사각형)에서 아래 그림 2와 같이 사분원을 그려           나가다 보면 나선형태의 곡선을 얻게되는 데 이것을 피보나찌 나선이라 한다.

    ③ 피보나찌 나선은 아래 그림 3의 앵무조개의 나선과 유사하다

      

   그림 1)사각형의 배열   그림 2)피보나찌 나선의 형성   그림 3) 앵무조개의 나선

       (피보나찌 사각형)

  (6) 솔방울의 나선과 피보나찌 나선

         

탐 구 과 제

1. 생활 주변에서 볼 수 있는 피보나찌 수에 대해 생각해보고, 각자 발표한 것     에 대해 토의해보자. 2. 생활 주변에서 볼 수 있는 피보나찌 나선에 대해 생각해보고, 각자 발표한      것에 대해 토의해보자.

학습활동지 Ⅱ-1

동?식물과 관련된 수(Fibonacci Number)( 2 )

                                      학년  반   번호  이름 :

?다음 문제들을 풀어보고 피보나찌 수와의 관련성을 찾아보자.

1 Dudeney's cow

한 마리의 암소가 2년이 지나면, 암송아지를 낳을 수 있고, 그 다음해부터는 매 년 암송아지를 낳을 수 있다고 한다. 한편, 새로운 암송아지는 2년이 지나면 다시 암송아지를 낳을 수 있고 역시 매년 암송아지를 낳을 수 있다고 한다. 그렇다면, 12년 뒤 암소는 몇 마리이겠는가?

2 벽돌담 쌓  기

길이가 높이의 두 배인 벽돌이 있다. 이 벽돌을 가지고 아래와 같이 담을 쌓으려 할 때, 길이가 1, 2, 3,………인 담을 쌓을 수 있는 패턴의 가짓수는 몇 가지가 되겠는가?

3 꿀벌의 이동로

꿀벌이 벌통 안에서 이동하려고 한다. 꿀벌은 1번, 또는 2번 방에서 출발할 수 있는데 이동의 규칙은 반드시 들어있는 방의 번호보다 큰 수의 방으로 진행할 수 있으며 오른쪽으로만 이동이 가능하다면, 15번 방으로 이동하는 가짓수는 몇 가지나 되겠는가?

4 계  단 오르기

계단을 올라가는 방법이 한 계단씩 올라가는 방법과, 한번에 두 계단을 오르는 두 가지 방법밖에 없다고 할 때, 1계단, 2계단, 3계단, 4계단, 5계단을 올라가는 가짓수는 몇 가지나 되겠는가? (아래 그림은 3계단을 오르는 가짓수의 예)

학습활동지 Ⅱ-2

달력 속의 숫자 알아맞히기 게임

                                      학년  반   번호  이름 :

				달력 속의 숫자 알아맞히기 게임
	게임의 규  칙	게임1	1. 상대방에게 달력에서 임의의 4숫자를 정하여 모두 더하도록 한다.    (단, 4개의 숫자는 정사각형 모양이 되어야 한다.) 2. 일차방정식의 풀이방법을 활용하여 4개의 숫자를 알아낸다.
		게임2	1. 상대방에게 달력에서 임의의 3숫자를 정하여 모두 더하도록 한다.    (단, 3개의 숫자는 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 향하는 대각선 모양이      되어야 한다.) 2. 일차방정식의 풀이방법을 활용하여 3개의 숫자를 알아낸다.
	준비물	달력, 종이, 연필

? 아래 달력에 대해 숫자 알아맞히기 게임을 해보자.

2000년 6월
일	월	화	수	목	금	토
				1	2	3
4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17
18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30

  

예) 네 숫자의 합이 88일 때, 정사각형 모양의 네 숫자는 어느 것인가?

   풀이) 네 숫자의 처음 숫자를 이라 두면, 네 숫자의 합은 다음과 같다.

        

        

         ∴ 네 숫자 :

1. 세 숫자의 합이 63이 되는 대각선 모양의 세 숫자는 어느 것인가?

   ( 단, 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 향하는 대각선 모양 )

2. 다섯 숫자의 합이 46이 되는 “ T ” 자 모양의 다섯 숫자는 어느 것인가?

3. 세 숫자의 합이 72가 되는 “ㄱ” 자 모양의 세 숫자는 어느 것인가?

탐 구 과 제

1. 숫자를 더하는 규칙을 다양하게 바꾸어서 이 게임을 해보자. 2. 이 게임에서 정한 자신의 규칙을 설명해보자.

학습활동지 Ⅱ-3

숫자 지우기 게임(Digital Deletions)

                                      학년  반   번호  이름 :

			숫자 지우기 게임(Digital Deletions)
	게임의 규  칙	1. 0 에서 9 까지의 숫자 중에서 일부를(또는 전부) 임의대로 일렬로 나열한다.    (배열된 숫자의 길이와 중복여부에는 제한이 없다.) 2. 각 경기자는 다음 규칙에 따라 순서대로 숫자를 지우거나 변경한다.    ① 0 과 0 오른 쪽의 숫자는 동시에 지울 수 있다.    ② 어떤 숫자를 변경할 때는 그 수보다 작은 수로만 변경할 수 있다.       (예 : 5 를 변경할 때 ⇒ 0, 1, 2, 3, 4 중 어느 하나로 변경가능) 3. 맨 마지막에 숫자를 지우는 경기자가 승리한다.
	준비물	종이, 연필

? 아래 예를 보고, 위 규칙에 맞게 두 명이 숫자 지우기 게임을 해보자.

  예 )

    시작

   

탐 구 과 제

1. 위의 예에서 두 명이 게임을 한다면, 승리하는 사람은 누구일까? 2. 숫자를 지우거나 변경하는 규칙을 바꾸어서 게임을 해보자. 3. 첫 번째 경기자가 항상 승리할 전략이 있을까? 만약 있다면 설명해보자. 4. 두 번째 경기자가 항상 승리할 전략이 있을까? 만약 있다면 설명해보자.

학습활동지 Ⅱ-4

바코드 만들기

                                      학년  반   번호  이름 :

1. 바코드의 종류

표준형	?13자리 숫자로 구성      1  2   3   4   5   6   7    8  9  10  11  12   13                      국가       상품 메이커             상품 종류       체크      코드          코드                   코드          디지트
단축형	?8자리 숫자로 구성      1  2        3   4   5   6        8        13                                국가           상품 메이커      상품 종류     체크      코드              코드             코드       디지트

2. 바코드에 포함된 내용(표준형 바코드 기준)

국가 코드	우리나라 : 88
3～7번째 자리 숫자	상품을 만든 회사의 고유번호
8～12번째 자리 숫자	상품의 종류를 나타내는 고유번호
체크 디지트 (Check Digit)	코드를 잘못 읽는 것을 방지하는 숫자
	사용 방법	① 짝수자리 수의 합×3 = A ② 끝자리를 제외한 홀수자리 수의 합 = B ③ 10 -(A+B의 일의 자리 수)= 체크 디지트

  체크 디지트 사용의 예) 아래의 바코드에 대해

     ① 짝수자리 수의 합×3 = (7+0+2+8+6+3)×3 = A = 78

     ② 끝자리를 제외한 홀수자리 수의 합 = (9+8+8+1+0+0) = B = 26

     ③ 10 -(A+B의 일의 자리 수)= 10 -( 4 ) = 6 = 체크 디지트 ( ○ )

3. 바코드의 구성

바코드의 경계 구분	? 바코드의 맨 왼쪽, 중앙, 맨 오른쪽에 한 쌍의 긴 바로 바코드        의 시작과 중앙, 끝 부분을 구분    ⇒ 왼쪽 경계 바, 중앙 바, 오른쪽 경계 바로 부른다. ? 바코드 중앙 바의 왼쪽에 7자리, 오른쪽에 6자리의 숫자가 있다.
바코드의 숫자 구성	? 0에서 9까지의 각 숫자는 아래그림과 같이 7개의 칸에 흑?백의 바     를 적절히 배열하여 만든다.

        그림1) 2, 5, 8의 바코드 구성       그림2) 0에서 9까지 숫자의 바코드 구성

탐 구 과 제

1. 바코드 상의 13자리가 490162200122□일 때, 마지막 자리의 숫자는 무엇일      까? 2. 바코드의 숫자 만드는 방법을 활용하여 여러 가지 바코드를 만들어 보자. 3. 우리 주변의 여러 가지 상품의 바코드에 대해 체크 디지트를 확인해보자.

학습활동지 Ⅱ-5

암호 계산식

                                      학년  반   번호  이름 :

? 다음 계산식에서 서로 다른 문자는 서로 다른 수를 나타내며, 같은 문자는 같은 수     를 나타낼 때, 계산식을 완성하여보자.

   ( 단, 문자는 0에서 9까지의 숫자 중 어느 하나이다 .)

  1. DONALD         2. SEVEN         3. WRONG         4. ONE

  + GERALD        + EIGHT         + WRONG         + ONE

     ROBERT           TWELVE             RIGHT             TWO

  5. ONE             6. ABC            7.  LETS          8. GDA

+ FOUR            +  DEF            + WAVE          + HEB

    FIVE                 GHI               LATER             IFC

  9. = A + TO + M

  10. AB × CDE = FGHI

  11.       2 3 5           12.   □ 1 □           13.  □ □ 5

       ×   □□            ×   3 □ 2           ×    1 □ □

         □□□□                 □ 3 □              2 □ □ 5

      □□□□               3 □ 2 □              1 3 □ 0

       □□ 5 6□         □ 2 □ 5                □□□      

                            1 □ 8 □ 3 0             4□ 7  7 □

14.           1 □ □             15.                         

    325 ) □ 2 □ 5 □                  □□9 )6 □ 8 □ □□□

          □ □□                              □□□ 2

          □ 0 □ □                             □ 9 □ □

          □ 9 □ □                             □ □ 4 □    

               □ 5 □                              □ □ 4□

               □ 5 □                              □ □□□  

                     0                                     ?